Exempelsamling Vektoranalys

1466. 66 Låt φ vara ett skalärfält som satisfierar Laplaces ekvation, dvs.∇ 2 φ = 0och a = (a x , a y , a z ) en konstant vektor. Förenkla så långt som möjligt uttryckena) A = grad(a · gradφ).b) B = rot(a × gradφ).c) Beräkna A och B för specialfallet φ = xyz.67. 67 Bestäm konstanten k så att värdet av vektorfältetA = rot(r k (r × a))i varje punkt P blir en vektor, som är parallell med ortsvektorn r från origo tillP. a är en konstant vektor.68. 68 Vektorn a är en konstant vektor och r = (x, y, z) är ortsvektorn. Beräkna( a · r) ( ) a × rgradr 3 + rotr 3 .De utnyttjade operatorformlerna skall motiveras utförligt med indexräkning.69. 69 Låt a, b och c vara konstanta vektorer och r = (x, y, z) vara ortsvektorn.Härled ett nödvändigt och tillräckligt villkor på a, b och c för att cirkulationenav vektorfältetA = (a × r) × (b × r)skall vara noll längs varje sluten kurva, som ligger på en nivåyta till skalärfältetφ(r) = c · r.70. 70 Det magnetiska fältet B är källfritt och har följaktligen en vektorpotential A.Visa attA(r) = k r × B 0 + gradψär en vektorpotential för det homogena magnetfältetB(r) = B 0(B 0 konstant vektor)förutsatt att konstanten k ges ett lämpligt värde. Beräkna k samt ange villkorpå skalärfältet ψ.71. 71 En stel kropp roterar med vinkelhastigheten ω rad/s kring en axel, vars riktninganges av enhetsvektorn ˆn. Visa att rotationen för hastighetsfältetv = ωˆn × rges avrotv = 2ωˆn.