MMVF01 Termodynamik och strömningslära

CH. 1 — INLEDNINGMMVF01 Termodynamik och strömningslära1.1 Definiera eller förklara kortfattat(a) fluid(b) dynamisk viskositet(c) kinematisk viskositet(d) Reynolds tal(e) ljudhastighet(f) MachtalRepetitionsfrågor — strömningslära23 augusti 20111.2 Ange dimensionen för dynamisk resp. kinematisk viskositet i SI-enheter. Ange också ungefärligasiffervärden på dessa för vatten och luft vid rumstemperatur och normaltryck (20 ◦ C, 1 atm).1.3 För Newtonska fluider gäller att skjuvspänningar är proportionella mot skjuvhastigheter (skjuvvinklarstidsderivator) i olika plan. Om skjuvningen sker i ett enda plan visa då att skjuvspänningenτ är proportionell mot hastighetsgradienten vinkelrätt detta plan.CH. 2 — FLUIDERS STATIK2.1 Förklara vad som avses med absolut tryck samt över- resp. undertryck.2.2 Betrakta en fluid i vila där z-riktningen är lodrätt uppåt. Utgående från att trycket är en skalärstorhet, p = p(x, y, z), visa att dpdz= −ρ g.2.3 Beskriv hur differenstryck över en komponent i ett rörsystem kan mätas m.h.a. U-rörsmanometer.Den strömmande fluiden har densiteten ρ, manometervätskan ρ m . Härled ett uttryck på tryckdifferensenmed given avläst höjdskillnad ∆h.CH. 3 — BERNOULLIS EKVATION3.1 Definiera begreppet inkompressibel strömning samt ange en tumregel för när en strömning måstebetraktas som kompressibel.3.2 (a) Definiera vad som menas med en strömlinje.(b) Betrakta stationär och friktionsfri strömning (endast tryck- och gravitationskrafter).Visa att dp + ρ d(V 2 /2) + ρ g dz = 0 gäller längs en strömlinje.3.3 Ange Bernoullis ekvation längs en strömlinje. Ingående storheter skall klarläggas. Under vilkaförutsättningar gäller ekvationen?3.4 Definiera eller förklara kortfattat(a) statiskt tryck(b) dynamiskt tryck(c) stagnationspunkt3.5 Beskriv hur ett s.k. Prandtlrör (eng. Pitot-static tube) fungerar samt härled ett uttryck på strömningshastigheten.Illustrera.1

3.6 Härled ett uttryck på en vätskestråles hastighet ut ur ett litet hål som sitter i botten på en storöppen tank. Strömningen kan betraktas som friktionsfri. Hur beräknas volymflödet om hålets areaär givet? Kontraktionskoefficienten antas känd (given).3.7 Beskriv och illustrera hur en Venturimeter fungerar samt härled ett uttryck på massflödet. Förutsättstationär, inkompressibel och friktionsfri strömning.CH. 4 — KINEMATIK4.1 Beskriv kortfattat skillnaden mellan partikelbana och stråklinje.4.2 Förklara kortfattat skillnaden mellan laminär och turbulent strömning.4.3 En fluidpartikels hastighetsvektor beror av läget och tiden t enligtV = V [ x(t), y(t), z(t), t ]. Visa att partikelns acceleration kan skrivasa = ∂V∂t + u∂V ∂x + v ∂V∂y + w ∂V∂z4.4 Låt B vara en godtycklig massberoende storhet och b vara samma storhet uttryckt i per massenhet.(a) Härled ett uttryck för den materiella tidsderivatan av B tillämpad på en stillastående, stelkontrollvolym vid endimensionell strömning (Reynolds transportteorem).(b) Ange motsvarande generella teorem (tredimensionell, instationär strömning) gällande en rörligmen stel kontrollvolym. Illustrera det konvektiva bidraget med figur.CH. 5 — INTEGRALANALYS5.1 (a) Definiera medelhastighet V över ett tvärsnitt beskrivet av ytan A med normalvektorn ˆn (inkompressibelströmning).(b) Visa att medelhastigheten i ett rakt cirkulärt rör med fullt utvecklad laminär strömning ärlika med halva hastigheten i rörets centrum. Hastighetsprofilen är parabolisk.5.2 Newtons andra lag tillämpat på en kontrollvolym (CV):∫∫∂Vρ dV + VρV · ˆn dA = ∑ F CV∂tCVCSdär ∑ F CV = vektoriella summan av alla krafter som verkar på CV. Hastighetsvektorn V ärrelaterad till ett icke-accelererande koordinatsystem.Ange ett lämpligt koordinatsystem om kontrollvolymen rör sig med konstant hastighet. Förenklaovanstående ekvation då strömningen är stationär och sker genom en stel kontrollvolym medendimensionella (homogena) förhållanden vid in- och utlopp. Specialisera sedan till ett inlopp ochett utlopp.5.3 Ange Bernoullis utvidgade ekvation tillämpad mellan två snitt i ett rör vid inkompressibel, stationäroch endimensionell strömning. Definiera ingående termer och storheter. Illustrera i figur.Endimensionell strömning = homogena förhållanden över tvärsnitt.CH. 6 — DIFFERENTIALANALYS6.1 Den momentana påverkan som ett hastighetsfält har på ett från början kubiskt litet fluidelementkan kinematiskt uppdelas i fyra s.k. elementarrörelser; vilka? Illustrera med figur.6.2 (a) Divergensen av hastighetsvektorn V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater = ∂u/∂x + ∂v/∂y +∂w/∂z. Vad beskriver denna skalära storhet? Vad gäller vid inkompressibel strömning?(b) Skriv ut rotationen av hastighetsvektorn V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater. Vad beskriverdenna vektor?Rotationen av hastighetsvektorn = ∇ × V (= vorticitetsvektorn).2

6.3 Visa att vorticitetsvektorns enda komposant vid plan strömning motsvarar den dubbla, momentana,vinkelhastigheten (moturs) för diagonalen av ett från början kvadratiskt infinitesimalt litetfluidelement. Plan strömning: V = (u, v, 0), där u = u(x, y), v = v(x, y).6.4 För ett strömningsfält beskrivet via ett Cartesiskt koordinatsystem leder lagen om massans oförstörbarhettill följande ekvation (kontinuitetsekvationen på differentiell form):∂ρ∂t + ∂∂x (ρ u) + ∂ ∂y (ρ v) + ∂ (ρ w) = 0∂z(a) Härled ekvationen. Utgå från massbalans gällande en liten stel kontrollvolym kring en godtyckligpunkt. Ledning: DB sys /Dt = ∫ CV ∂(ρb)/∂t dV− + ∫ CSρbV · ˆn dA.(b) Vid inkompressibel strömning kan ekvationen förenklas. Hur?6.5 Betrakta plan, tvådimensionell strömning beskriven i ett Cartesiskt koordinatsystem, u = u(x, y),v = v(x, y), w = 0.(a) Definiera strömfunktionen ψ(x, y) via uttryck för u och v.(b) Visa att ψ = konst. motsvarar strömlinjer.CH. 7 — DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHET7.1 Ange dimensionen för densitet ρ, dynamisk viskositet µ, effekt P (arbete per tidsenhet) samtspecifik värmekapacitet c p i MLT -systemet.7.2 (a) Vad innebär principen om dimensionshomogenitet?(b) Formulera det s.k. Π-teoremet.7.3 Förklara vad som menas med geometrisk och dynamisk likformighet.7.4 (a) Betrakta en inkompressibel strömning med karakteristisk hastighet V och d:o längd L. Visaatt Reynolds tal (Re) är ett mått på kvoten mellan tröghetskrafter och viskösa krafter verkandepå ett litet fluidelement (tröghetskraft = massa × acceleration).(b) Formulera Reynolds likformighetslag.CH. 8 — RÖRSTRÖMNING8.1 (a) Definiera Reynolds tal vid strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt. Ange ungefärliga (ingenjörsmässiga)intervall i Reynolds tal för vilka strömningen kan betraktas som laminär resp. turbulent.(b) Skissera hastighetsprofilernas utseende vid fullt utvecklad laminär resp. turbulent strömningi ett rör med cirkulärt tvärsnitt. Hur inverkar Reynolds tal på profilens utseende?8.2 Definiera eller förklara kortfattat:(a) inloppssträcka i rör(b) friktionsfaktor f (Darcy-Weisbachs friktionsfaktor)(c) engångsförlustkoefficient K L(d) hydraulisk diameter D h8.3 Betrakta fullt utbildad laminär strömning i ett horisontellt rakt rör med cirkulärt tvärsnitt. Hurvarierar tryckfallet per längdenhet ∆p/l med volymflödet Q, diametern D, samt fluidens densitetρ och viskositet µ? Observera att exakt svar kan anges via exponenterna a − d i uttrycket ∆p/l ∝Q a D b ρ c µ d . Hur förändras inverkan av resp. storhet om strömningen istället är turbulent vidtillräckligt höga Reynolds tal?8.4 Skissera i ett dubbellogaritmiskt diagram hur friktionsfaktorn varierar med Reynolds tal ochrelativ skrovlighet vid fullt utbildad strömning i rör (Moody-diagrammet).3

CH. 9 — OMSTRÖMMADE KROPPAR9.1 Definiera för en omströmmad kropp:(a) formmotstånd(b) motståndskoefficient C D9.2 (a) Förklara kortfattat vad som menas med ett gränsskikt. Illustrera med enkel skiss.(b) Ange en praktisk definition av gränsskiktstjocklek δ.(c) Hur varierar δ med avståndet från framkanten x vid strömning över en plan platta vid tangentiellanströmning med konstant hastighet U? Potensberoenden i olika områden skall anges.Illustrera med figur.9.3 Definiera förträngningstjocklek δ ∗ för ett gränsskikt vid inkompressibel, tvådimensionell strömning.Förklara varför δ ∗ kallas förträngningstjocklek. Illustrera med figur.9.4 Förklara kortfattat vad som menas med gränsskiktsavlösning (eng. boundary layer separation),speciellt varför fenomenet uppträder. Illustrera schematiskt för strömning kring en cirkulär cylinder(eller en sfär).Ch. 17 (ÇENGEL & BOLES) — KOMPRESSIBEL STRÖMNING17.1 (a) Förklara vad som menas med stagnationstemperatur och stagnationstryck.(b) Härled ett samband mellan stagnationstemperatur T 0 , temperatur T , k = c p /c v och MachtalMa vid kompressibel strömning av en perfekt gas.(c) Härled ett samband mellan stagnationstryck P 0 , statiskt tryck P , k = c p /c v och Machtal Mavid kompressibel strömning av en perfekt gas.Isentropsamband: P v k = konst. (v = volymitet)17.2 Den lokala ljudhastigheten c i ett kompressibelt medium definieras√ (∂P ) √ ( ) ∂Pc = = k∂ρ s ∂ρ TBestäm ur denna definition ett uttryck på ljudhastigheten för en ideal gas.17.3 Beskriv ett Lavalmunstycke (eng. converging-diverging nozzle). Illustrera. Vad används det till?Christoffer Norberg, tel. 046-2228606, christoffer.norberg@energy.lth.se4