Exempelsamling Vektoranalys

23105. 105 Vektorfältete rr 2är källfritt för r ≠ 0 och har följaktligen en vektorpotential A. Beräkna denallmännast möjliga vektorpotential A som dels kan skrivas på formenA = A ϕ (r, θ, ϕ)e ϕoch dels är källfri. Den erhållna vektorpotentialen är ej definierad i vissa punkterim rummet. Ange dessa punkter.106. 106 Visa att linjeintegralenfrån punkten P:till punkten Q:∫ QP( 1r e r + 1 )r sin θ e ϕ · drr = 1, θ = ϕ = π 2r = 3, θ = π 4 , ϕ = 3π 2är oberoende av vägen, förutsatt att vägen ej skär planet ϕ = π eller z-axeln.Beräkna även integralens värde.107. 107 Använd Stokes’ sats för att beräkna linjeintegralen∮(sin θ e θ + sinθ e ϕ ) · dr,Cdär C är skärningen mellan en sfär med medelpunkten i origo och radien 1 samtde delar av planenx = 0, y = 0, z = 0för vilka x, y, z ≥ 0. Kurvans orientering, som du får välja själv, skall tydligtanges. Kontrollera resultatet genom direkt integration.108. 108 Beräkna integralen ∫∫e θ dS,där S har ekvationenx 2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0.S109. 109 Beräkna cirkulationen av vektorfältetcosϕr 2 sin θ e cosθ cosϕr +r 2 sin 2 θ e θ +sin ϕr 2 sin 2 θ e ϕlängs en sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, men för övrigt är godtycklig.