Exempelsamling Vektoranalys
Exempelsamling Vektoranalys Exempelsamling Vektoranalys
19Cylinderkoordinater89. 89 Beräkna vinkeln mellan ytornaρ = cosϕ och z = ρ sinϕi punktenρ = 1 √2, ϕ = π 4 , z = 1 2 .Räkningarna skall genomföras i cylinderkoordinater.90. 90 Temperaturfördelningen i en cylinder beskrivs av skalärfältetPunkten P har koordinaternaT = ρ 2 + z 2 cos 2 ϕ.ρ = 2, ϕ = π 4 , z = 1.Hur snabbt ökar temperaturen då man utgår från P i riktningen e ρ − 2e ϕ ?I vilken riktning utgående från P ökar temperaturen snabbast och hur stor ärden maximala temperaturökningen per längdenhet?91. 91 Ett vektorfält har potentialen( aρ + bρ )sin ϕ,där a och b är konstanter. Beräkna vektorfältets flöde ut genom en sluten yta,som ej skärs av z-axeln.92. 92 Visa att vektorfältetA = z 2 sin 2 ϕe ρ + (z 2 sin 2ϕ − z ρ sin ϕ)e ϕ + (cosϕ + 2ρz sin 2 ϕ)e zhar en skalär potential φ(ρ, ϕ, z).Beräkna sedan linjeintegralen∫ QPA · dr,där P och Q har koordinaterna:⎧⎪⎨ ρ P = 1, ϕ P = π 6 , z P = 1⎪⎩ρ Q = 5, ϕ Q = π 2 ,z Q = −1
2093. 93 Vektorfältetsatisfierar ekvationenA(ρ, ϕ, z) = f(ρ)e ϕ∇ 2 A = 0.Bestäm f(ρ). Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken skall uppställas medindexräkning.94. 94 Visa att cirkulationen av vektorfältetcosϕρ 2 e ρ + sinϕρ 2 e ϕrunt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll.95. 95 En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω.a) Uttryck kroppens hastighetsfält v = v(r) i ett cylindriskt koordinatsystem,vars z-axel sammanfaller med rotationsaxeln.b) Visa att vektorfältet har en vektorpotential A.c) Beräkna den vektorpotential för v(r) som har formenoch som är så allmän som möjligt.A = A ρ (ρ, ϕ, z)e ρRäkningarna skall utföras i cylinderkoordinater.96. 96 En elektrisk ström I flyter i en oändlig, rak cylindrisk tråd med radien R.Magnetfältet B utanför tråden ärB(r) = Iµ 02πe ϕρ , ρ > R.a) Visa att divB = 0 så att B har en vektorpotential. Bestäm en vektorpotentialav formenA = A z (ρ)e z .(Funktionen A z (ρ) skall beräknas.)b) Visa att rotB = 0 för ρ > R, men att det inte finns någon skalär potentialφ sådan att B = gradφ i området ρ > R.97. 97 Beräkna ∇ 2 e ϕ , där e ϕ är den basvektor i cylindriska koordinater som ärassocierad med vinkeln ϕ.Ledning: Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken inte behöver bevisas.
- Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
- Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
- Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
- Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
- Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
- Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
- Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
- Page 17 and 18: 1678. 78 Beräkna integralendär S
- Page 19: 18längs S:s slutna randkurva C. ˆ
- Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
- Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
- Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
- Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
- Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
- Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
- Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
- Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
- Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
- Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
- Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
- Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
- Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
- Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
- Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
- Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
- Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
- Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
- Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
- Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
- Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
- Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
- Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
- Page 69 and 70: 68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
2093. 93 Vektorfältetsatisfierar ekvationenA(ρ, ϕ, z) = f(ρ)e ϕ∇ 2 A = 0.Bestäm f(ρ). Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken skall uppställas medindexräkning.94. 94 Visa att cirkulationen av vektorfältetcosϕρ 2 e ρ + sinϕρ 2 e ϕrunt varje sluten kurva, som ej omkretsar z-axeln, är noll.95. 95 En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω.a) Uttryck kroppens hastighetsfält v = v(r) i ett cylindriskt koordinatsystem,vars z-axel sammanfaller med rotationsaxeln.b) Visa att vektorfältet har en vektorpotential A.c) Beräkna den vektorpotential för v(r) som har formenoch som är så allmän som möjligt.A = A ρ (ρ, ϕ, z)e ρRäkningarna skall utföras i cylinderkoordinater.96. 96 En elektrisk ström I flyter i en oändlig, rak cylindrisk tråd med radien R.Magnetfältet B utanför tråden ärB(r) = Iµ 02πe ϕρ , ρ > R.a) Visa att divB = 0 så att B har en vektorpotential. Bestäm en vektorpotentialav formenA = A z (ρ)e z .(Funktionen A z (ρ) skall beräknas.)b) Visa att rotB = 0 för ρ > R, men att det inte finns någon skalär potentialφ sådan att B = gradφ i området ρ > R.97. 97 Beräkna ∇ 2 e ϕ , där e ϕ är den basvektor i cylindriska koordinater som ärassocierad med vinkeln ϕ.Ledning: Använd vektorformeln rotrotA = . . ., vilken inte behöver bevisas.
Change language