Exempelsamling Vektoranalys

28Kontinuitetsekvationen, Greens satser, Lapla- ces och Poissonsekvationer127. 127 Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av tvåparallella plattor på avstånd d. Den ena platttan har potential φ = 0 och denandra φ = φ 0 =konstant.128. 128 Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av tvåkoncentriska sfäriska skal med radie R 1 och R 2 > R 1 . Sfären med radie R 1 harpotential φ = 0, och sfären med radie R 2 har φ = φ 0 =konstant.129. 129 På ett sfäriskt skal med centrum i origo och radie R är potentialenVad är potentialen i origo?φ =sin ϕ7 + 3 cos 5 θ .130. 130 Det regnar på en cirkulär, horisontell platta, vars radie är ρ 0 m. Regntäthetenär κ(ρ, ϕ, t) m/s, och vattnet strömmar mot plattans kanter med hastigheten:v = v ρ (ρ, ϕ, t)e ρ + v ϕ (ρ, ϕ, t)e ϕ[m/s]som är ett medelvärde bildat över olika djup. Vattenlagrets tjocklek är d(ρ, ϕ, t) m.Hur lyder kontinuitetsekvationen för strömningen i polära koordinater ρ och ϕ?Beräkna speciellt d om förloppet är stationärt och om( ( ) ) 2 ρ ρκ = k 1 − och v = v 0 e ρ (k, v 0 konst.).ρ 0 ρ 0131. 131 En platta av stor utsträckning begränsas av planen x = 0 och x = d.Dessa begränsningsytor hålls vid konstanta temperaturer T 0 resp. T d . Bestämtemperaturfördelningen i plattans inre, där Laplaces ekvation ∇ 2 T = 0 gäller.132. 132 En kondensator består av två koaxiala cirkulära metallcylindrar. Den inrehar radien R 1 och potentialen V 1 , medan den yttre, vars radie är R 2 , har potentialenV 2 . Potentialen V satisfierar Laplaces ekvation i området mellan cylindrarnaoch är kontinuerlig vid cylinderytorna. Bestäm potentialen V och denelektriska fältstyrkan e = − gradV i detta område. (Randeffekter försummas,dvs. V får antas konstant i axelriktningen.)