Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
29133. 133 En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialenV 0 . Potentialen V (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplacesekvation i den omgivande rymden.Bestäm V (r) samt e = − gradV .134. 134 Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G = − gradφ, där potentialfunktionenφ satisfierar ekvationen:∇ 2 φ = γρ,där γ är en konstant och ρ är masstätheten.Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär(radie R) med konstant masstäthet ρ 0 .135. 135 Skalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i V , och på V :s begränsningsytaS gällerφ = f,där f är en given funktion. Visa att för varje funktion ψ sådan attgäller att∫∫∫Vψ = f på S∫∫∫(gradψ) 2 dV ≥V(gradφ) 2 dV.φ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger.136. 136 Skalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i helarummet. Visa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas∫∫φ(0, −) = γ φdS,där S är cylinderytanBestäm konstanten γ.ρ = R, −h ≤ z ≤ h.Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över detområde som begränsas av ytornaρ = R, ρ = ε, z = h, z = −h.S137. 137 Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp V satisfierarPoissons ekvation∇ 2 T = − 1 k κ(r).
30Den specifika värmeledningsförmågan k är en konstant och den givna funktionenκ(r) anger värmeproduktionen per volymsenhet och tidsenhet i kroppen.Kroppens begränsningsyta hålls vid den givna temperaturen θ(r). Genom mätningarav värmeflödet genom S har man bestämt funktionenpå S. ˆn är S:s utåtriktade normal.γ(r) = −k gradT · ˆnVisa att temperaturen i en godtycklig punkt r P kan uttryckas i de kända funktionernaκ(r), θ(r) och γ(r) enligt formeln:∫∫∫κ(r)T(r P ) = aV |r − r P |∫∫SdV + b ○ θ(r)(r − r P ) · ˆn|r − r P | 3 dS +∫∫γ(r)+c ○|r − r P | dS.Bestäm konstanterna a, b och c.SLedning: Använd Greens andra teorem på skalärfälten1|r − r P |och T(r).Betrakta området mellan sfären |r − r P | = ε och randytan S.138. 138 Potentialen i punkten r P från en dipol med dipolmomentet a, vilken befinnersig i punkten r, ges som bekant avφ(r P ) = a · (r P − r)|r P − r| 3 .Låt S vara en yta med randkurvan L. Ytan är likformigt belagd med infinitesimaladipoler så att summan av alla dipolmomenten i ytelementet ˆn dS ges avvektornσˆn dS,där σ är en konstant. Potentialen i punkten r P från dipolytan blir i så fall∫∫σˆn · (r P − r)φ(r P ) =|r P − r| 3 dS.Sa) Visa att φ(r) är proportionell mot den rymdvinkel Ω som L upptar då denbetraktas från punkten r P .b) Hur ändras potentialen då man passerar genom dipolytan? Studera specielltfallet att S är en sluten yta.139. 139 De slutna kurvorna C 1 och C 2 omsluter ytorna S 1 resp. S 2 . Visa att∫) )(r 1 − r 2 )∫C 2 dr 1 · dr 2 = −4 dS 1 · dS 2 .1 C 2(∫∫S 1(∫∫S 2r 1 (r 2 ) är ortsvektorn för en punkt på C 1 (C 2 ). dr 1 (dr 2 ) är linjeelement på C 1(C 2 ).
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
- Page 79 and 80: 78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
29133. 133 En ensam, elektriskt laddad metallkula med radien R har den konstanta potentialenV 0 . Potentialen V (r) är kontinuerlig vid kulans yta samt lyder Laplacesekvation i den omgivande rymden.Bestäm V (r) samt e = − gradV .134. 134 Tyngdkraftsaccelerationen G kan skrivas G = − gradφ, där potentialfunktionenφ satisfierar ekvationen:∇ 2 φ = γρ,där γ är en konstant och ρ är masstätheten.Beräkna tyngdkraftfältet för jorden om denna approximeras med en ensam sfär(radie R) med konstant masstäthet ρ 0 .135. 135 Skalärfältet φ satisfierar Laplaces ekvation i V , och på V :s begränsningsytaS gällerφ = f,där f är en given funktion. Visa att för varje funktion ψ sådan attgäller att∫∫∫Vψ = f på S∫∫∫(gradψ) 2 dV ≥V(gradφ) 2 dV.φ och ψ antas vara kontinuerligt deriverbara två gånger.136. 136 Skalärfältet φ(ρ, ϕ) beror ej av z och satisfierar Laplaces ekvation i helarummet. Visa att φ:s värde på z-axeln kan skrivas∫∫φ(0, −) = γ φdS,där S är cylinderytanBestäm konstanten γ.ρ = R, −h ≤ z ≤ h.Ledning: Tillämpa Greens andra teorem på skalärfälten φ och lnρ över detområde som begränsas av ytornaρ = R, ρ = ε, z = h, z = −h.S137. 137 Den stationära temperaturfördelningen T(r) inuti en kropp V satisfierarPoissons ekvation∇ 2 T = − 1 k κ(r).
Change language