Ryszard Rubinsztein - Matematiska institutionen - Uppsala universitet

UPPSALA UNIVERSITETMatematiska institutionenRyszard Rubinsztein 471-3226Prov i matematikCivilingenjörsprogrammenF, Q, WEnstaka kursLINJÄR ALGEBRA2006–12–21Skrivtid: 14.00 – 19.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara försedda medmotiveringar. Varje korrekt löst uppgift ger max 5 poäng. För betygen 3, 4, 5 krävs minst18, 25 respektive 32 poäng.1. Låt M vara det delrum till R 4 som spänns upp av vektorerna u 1 = (1, −1, 3, 1), u 2 =(2, 1, −1, −2), u 3 = (3, 3, −5, −5), u 4 = (1, 3, −2, 1) och u 5 = (3, −4, 7, −1) .(i) Finn en bas i M bland de givna vektorerna.(ii) Avgör för vilka värden av den reella konstanten a tillhör vektorn v = (1, a − 1,1 − 3a, 5) delrummet M . För dessa värden av a bestäm även koordinaterna förvektorn v i den bas i M som du har valt i del (i) av uppgiften.2. Låt F : E 3 −→ E 3 vara den linjära avbildning som geometriskt betyder en rotation irummet med vinkeln π kring axeln (x 1 , x 2 , x 3 ) = (t, 2t, t), t ∈ R . Bestäm F :s matris istandardbasen.3. (a) Ge definitionen av en transformationsmatris från en bas till en annan bas i ett linjärtrum.(b) Givna är två baser i R 2 : en bas u bestående av vektorerna u 1 = (1, 1) ochu 2 = (2, −1) och en bas v bestående av vektorerna v 1 = (−5, 2) och v 2 = (3, −1) .Finn transformationsmatrisen från basen u till basen v .(c) Låt P 2 vara rummet av alla reella polynom p(x) av grad högst 2. Finn transformationsmatrisenfrån basen p som består av polynomen p 1 (x) = 1 − x 2 , p 2 (x) =x + 2x 2 och p 3 (x) = 1 + 2x + x 2 till basen q som består av polynomen q 1 (x) =1, q 2 (x) = x, q 3 (x) = x 2 .4. Låt N vara det delrum till E 4 som spänns upp av vektorn u = (1, 2, 0, 2) . Låt P 1 :E 4 −→ E 4 vara den ortogonala projektionen av E 4 på N och låt P 2 : E 4 −→ E 4vara den ortogonala projektionen av E 4 på N ⊥ . Finn både P 1 :s och P 2 :s matriser istandardbasen.V.g.v!

5. En andragradsyta i E 3 ges av ekvationen3x 2 + y 2 + 3z 2 − 2xy + 6xz + 2yz = 1 .Bestäm ytans typ, det minsta avståndet från ytan till origo och dessa punkter på ytandär det minsta avståndet antas (obs: punkterna skall anges med sina koordinater i standardbasen).6. Den linjära avbildningen F : R 4 → R 4 har i standardbasen matrisen⎛⎞1 0 1 −1A = ⎜ 0 1 1 −1⎟⎝ −2 2 2 0 ⎠ .−2 2 0 2Avgör om avbildningen F är diagonaliserbar. Om så är fallet, finn en bas i R 4 beståendeav egenvektorer till F samt en matris T som diagonaliserar matrisen A. Ange även denmotsvarande diagonala matrisen.7. I R 3 inför man en skalärprodukt3∑ϕ((x 1 , x 2 , x 3 ) , (y 1 , y 2 , y 3 )) = a ij x i y jsådan att vektorerna v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1) utgör en ON-bas i R 3m.a.p. denna skalärprodukt. Bestäm koefficienterna a ij för alla 1 ≤ i, j ≤ 3 , dvs. finnGrams matris för skalärprodukten ϕ i standardbasen.i,j=18. Låt F : E 2 −→ E 2 vara en isometrisk avbildning som i någon bas i E 2 har en matrisA med det(A) = −1 . Visa att F är en spegling i någon linje genom origo i E 2 .LYCKA TILL!GOD JULochGOTT NYTT ÅR!

Svar till tentamen i LINJÄR ALGEBRA 2006–12–211. (i) T.ex. u = ( u 1 , u 2 , u 4 ) .(ii) a = −3. Om a = −3 : v = ( 3, −1, 0) u .2.⎛[F ] st = 1 ⎝3−2 2 12 1 21 2 −2⎞⎠ .3. (b)4.(c)[P 1 ] = 1 9⎛⎜⎝1 2 0 22 4 0 40 0 0 02 4 0 4T = 1 3⎛T = 1 ⎝2⎞( −1 1−7 4)3 −2 12 −2 2−1 2 −1⎟⎠ , [P 2] = 1 9⎛⎜⎝⎞⎠8 −2 0 −2−2 5 0 −40 0 9 0−2 −4 0 5⎞⎟⎠ .5. En enmantlad hyperboloid, avståndet till origo är6. Ja, F är diagonaliserbar.T.ex.⎛T =⎜⎝1 1 0 11 0 0 10 2 1 00 2 1 −1⎞⎟⎠ D =1√ , antas i punkterna P 1,2 = ± 16 2 √ (1, 0, 1) .3⎛⎜⎝1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 2⎞⎟⎠ .7.⎛A = (a ij ) = 1 ⎝43 −1 −1−1 3 −1−1 −1 3⎞⎠

Lösningar till tentamen i LINJÄR ALGEBRA 2006–12–21Lösning till problem 1.Lösning till problem 2.Lösning till problem 3.Lösning till problem 4.Lösning till problem 5.Lösning till problem 6.Lösning till problem 7.Lösning till problem 8.