Exempelsamling Vektoranalys

1678. 78 Beräkna integralendär S är sfärytan∫∫○ φˆn dS,Sx 2 + y 2 + z 2 = 1(ˆn pekar utåt),och skalärfältet ges avφ = x 2 + 2y − 5z.79. 79 Beräkna integralen ∫∫A × ˆn dS,därA = (0, −z, y)och S är cylinderytanx 2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1med normalen riktad ut från z-axeln.S80. 80 Visa med utgångspunkt från Gauss’ sats att ytintegralen∫∫○ (A · ˆn)B dSSkan omformas till en volymsintegral över den av ytan S omslutna volymen V . ˆnär S:s utåtriktade normal.Vilka förutsättningar rörande vektorfälten A(r) och B(r) måste man göra?81. 81 Bestäm alla vektorfält A, för vilka gäller att∫∫○ A · ˆndS = sju gånger den av S omslutna volymen,Soberoende av S:s läge och form.82. 82 Skalärfälten φ(r) och ψ(r) är kontinuerligt deriverbara två gånger och ψ antarvärdet ψ 0 (konst.) på randkurvan C till ytan S.Visa med hjälp av Stokes’ sats att ytintegralen∫∫(gradφ × gradψ) · ˆn dS = 0.S