Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
27123. 123 Beräkna flödet av vektorfältetA(r) =(e × r) · (e × r)r 5 rut genom en godtycklig sluten yta S som begränsar ett område V som innehållerorigo.e är en konstant enhetsvektor.Ledning: Använd sfäriska koordinater.Fältlinjer124. 124 Bestäm ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ).Ange speciellt ekvationen för fältlinjen genom punkten (1, 1, 1) och finn denfältlinjens skärningspunkt med planetx + y = 1.125. 125 Ange ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetρ cosϕe ρ + ρ 2 e ϕ + ρ sin ϕe z .I vilka punkter går fältlinjen genom punktenρ = 3, ϕ = π 2 , z = 2genom planet y = 0?126. 126 Ange ekvationen för fältlinjen till dipolfältetA = grad cosθr 2 .Bestäm speciellt fältlinjen genom punktenr = a, θ = π 6 , ϕ = 0.Beräkna det största värde som avståndet mellan en punkt på denna fältlinje ochorigo kan anta.
28Kontinuitetsekvationen, Greens satser, Lapla- ces och Poissonsekvationer127. 127 Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av tvåparallella plattor på avstånd d. Den ena platttan har potential φ = 0 och denandra φ = φ 0 =konstant.128. 128 Beräkna potentialen φ som löser Laplaces ekvation för ett system av tvåkoncentriska sfäriska skal med radie R 1 och R 2 > R 1 . Sfären med radie R 1 harpotential φ = 0, och sfären med radie R 2 har φ = φ 0 =konstant.129. 129 På ett sfäriskt skal med centrum i origo och radie R är potentialenVad är potentialen i origo?φ =sin ϕ7 + 3 cos 5 θ .130. 130 Det regnar på en cirkulär, horisontell platta, vars radie är ρ 0 m. Regntäthetenär κ(ρ, ϕ, t) m/s, och vattnet strömmar mot plattans kanter med hastigheten:v = v ρ (ρ, ϕ, t)e ρ + v ϕ (ρ, ϕ, t)e ϕ[m/s]som är ett medelvärde bildat över olika djup. Vattenlagrets tjocklek är d(ρ, ϕ, t) m.Hur lyder kontinuitetsekvationen för strömningen i polära koordinater ρ och ϕ?Beräkna speciellt d om förloppet är stationärt och om( ( ) ) 2 ρ ρκ = k 1 − och v = v 0 e ρ (k, v 0 konst.).ρ 0 ρ 0131. 131 En platta av stor utsträckning begränsas av planen x = 0 och x = d.Dessa begränsningsytor hålls vid konstanta temperaturer T 0 resp. T d . Bestämtemperaturfördelningen i plattans inre, där Laplaces ekvation ∇ 2 T = 0 gäller.132. 132 En kondensator består av två koaxiala cirkulära metallcylindrar. Den inrehar radien R 1 och potentialen V 1 , medan den yttre, vars radie är R 2 , har potentialenV 2 . Potentialen V satisfierar Laplaces ekvation i området mellan cylindrarnaoch är kontinuerlig vid cylinderytorna. Bestäm potentialen V och denelektriska fältstyrkan e = − gradV i detta område. (Randeffekter försummas,dvs. V får antas konstant i axelriktningen.)
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
- Page 73 and 74: 72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
- Page 75 and 76: 74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
- Page 77 and 78: 76125. 125 Differentialekvationerna
27123. 123 Beräkna flödet av vektorfältetA(r) =(e × r) · (e × r)r 5 rut genom en godtycklig sluten yta S som begränsar ett område V som innehållerorigo.e är en konstant enhetsvektor.Ledning: Använd sfäriska koordinater.Fältlinjer124. 124 Bestäm ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetA = (2xz, 2yz, −x 2 − y 2 ).Ange speciellt ekvationen för fältlinjen genom punkten (1, 1, 1) och finn denfältlinjens skärningspunkt med planetx + y = 1.125. 125 Ange ekvationen för fältlinjerna till vektorfältetρ cosϕe ρ + ρ 2 e ϕ + ρ sin ϕe z .I vilka punkter går fältlinjen genom punktenρ = 3, ϕ = π 2 , z = 2genom planet y = 0?126. 126 Ange ekvationen för fältlinjen till dipolfältetA = grad cosθr 2 .Bestäm speciellt fältlinjen genom punktenr = a, θ = π 6 , ϕ = 0.Beräkna det största värde som avståndet mellan en punkt på denna fältlinje ochorigo kan anta.
Change language