Exempelsamling Vektoranalys

100a)∫∫e ϕ × ˆndS =S∫∫= {ˆn = −e r } = −∫ π/2 ∫ π/2Se θ dS == − (cos θ cosϕ, cosθ sin ϕ, − sinθ)sin θ dθ dϕ =0 0=(− 1 )2 , −1 2 , π28b) Låt S xy , S xz och S yz vara sidoytorna i xy-, xz- resp. yz-planet.∫∫○ e ϕ × ˆn dS =−S+S xy+S xz+S yz∫∫∫∫∫∫1= − ∇ × e ϕ dV = −VV ρ e z dV =∫∫∫1= −r sin θ e zr 2 sin θ dr dθ dϕ == −∫ 10∫ π/2∫ π/2r dr dθ dϕe z = − π20 0 8 e z∫∫ ∫∫· · · =S xz· · · = 0S yzeftersom ˆn ‖ e ϕ på S xz och S yz .∫∫e ϕ × ˆn dSS xy=∫∫e ϕ × e θ dS = −S xy∫∫e r dS =S xy∫∫S∫ 1 ∫ π/2= − (cosϕ, sin ϕ, 0)r dr dϕ =0 0=(− 1 )2 , −1 2 , 0∫∫ ∫∫· · · = − · · · +−S+S xy· · · =S xy(− 1 )2 , −1 2 , π28196. 196 rotA = 0 på S, A = 0 på C∮∫∫0 = ((e · r)A) · dr = {Stokes’ sats} = rot((e · r)A) · dS =CS∫∫= (grad(e · r) ×A + (e · r)rotAS } {{ } } {{ }) · ˆn dS =e=0∫∫∫∫= ˆn · (e × A)dS = −e · (ˆn × A)dSSS