Kap. 1 - Matematiska institutionen - Stockholms universitet

2 Finansmatematik II1 Rak räntaMed rak ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid(löptid).1.1 Ränta på räntaVid förräntning n gånger per år med räntan r/n blir värdet av en krona efter tårR = (1 + r n )nt för n = 1, 2, 3, ... och R = limn→∞ (1 + r n )nt = e rtvid kontinuerlig förräntning.För r = 5% och t = 1 ges värdena av följande tabell:n förräntning varje värde1 år 1.05 = 1.0500002 halvår (1 + 0.052 )2 = 1.0506254 kvartal (1 + 0.054 )4 = 1.05094512 månad (1 + 0.0512 )12 = 1.05116152 vecka (1 + 0.0552 )52 = 1.051245365 dag (1 + 0.05365 )365 = 1.051267∞ kontinuerligt e 0.05 = 1.051271Årsräntan beror alltså i detta fall även på n. Vad som är väsentligt här ärtillväxtfaktorn, R. Denna kan även uttryckas med hjälp av räntan, r, men dåmåste man specificera vilken ränta som avses. Vanligast kanske är att definieraräntan som avkastningenr a = R − 1.Övning 1 Visa att om avkastningen är r ′ under en del av en tidsperiod och r ′′under återstoden, så är avkastningen r ′ + r ′′ + r ′ r ′′ under hela tidsperioden.Avkastningen är alltså inte additiv men det är däremot räntan vid kontinuerligförräntning eller kortare den kontinuerliga räntan:r c = ln R.Övning 2 Visa att om den kontinuerliga räntan är r ′ under en del av en tidsperiodoch r ′′ under återstoden, så är den kontinuerliga räntan r ′ + r ′′ under helatidsperioden.

Rak ränta 3Vid konstant tillväxt gäller R = e rct . Den kontinuerliga räntan kan därföräven definieras som den momentana avkastningen per tidsenhet:1.2 Nuvärdee rct − 1lim = r c .t→0 tX 0 kronor idag är värda X T kronor om T år. Här ärdet framtida värdet av X 0 ochX T = R T X 0X 0 = d T X Tnuvärdet (present value) av X T . Här är R T tillväxtfaktorn under T år ochd T = R −1Tdiskonteringsfaktorn (discount factor). Vi ska även skrivaX 0 = P V (X T ).För att värdera framtida utbetalningar jämför man deras nuvärden.Övning 3 Jämför värdet av 417 kronor om ett år och 430 kronor om två år med395 kronor idag om årsavkastningen är 5% bägge åren.Övning 4 Uttryck dubbleringstiden (den tid det tar att dubblera ett kapital)som funktion av den kontinuerliga räntan. Speciellt: Hur lång tid tar det attdubblera ett kapital då räntan är 5%?1.3 BetalströmmarEn betalström är en följd av reella tal, x = (x 0 , x 1 , ...x n ), samt en följd avtidpunkter 0 = t 0 < t 1 < ... < t n . Innehavaren av betalströmmen erhåller x ikronor vid t i . (Detta innebär att innehavaren betalar |x i | kronor om x i < 0.)Motparten, utställaren av betalströmmen, innehar betalströmmen −x.Betalningsförloppret delas alltså in i n perioder; (t i−1 , t i ), i = 1, ..., n.Här följer tre exempel på betalströmmar:Lån Du lånar idag S kronor och betalar tillbaka K kronor i slutet av varjeperiod. Detta svarar mot betalströmmen(S, −K, ..., −K).Sparande Du sätter in K kronor i början av varje period och tar ut hela sparbeloppeti slutet av den sista perioden. Detta ger betalströmmen(−K, ..., −K, S).Annuitet Du betalar in S kronor idag och få ut K kronor i slutet av varje period.Detta ger betalströmmen

Rak ränta 5Övning 9 Beräkna den effektiva räntan för betalströmmarna i Övning 6.Övning 10 Visa att den effektiva räntan för lånet respektive sparandet ovan gesav de diskonteringsfaktorer som uppfyllerd 1 − dn1 − d = S Krespektive d−n1 − dn1 − d = S K .För att lösa d ur ekvationer av denna typ kan man använda Newtons metodatt finna nollställen till en deriverbar funktion, F (x): Gissa ett tal x 0 som dutror ligger nära nollstället. Beräkna sedan x 1 , x 2 , ... via formelnx k = x k−1 − F (x k−1)F ′ (x k−1 ) ,för k = 1, 2, .... Denna följd konvergerar mot ett nollställe till F . För varjeupprepning dubblas antalet rätta decimaler.Övning 11 Visa att x k är den punkt i vilken tangenten till F i punkten x k−1skär x−axeln samt använd detta till att illustrera konstruktionen av x 1 , x 2 , ...grafiskt.Övning 12 Ett lån på 1000 kronor betalas av på tre månader med 338 kronorper månad. Hur stor är den effektiva räntan?Övning 13 Du lånar 200000 kr i en bank och betalar i slutet av varje månad3000 kr. Den effektiva räntan ges av 0.5% avkastning per månad. Hur stor ärårsräntan? Hur lång tid tar det att betala lånet? Hur mycket ska du betala permånad för att lånet ska vara avbetalat på 5 år?1.5 ObligationerEn obligation är en betalström av formen(−P, c/m, ..., c/m, c/m + F ).Utbetalningarna sker m gånger per år i T = n/m år. T är obligationens löptid(time to maturity), c kupongen (coupon), F det nominella värdet (face value)och P priset.Den effektiva räntan per år bestäms därför av diskonteringsfaktorn d m , därd uppfyllerP = c mn∑d k + d n F.k=1Det framgår av detta uttryck att obligationspriset är en avtagande funktion avräntan. Obligationspriserna gå alltså ned då räntan går upp.

6 Finansmatematik IIÖvning 14 a) Visa attP = c − dnd1m 1 − d + dn F.b) Definiera y genom d = 1 . D.v.s. y är avkastningen under en period av1+ y mlängd 1/m multiplicerad med m. Visa attP = c y + dn (F − c y ).Detta uttryck blir speciellt enkelt då c = yF (pari); P = F .Övning 15 Låt P 1 och P 2 beteckna priserna på två obligationer där den andrahar längre löptid än den första men som för övrigt är lika (samma kupong, ränta,nominellt värde och periodlängd). Visa att P 1 < P 2 för y < c/F och P 1 > P 2för y > c/F .Övning 16 Beräkna den effektiva räntan för en femårig obligation med nominelltvärde 100 SEK och årlig kupong 4 SEK som betalas ut med 1 SEK varje kvartal.Obligationens pris är 100 SEK.Genom att sätta samman en portfölj av obligationer kan man bilda nyabetalströmmar.Övning 17 Betrakta två obligationer med samma löptid, periodlängd och nominellavärde. Den ena har kupongen c 1 och den andra c 2 , c 1 < c 2 . Priserna är P 1respektive P 2 .a) Konstruera med hjälp av dessa en obligation som har kupongen c men sammanominella värde. Vad blir priset på denna.b) Vilka vikter ska de två obligationerna ha i portföljen för att resultatet skabli en nollkupongare?c) För vilka värden på c har bägge obligationerna positiv vikt i portföljen?1.6 Den effektiva räntan som värderingsmåttDen effektiva räntan är ett trubbigt verktyg då det gäller att värdera betalströmmari allmänhet. Betrakta betalströmmen x = (ab, −a − b, 1). Dennahar nuvärdetP V = ab − d(a + b) + d 2 = (d − a)(d − b).Detta nuvärde är noll för d = a och d = b. Den effektiva räntan är alltsåinte entydigt bestämd då a ≠ b. Dessutom har nuvärdet av betalströmmen −xsamma nollställen. Det är därför inte omedelbart klart hur man med hjälp avden effektiva räntan ska kunna avgöra vilken av de två betalströmmarna x och−x som är att föredra (om någon).Antag att a = 1 och b = 3: x=(3,-4,1). I detta fall är d = 1 eller d = 3. Idet första fallet är räntan noll, i det andra negativ. Nuvärdet är positivt för x

Räntans beroende av löptiden 7och negativt för -x då d < 1, vilket gäller i normalfallet. Betalströmmen x tordedärför vara att föredra framför -x.Antag att det är ett år mellan utbetalningarna och att du kan låna in pengarmot 5% avkastningasränta per år och låna ut mot 4%. Följande förfaringssättvisar att det är förmånligt att inneha x:Vid t = 0: Acceptera betalströmmen x. Du får 3 SEK som du lånar ut på ettår mot 4% ränta.Vid t = 1: Lånet återbetalas till dig med 3 × 1.04 = 3.12 SEK. Du lånar 0.88SEK på ett år och betalar 4 SEK.Vid t = 2: Du får in 1 SEK och återbetalar lånet med 0.88 × 1.05 = 0.924 SEK.Kvar 0.076 SEK.På detta sätt erhålls betalströmmen (0, 0, 0.076) och man kan alltså göra enriskfri vinst. Vilket även kallas att göra arbitrage.Övning 18 Hur ska in- och utlåningsräntorna vara relaterade i ovanstående exempelför att det ska gå att göra arbitrage på detta sätt?Övning 19 Du är erbjuden två betalströmmar (1000, −3000, 2000) och(−1000, 3000, −2000). Utbetalningarna sker en gång per år.a) Beräkna betalströmmarnas effektiva räntor.b) Du kan låna pengar mot 5% ränta per år och låna ut mot 4% . Beskriv hurdu kan göra arbitrage (riskfri vinst).2 Räntans beroende av löptidenVi ska nu ta hänsyn till att räntan varierar med löptiden och se vilka följderdetta faktum får.2.1 NollkupongsobligationerInnehav av en k-årig nollkupongsobligation innebär att man får 1 kr efter kår. Låt d k beteckna priset på den k-åriga nollkupongsobligationen, k=1, 2, ...,n och sätt d 0 = 1. Priset d k definierar värdet idag (nuvärdet) av 1 kr om kår. Dessa priser definierar även den k-åriga spoträntan, r k . genom sambandetd k = e −kr k. Vi ska för resonemangets skull idealisera verkligheten och tänkaoss att vi kan köpa och sälja dessa obligationer i godtyckliga mängder utantransaktionskostnader. Så till exempel om vi skulle vilja sälja (t.ex. en bråkdelav) en obligation vi inte har kan vi kostnadsfritt låna denna och sälja den föratt senare betala tillbaka.

8 Finansmatematik II2.2 Arbitragefria betalströmmarNuvärdet av betalströmmen x= (x 0 , x 1 , ..., x n ) ärP V (x) =n∑d k x k .Låt x ′ beteckna den betalström man erhåller genom att göra på följande sätt:Köp vid t = 0 x k k-åringar (detta innebär att man säljer −x k om x k < 0),k = 1, ..., n. Vänta till t = n. Kostnaden vid t = 0 ärk=0n∑x k d k = PV(x) − x 0k=1och man erhåller x k kr vid t = k, k = 1, 2, ..., n. Därförx ′ = x − p där p = (PV(x), 0, ..., 0).Antag att PV(x)> 0. Då kan man genom att acceptera betalströmmarna xoch -x ′ erhålla betalströmmen p=x-x ′ och därmed en riskfri vinst. Om iställetPV(x)< 0 kan man erhålla betalströmmen -p och därmed en riskfri vinst genomatt acceptera -x och x ′ .Detta kallas arbitrage. Om vi antar att man inte kan göra arbitrage så måstealltså PV(x)=0 för alla betalströmmar. Observera att ett geometriskt sätt attuttrycka detta är att säga att x är ortogonal mot diskonteringsvektorn d=(d 0 , d 1 , ..., d n ); x·d = 0.Övning 20 Du avser att låna 1000 SEK och har att välja bland följande två alternativ:x=(1000, -866, -181) och y=(1000, -426, -656). Den första återbetalningengörs om ett år och den andra om två år. Ettårsobligationen kostar 0.97 SEKoch tvååringen 0.89 SEK.a) Beräkna lånens effektiva räntor.Svar: r a (x) = 4%, r a (y) = 5% .b) Beräkna betalströmmarnas nuvärden. Beräkna även de ett- och tvåårigaspoträntorna.Svar: P V (x) = −1.11, P V (y) = 2.94., r 1 = 3%, r 2 = 6% (avrundat).c) Lånet y är alltså att föredra trots att det har högre ränta än x. Beskriv hurdu kan göra arbitrage med hjälp av y.d) Beskriv även hur långivaren kan göra arbitrage om du tar lånet x. (Härförutsätts att långivaren kan sälja obligationer kort.)2.3 ArbitragesatsenGlöm för en stund den konkreta tolkningen av d som obligationspriser. Vi skahär istället visa att det finns en entydig diskonteringsvektor på varje marknadsom uppfyller vissa villkor. Låt x 1 ,x 2 ,..., x N vara givna betalströmmar i R n+1och låt L beteckna det vektorrum som genereras av dessa. Vi ska säga attarbitragemöjligheter föreligger om det finns x i L sådant att x≠ 0 och x≥ 0 (detsenare betyder x k ≥ 0 för alla k = 0, 1, ..., n). Annars säges L vara arbitragefri,vilket också kan uttryckas: L∩ R n+1+ = {0}. I detta fall måste dim(L)≤ n. Viska också säga att marknaden (d.v.s. L) är fullständig om dim(L)=n.

Räntans beroende av löptiden 9Sats. Marknaden L är fullständig och arbitragefri om och endast om det finnsett d i R n+1 med d 0 = 1 och d 1 > 0, d 2 > 0, ..., d n > 0 så att L = {x; x · d = 0}.Diskonteringsvektorn d är entydigt bestämd av L.Bevis. Satsen är geometriskt uppenbar då n = 1 och 2. Eller hur?Antag att L är fullständig och arbitragefri. Låt c≠ 0 ligga i det ortogonalakomplementet till L, d.v.s. c·x=0 för alla x i L. Då är c entydigt bestämdså när som på en multiplikativ konstant och L = {x; c · x = 0} på grund avfullständigheten. Om c k = 0, så e k·c=0. Alltså e k ∈ L. En motsägelse. Alltsåc k ≠ 0 för alla k. Antag att ej alla c k har samma tecken. Då finns i och j så attc i > 0 och c j < 0. Sätt u=c i e j − c j e i . Då u≠ 0, u≥ 0 och u·c=0, d.v.s. u∈ L.En motsägelse. Alltså har alla c k samma tecken. Den ena riktningen följer numed d k = c k /c 0 . Omvänt är det klart att om x·d=0 så kan inte x≠ 0 och x≥ 0.Antag att L är fullständig och arbitragefri och att en ny betalström avformen (−p, a 1 , ..., a n ), där a 1 , ..., a n är givna tal, introduceras på marknaden.För att denna utvidgade marknad ska vara arbitragefri så måste alltså p =d 1 a 1 + ... + d n a n .Nollkupongarna b 1 = (−d 1 , 1, 0, 0, ..., 0, 0), b 2 = (−d 2 , 0, 1, 0, ..., , 0, 0), ...,b n = (−d n , 0, 0, 0, ..., 0, 1) är en bas i L. Eller hur?Övning 21 Marknaden L 1 genereras av de två vektorerna (5, -6, -6) och (5, -5,-4), L 2 genereras av (5, -6, -6) och (-1, 0, 3) medan L 3 genereras av (5, -4, -2)och (-8, 6, 3).a) Avgör vilka av dessa marknader som är arbitragefria.Svar: L 2 .b) Ytterligare en betalström av formen (-p, 2, 3) introduceras på marknadenL 2 . Prissätt denna (d.v.s. bestäm p) så att den utvidgade marknaden blir arbitragefri.Övning 22 Marknaden L genereras av betalströmmen (2, -2, -1) och är såledesinte fullständig. Ytterligare en betalström av formen (-p, 1, 1) ska introduceras.För vilka p blir den utvidgade marknaden fullständig? Arbitragefri?Övning 23 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år:A = (−P A , 110, 0, 0)), B = (−P B , 10, 110, 0), C = (−P C , 10, 10, 110). Samtligaräntor nedan är avkastningsräntan per år.a) Bestäm priset, P C , och den effektiva räntan mätt med årsavkastningen förobligation C om spoträntorna är som följer: 1 år = 7%, 2 år =9%, 3 år =11%.b) Bestäm priserna och spoträntorna om A, B och C har de effektiva räntorna8.5%, 9.0% respektive 11.5%.2.4 Räntekurvans förändringarJ. Frye (Principals of risk: Finding VAR through Factor-Based Interest RateScenarios.”In VAR: Understanding and applying Value at Risk. Risk Publications,London, 1997, 275-288.) gjorde en statistisk studie över de dagliga

10 Finansmatematik IIförändringarna av räntan, hos tio amerikanska statspapper under 1543 dagarmellan 1989 och 1995. Covariansmatrisen för dessa 1543 vektorer av dimension10 beräknades (skattades) och spektraluppdelades. Egenvektorerna a 1 , ..., a 10är givna i Tabell 2. Dessa är parvis ortogonala och har längden 1. Motsvarandeegenvärden betecknas σ 2 1, ..., σ 2 10. Förändringen ∂r har koordinaterna ξ k = ∂r·a ki denna bas:∂r = ξ 1 a 1 + ... + ξ 10 a 10 .De stokastiska variablerna ξ 1 , ..., ξ 10 är okorrelerade och ordnade efter avtagandestandardavvikelser, σ 1 > σ 2 > ... > σ 10 :Tabell 1i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10σ i 17.49 6.05 3.10 2.17 1.97 1.69 1.27 1.24 0.80 0.79Enheten är baspunkter (bp), d.v.s. 1/100 %=0.0001.Tabell 2Löptid 3 mo. 6 mo. 1 yr. 2 yr. 3 yr. 4 yr. 5 yr. 7 yr. 10 yr. 30 yr.a 1 0.21 0.26 0.32 0.35 0.36 0.36 0.36 0.34 0.31 0.25a 2 −0.57 −0.49 −0.32 −0.10 0.02 0.14 0.17 0.27 0.30 0.33a 3 0.50 0.23 −0.37 −0.38 −0.30 −0.12 −0.04 0.15 0.28 0.46a 4 0.47 −0.37 −0.58 0.17 0.27 0.25 0.14 0.01 −0.10 −0.34a 5 −0.39 0.70 −0.52 0.04 0.07 0.16 0.08 0.00 −0.06 −0.18a 6−0.02 0.01 −0.23 0.59 0.24 −0.63 −0.10 −0.12 0.01 0.33a 7 0.01 −0.04 −0.04 0.56 −0.79 0.15 0.09 0.13 0.03 −0.09a 8 0.00 −0.02 −0.05 0.12 0.00 0.55 −0.26 −0.54 −0.23 0.52a 9 0.01 −0.01 0.00 −0.12 −0.09 −0.14 0.71 0.00 −0.63 0.26a 10 0.00 0.00 0.01 −0.05 −0.00 −0.08 0.48 −0.68 0.52 −0.13Väntevärdet av ∂r är försumbart jämfört med fluktuationerna och därför ärstandardavvikelsen det väsentliga. Vi har därförE|∂r| 2 ≈ σ 2 = σ 2 1 + ... + σ 2 10 = 367.9.Ränteförändringar längs a 1 står för 17.49 2 /367.9 = 83% av den totala variansenoch förändringar längs a 2 står för 10%. Tillsammans 93%. Genom attlägga till a 3 kommer man upp till 96%. I Figur 1är a 1 , a 2 och a 3 plottade. Denförsta svarar i grova drag mot en parallellförskjutning av räntekurvan, den andramot en brantning; räntor med löptid under c:a 2 år går åt ett håll och deövriga åt det andra hållet. Den tredje faktorn motsvarar en krökning; korta ochlånga räntor går åt ett håll och de övriga åt det andra hållet.Vi ska inte använda de exakta uttrycken för a 1 , a 2 och a 3 utan approximeradessa med enkla analytiska uttryck. Skäl för detta är (förutom att det ärbehändigt):1 Undersökningen omfattar en marknad under en tidsperiod och det är inteklart att man skulle få exakt samma resultat under andra omständigheter.2 Undersökningen avser Yieldkurvan som beskriver den effektiva avkastningenoch inte spoträntan.3 Avkastningen är inte exakt densamma som den kontinuerliga räntan.Antag att räntan med löptid k är r k för k = 1, 2, ..., n och att räntan ändrarsig från r = (r 1 , ..., r n ) till r + ∂r. De analytiska uttryck som approximerar ∂r

Räntans beroende av löptiden 110.60.4a10.2a20−0.2a3−0.4−0.60 5 10 15 20 25 30Figur 1: De tre viktigaste komponenterna som förklarar räntekurvansförändringar.kan väljas på olika sätt. Vi ska här i första hand betrakta parallellförskjutning,och i andra hand brantning,∂r = 1∂p, där 1 = (1, ..., 1)∂r = r∂b.Genom att även betrakta förändringar av formen∂r = r 2 ∂c, där r 2 = (r 2 1, ..., r 2 n),kan man även efterlikna en viss typ av krökning.Genom att lägga till r k = (r k 1, ..., r k n) för k = 3, 4, ... kan man öka precisionen(men också komplikationen) i approximationen av ∂r för att vid k = n − 1 fåperfekt anpassning.Övning 24 Antag att r 1 , ..., r n alla är olika. Visa att r k , k = 0, 1, ..., n−1 spännerR n .Det är klart att a 3 inte går att efterlikna med en parabel men detta faktumhar inte någon avgörande betydelse. Vi ska senare använda resultaten i dettaavsnitt till att immunisera obligationsportföljer. En möjlighet är att grupperaobligationerna genom att dela in löptiden i några intervall och behandla varjegrupp för sig.I Figur 2 visas en del av Yieldkurvorna för svenska statspapper den 4 augustioch den 4 september 2000. Vi har använt minsta kvadratskattningarna (i lodled)för att anpassa polynom av grad 0,’o’, grad 1,’*’, och grad 2,’+’, till den undrekurvan.

12 Finansmatematik II0.0540.0524/80.050.0480.0464/90.0440.0421 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Figur 2: Yieldkurvans förändring samt approximationer med polynom av grad0,’o’, grad 1,’*’, och grad 2,’+’.Medelavståndet mellan de två Yieldkurvorna, d =√ ∑51 (r′ i − r i) 2 /5, är 31baspunkter medan medelavståndet mellan den undre kurvan och de olika approximationernaär 7.6, 4.3 respektive 3.8. Parallellförskjutning förklarar alltsåmerparten av ränteförändringen i detta fall.2.5 RäntekänslighetPriset på en T -årig nollkupongare med nominellt värde 1 ges avP = e −rT ,där r är den T-åriga spoträntan. I nästa övning ges förändringen, ∂P , i obligationenspris då r → r + ∂r.Övning 25 Visa att om man negligerar termer av storleksordningen (∂r) 2 ochmindre, så gäller∂P= −T ∂rPför priset på en nollkupongare med löptid T .I detta fall är alltså den relativa prisförändrigen proportionell mot löptiden.Nollkupongare med lång löptid är speciellt känsliga för ränteförändringar.För att studera effekten av en ränteförändring r → r+∂r, där r = (r 1 , ..., r n )och ∂r = (∂r 1 , ..., ∂r n ), på en allmän betalström x = (−P, x 1 , ..., x n ) skriver viP (r) =n∑d k x kk=1

Räntans beroende av löptiden 13för nuvärdet av de framtida utbetalningarna som funktion av r. Vi harP (r + ∂r) = P (r) + ∇P (r) · ∂r + O ( |∂r| 2) .Övning 26 Visa attDet följer att∂P∂r k= −kd k x k .Här ärsådär∂PP = −D · ∂r + O( |∂r| 2) .D = (1v 1 , 2v 2 , ..., nv n ) och v k = d kx kP .Speciellt gäller att om spoträntekurvan förändrar sig genom parallellförskjutning,∂PP = −D∂p + O( |∂p| 2) ,D = D · 1 = 1v 1 + 2v 2 + ... + nv när durationen för x. Observera att denna är ett viktat medelvärde av utbetalningstidpunkterna1,...,n och där vikterna är proportionella mot nuvärdena avde utbetalade beloppen. (Här förutsatte vi att x k ≥ 0 för alla k.)Övning 27 Visa att om två obligationsportföljer har priserna P 1 och P 2 ochdurationerna D 1 och D 2 , så har den sammanslagna portföljen durationenP 1P 1 + P 2D 1 + P 2P 1 + P 2D 2 .Det följer att om man sammansätter en obligationsportfölj av ett antal obligationeroch dessa har positiva vikter, så kommer portföljens duration att liggamellan den minsta och den största av de ingående obligationernas durationer.Övning 28 Betrakta följande tre obligationer där periodlängden är ett år:A = (−P A , 5, 5, 5, 5, 105), B = (−P B , 4, 4, 4, 104, 0), C = (−P C , 0, 100, 0, 0, 0).Beräkna priserna och durationerna i det fall (de kontinuerliga) spoträntorna är4.69, 4.88, 5.07, 5.17 respektive 5.19%.Övning 29 Betrakta en obligation med nominellt värde F och kupongen c somdelas ut m gånger per år i T = n/m år. Periodlängden är alltså 1/m år. Antagatt räntan är rak; d k = d k , där d = e −r/m = 1 . Visa att1+ y ma)D = 1 ( cn∑kd k + nd n F ) /P år.m mk=1

Räntans beroende av löptiden 152.6 ImmuniseringAntag att vi redan idag vill säkra framtida betalningsåtaganden; x 1 , x 2 , ..., x n ,där x k ska betalas vid tiden k. Detta kan även formuleras som att vi inneharbetalströmmenx 0 = (0, −x 1 , ..., −x n )och vill ersätta den med en betalström av formen(−P, 0, ..., 0).En tänkbar möjlighet är att idag köpa x k nollkupongare med nominellt värde1 och löptid k, för k = 1, ..., n, d.v.s. att skaffa betalströmmendärx = (−P, x 1 , ..., x n ),P = d 1 x 1 + ... + d n x när det pris vi får betala för obligationerna. Våra betalningsåtaganden har nureducerats tillx 0 + x = (−P, 0, ..., 0)och därmed har vi eliminerat de framtida åtagandena, förutsatt att obligationernaär riskfria.Det kanske inte finns nollkupongare med exakt dessa löptider eller utbetalningarnakanske är så många och små att ovanstående förfaringssätt inte ärlämpligt.I detta fall är ett alternativ att skaffa sig en obligationsportfölj, y, somkanske består av färre obligationer och som kanske har andra löptider men somhar samma nuvärde som x och som reagerar på ränteförändringar på liknandesätt.Vi harP y (r + ∂r) − P x (r + ∂r) = P y (r) − P x (r) + ( ∇P y (r) − ∇P x (r) ) · ∂r + O ( |∂r| 2)och därföromP y (r + ∂r) − P x (r + ∂r) = O ( |∂r| 2)P y (r) = P x (r) och ( ∇P y (r) − ∇P x (r) ) · ∂r = 0.Om vi vill immunisera y-x mot parallellförskjutningar av spoträntekurvan, såtar det andra villkoret formenD y = D xmedan identitetenD y (1) = D x(1)immuniserar mot brantning.Portföljen behöver balanseras om vid första utbetalningen och eventuelltäven tidigare om räntan förändrar sig väsentligt.

Räntans beroende av löptiden 17Exempel 2 Vi ska här immunisera även mot brantning genom att användaalla tre obligationerna A, B och C. I detta fall har vi ekvationernav A + v B + v C = 1v A D A + v B D B + v C D C = Dv A D (1)A + v BD (1)B + v CD (1)C= D(1)som har lösningen: -0.27, 0.89, 0.38. Här krävs det alltså en kort position i obligationenA. För denna portfölj gäller ∂P y /P y = 94 bp om spoträntan förändrarsig som i Figur 2. En försämring jämfört med de två portföljerna i Exempel 1och Övning 31.Övning 32 Antag att det finns nollkupongare med valfri löptid. Låt y bestå avett antal av en nollkupongare. Vilket villkor ska vara uppfyllt för att immuniseramota) parallellförskjutning.b) brantning.Om man immuniserar nollkupongaren i a) relativt x mot parallellförskjutningaroch spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2, så blir den relativa prisförändringen72 bp, att jämföras med 81 bp för x.Övning 33 Antag att du ska betala 1 kr om T år och vill säkra utbetalningengenom att köpa en nollkupongare med löptid T år. En sådan finns inte mendäremot finns nollkupongare med löptider T 1 och T 2 år, där T 1 < T < T 2 .a) Bilda en obligationsportfölj bestående av T 1 −åringar och T 2 −åringar. Bestämvikterna så att portföljen har samma nuvärde och duration som den T −åriganollkupongaren.b) Låt ∆ 0 (r) beteckna skillnaden mellan portföljens och den T −åriga nollkupongarensvärde vid tiden 0 som funktion av räntan r.Visa att∆ 0 (r + 1∂p) = d T2 (T − T 1)(T 2 − T )(∂p) 2 + O((∂p) 3 ).Uttrycket i b) är alltså positivt för små ∂p. Om man kunde lita på att räntanförändras genom parallellförskjutning, så vore det bättre att bilda ovanståendeportfölj även om den T-åriga nollkupongaren finns. Men man kan inte lita pådet: Om vi antar att spoträntekurvan förändar sig som i Figur 2 och vi låterT 1 = T − 1, T 2 = T + 1 år för T = 2, 3, 4, så blir ∆ 0 (r + 1∂p) : -26, 23 respektive-13 bp. Att jämföras med de absoluta förändringarna i d T : 75, 59 respektive 88bp.LitteraturLuenberger, D.G., Investment Science. Oxford University Press 1998Detta är en bred framställning som berör många områden inom finansmatematiken.

18 Finansmatematik IISvar till övningarna3 P V (417) = 417/1.05 = 397.14, P V (430) = 430/1.05 2 = 390.024 T = ln 2/r = 13.86 år=13 år 10 månader och 11 dagar.5 15443 kr6 Om hela intäkten återinvesteras, så har man efter sex år 1.34, 1.37 respektive1.30. Skörd efter 2 år är alltså att föredra.8 Kontinuerlig ränta=0.1113 , avkastning=0.1177 per år.9 Den effektiva räntan ges av årsavkastningarna 0.050, 0.054 respektive 0.045per år.12 Kontinuerlig ränta=0.0835, avkastning=0.0871 per år.13 Årsavkastning=6.2%, 81.30 månader, 3867 kr.16 Årsavkastning=4.06%.17 a P = (c 2 − c)/(c 2 − c 1 )P 1 + (c − c 1 )/(c 2 − c 1 )P 2b c = 0, c 2 /(c 2 − c 1 )P 1 /P respektive −c 1 /(c 2 − c 1 )P 2 /P .c För c mellan c 1 och c 2 .18 3r u > r i /(1+r i ), där r u och r i står för ut- respektive inlåningsräntan angivensom årsavkastning.19 a Den effektiva avkastningen är 0 eller 100% för båda.b Vid t = 0: Låna 1000 kr och acceptera den andra betalströmmen.Vid t = 1: Amortera lånet med 1000 × 1.05 = 1050 kr. Låna ut återstoden3000 − 1050 = 1950 kr.Vid t = 2: Lånet återbetalas till dig med 1950 × 1.04 = 2028 kr och du betalar2000 kr. Kvar 28 kr. Du får alltså betalströmmen (0, 0, 28).20 c: Ta lånet och köp 426 ettåringar och 656 tvååringar. Detta ger dig betalströmmen(2.94, 0, 0).20 d Långivaren säljer kort 866 ettåringar och 181 tvååringar. Detta ger långivarenbetalströmmen (1.11, 0, 0).21 b p = 2.22: Fullständig för alla p. Arbitragefri för 1 < p < 2.23 a) Pris 98.19. Effektiv ränta 10.74.b) Pris 101.38 101.76 96.37 , Effektiv ränta 8.50% 9.02% 11.79 .28 Priser: 98.67, 95.45, 90.70. Durationer: 4.54, 3.77, 2.00.30 D (1) : 0.235, 0.194, 0.098 D (2) : 0.012, 0.010, 0.00531 Köp A för 150.83 SEK och C för 279.64 SEK:32 a) T = D, b) T r T = D (1) .33 a) v T1 = T2−TT 2−T 1, v T2= T −T1T 2−T 1