Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
21Sfäriska koordinater98. 98 Låt ψ = − cos θr, A = sin θ2 re 2 ϕ ,där (r, θ, ϕ) är sfäriska koordinater, definierade genom⎧x = r sinθ cosϕ⎪⎨y = r sin θ sinϕ⎪⎩ z = r cosθBeräknaa) ∇ψ.b) ∇ × A.c) ∇ 2 ψ och ∇ × (∇ × A).99. 99 Genom att tillämpa indexräkning på rotrotA kan man få ett uttryck på ∇ 2 A.a) Genomför detta.Använd det erhållna uttrycket för att bestämmab) ∇ 2 e r .c) ∇ 2 e ϕ .Beräkningarna skall utföras i sfäriska koordinater.100. 100 Punkten P ligger på rotationsellipsoiden3r =3 + cosθ .Beräkna vinkeln mellan ellipsoidens normal n P i P och ortsvektorn r P från origotill P som funktion av vinkeln mellan r P och z-axeln.101. 101 Tryckfördelningen i en sfär beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternap = r 2 sin θ cosϕ.r = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar trycket då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar trycket snabbast och hur stor är denmaximala tryckökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.
22102. 102 Temperaturfördelningen i en kropp beskrivs av skalärfältetT = 2 + cosθr 2 .Punkten P har de sfäriska koordinaternar = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.103. 103 Visa att vektorfältethar en skalär potential φ.A = 3 cos2 θ − 1r 4 e r +Använd potentialen för att beräkna linjeintegralendär P:s koordinater äroch Q:s koordinater är∫ QPA · dr,sin 2θr 4 e θr = 1, θ = π 4 , ϕ = 0r = 3, θ = π 2 , ϕ = π.Ledning: Lös ekvationssystemet gradφ = A i sfäriska koordinater enligt sammaprincip som tillämpas i kartesiska koordinater.104. 104 Ett vektorfält A ges ava) Beräkna rotA.b) Beräkna divA.A = 1 r 3 (cos2θ e θ − sin 2θ e r )c) Existerar ett skalärfält ψ(r, θ, ϕ) så att A = gradψ? Motivera svaret ochbestäm – om svaret är jakande – funktionen ψ.
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19 and 20: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 21: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
- Page 71 and 72: 70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
22102. 102 Temperaturfördelningen i en kropp beskrivs av skalärfältetT = 2 + cosθr 2 .Punkten P har de sfäriska koordinaternar = 2, θ = π 2 , ϕ = π 4 .Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e r + e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?Räkningarna skall genomföras i sfäriska koordinater.103. 103 Visa att vektorfältethar en skalär potential φ.A = 3 cos2 θ − 1r 4 e r +Använd potentialen för att beräkna linjeintegralendär P:s koordinater äroch Q:s koordinater är∫ QPA · dr,sin 2θr 4 e θr = 1, θ = π 4 , ϕ = 0r = 3, θ = π 2 , ϕ = π.Ledning: Lös ekvationssystemet gradφ = A i sfäriska koordinater enligt sammaprincip som tillämpas i kartesiska koordinater.104. 104 Ett vektorfält A ges ava) Beräkna rotA.b) Beräkna divA.A = 1 r 3 (cos2θ e θ − sin 2θ e r )c) Existerar ett skalärfält ψ(r, θ, ϕ) så att A = gradψ? Motivera svaret ochbestäm – om svaret är jakande – funktionen ψ.
Change language