Exempelsamling Vektoranalys

32d) Ställ upp gradienten i paraboliska koordinater.e) Bestäm sambandet mellan basvektorsystemene u , e v , e ϕ och e x , e y , e z .f) Referera ortsvektorn r samt punktkällans vektorfälttill paraboliska koordinater.e rr 2144. 144 Betrakta de kroklinjiga koordinaterna u, v och w definierade genom⎧⎪⎨⎪⎩u = r sin 2 θ 2v = r cos 2 θ 2w = 2ϕ,där r, θ, ϕ är de sfäriska koordinaterna.a) Visa att u, v, w är ortogonala koordinater och bestäm skalfaktorerna h u ,h v och h w .Ledning: Bestäm först ∇u, ∇v och ∇w.b) Bestäm divergensen av vektornA = e u√u2 + uv + e v√v2 + uv.145. 145 För godtyckliga kroklinjiga koordinater kan man skriva∇φ = ∂φ∂u 1∇u 1 + ∂φ∂u 2∇u 2 + ∂φ∂u 3∇u 3 . (1)a) Visa detta och använd (1) för att bestämma det villkor u 1 , u 2 och u 3 måsteuppfylla för att ∇ 2 φ ska få den enkla formen∇ 2 φ = 1 h 2 1∂ 2 φ∂u 2 + 1 ∂ 2 φ1 h 2 2 ∂u 2 + 1 ∂ 2 φ2 h 2 3 ∂u 2 ,3därh i = 1|∇u i | .b) Bestäm u 1 (r), u 2 (θ), u 3 (ϕ) så att ∇ 2 φ får denna form och ge slutligenuttrycket för ∇ 2 φ uttryckt i dessa koordinater.