Exempelsamling Vektoranalys

More documents

Recommendations

Info

1783. 83 Bestäm integralen ∮r × dr,Cdär C är ellipsen ⎧⎨ x 2 + y 2 = a 2⎩ z = a + xmed sådan omloppsriktning att projektionen i xy-planet genomlöps moturs,a) genom direkt beräkning.b) genom att använda Stokes’ universalsats.84. 84 Den slutna ytan S är en nivåyta till skalärfältet ψ(x, y, z). Beräkna integralen∫∫∫gradφ × gradψ dVVöver det av S inneslutna området V . Vilka förutsättningar rörande skalärfältenφ och ψ måste man göra?Ledning: Utveckla rot(ψ gradφ).85. 85 Omforma linjeintegralen ∮Cr × (r × dr)till en ytintegral över en yta S, som är inspänd i kurvan C. r = (x, y, z) ärortsvektorn.86. 86 En sluten ledare C, som genomflyts av en elektrisk ström med styrkan I,befinner sig i det homogena magnetfältet B (B = konstant vektor). Kraftmomentetpå ledaren är ∮M = −I r × (B × dr),Cdär r betecknar ortsvektorn.Omforma M till en ytintegral, som skall förenklas så mycket som möjligt. Studerasärskilt specialfallet att C är en cirkel med radien R som ligger i planet r ·ˆn = p.Stokes’ sats skall användas.Ledning: Skalärmultiplicera M med e i (i = x, y, z).87. 87 Bestäm skalärfälten ψ(r) och φ(r) så att ytintegralen∫∫((r · ˆn)gradψ + φˆn)dSblir lika med linjeintegralen ∮grad 1 r × drSC
18längs S:s slutna randkurva C. ˆn är S:s normalvektor. Varken S eller C gårgenom origo.Stokes’ sats men ingen annan integralsats får förutsättas bekant.88. 88 Använd en integralsats för att beräkna integralen∫∫(2xz 2 + xy + z 3 )ˆn dS,Sdär S är den del av ytan z 2 = x 2 + y 2 för vilken 0 ≤ z ≤ 1. Ytans orientering ärsådan att normalen ˆn har negativ z-komponent.
Page 1 and 2: Exempelsamling VektoranalysTeoretis
Page 5 and 6: • risk of refusal to grant a righ
Page 7 and 8: 629. 29 Beräkna linjeintegralen av
Page 9 and 10: 8Beräkning av divergens och rotati
Page 11 and 12: 1050. 50 Använd Gauss’ sats för
Page 13 and 14: 1260. 60 Beräkna integralen ∮dä
Page 15 and 16: 1466. 66 Låt φ vara ett skalärf
Page 17: 1678. 78 Beräkna integralendär S
Page 21 and 22: 2093. 93 Vektorfältetsatisfierar e
Page 23 and 24: 22102. 102 Temperaturfördelningen
Page 25 and 26: 24110. 110 Låt a vara en konstant
Page 27 and 28: 26Vilket svar hade man fått om fä
Page 29 and 30: 28Kontinuitetsekvationen, Greens sa
Page 31 and 32: 30Den specifika värmeledningsförm
Page 33 and 34: 32d) Ställ upp gradienten i parabo
Page 35 and 36: 34a) Transformera Laplaces ekvation
Page 37 and 38: 36d)e)∂ 2 A ij∂x i ∂x k∫∫
Page 39 and 40: 38167. 167 En tensor har i det kart
Page 41 and 42: 40b) och sedan på ett stationärt
Page 43 and 44: 42a) rotA.b) (B · ∇)A.c) (A ·
Page 45 and 46: 44189. 189 Använd Stokes’ sats f
Page 47 and 48: 46198. 198 Vektorfältet A har kont
Page 49 and 50: 48Svar och lösningsanvisningar1. 1
Page 51 and 52: 5020. 20 Betrakta nivåytan φ = x
Page 53 and 54: 52e) 12π/534. 34 4πR 335. 35 3233
Page 55 and 56: 5450. 50 Låt S ∗ vara en cirkel
Page 57 and 58: 5661. 61 Eftersom rotA = (1, 1, 1),
Page 59 and 60: 58h) alt. II:tyochh) alt. III:rot((
Page 61 and 62: 6072. 7212 ○ ∫∫SdS × (a × r
Page 63 and 64: 6283. 83a) På C ärr = a(cosϕ, si
Page 65 and 66: 6487. 87 Linjeintegralens i:e kompo
Page 67 and 68: 66(4, 5) → (3) ger slutligen:dvs.
Page 69 and 70:
68b)c)∇ × A ==1r 2 sinθ1r 2 sin
Page 71 and 72:
70a) rotF = 0b)divF = cos3θr 4 sin
Page 73 and 74:
72111. 111 − 4 cosθr 4 e r112. 1
Page 75 and 76:
74a)b)∫∫1○S r e r · ˆn dS =
Page 77 and 78:
76125. 125 Differentialekvationerna
Page 79 and 80:
78Då ε → 0 blir4πhφ(0, −) =
Page 81 and 82:
80139. 139 Integralen ==∮C 1∮
Page 83 and 84:
82d)e)f)gradφ =(1 ∂φ√u2 + v 2
Page 85 and 86:
a) Ur ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩ξ 2 = ρ
Page 87 and 88:
86148. 148r = (r cosϕsin θ, r sin
Page 89 and 90:
88b) δ ij ε ijk = ε iik = 0c)ε
Page 91 and 92:
90161. 161∮− φA · drC162. 162
Page 93 and 94:
92172. 172∫∫∫(A div A − A
Page 95 and 96:
94177. 177∇ · (ω × r) = r · (
Page 97 and 98:
96184. 184 ∫∫∫∫(∇φ ×
Page 99 and 100:
98Här har vi utnyttjat att∇φ
Page 101 and 102:
100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫=
Page 103 and 104:
102b)∇ 2 ∇ 2 u =∇ 2 u =u =1 (
show all

Exempelsamling Vektoranalys

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?