Exempelsamling Vektoranalys

24110. 110 Låt a vara en konstant vektor och r ortsvektorn. Beräknaa) grad(a · r)b) div(a × r)c) rot(a × r)genom att först transformera fälten a · r resp. a × r till ett lämpligt valt sfärisktkoordinatsystem, samt därefter tillämpa uttrycken på grad, div och rot i ettsfäriskt koordinatsystem.111. 111 Beräkna( ) sin θ∇ 2 r 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater med hjälp av formeln∇ 2 A = graddivA − rotrotA.112. 112 Beräkna∇ 2 e θ .Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.Några viktiga vektorfält113. 113a) Visa med direkt beräkning att Gauss sats inte gäller förA(x, y, z) =(x, y, z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ,där S är sfärytan med radie R centrerad i origo som omsluter volymen V .Varför gäller inte satsen?b) Bekräfta med direkt integration att Gauss sats gäller för vektorfältet A i(a) när S är ytan S 1 med radie R 1 plus ytan S 2 med radie R 2 , och V ärvolymen mellan S 1 och S 2 .c) Vilket villkor måste ytan S uppfylla för att Gauss sats skall vara uppfylldför A i (a)?114. 114 Beräkna flödet av vektorfältet( ) qgrad|r − c| + pz4