формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

Н. Г. МАКАРЕНКОгладкие гомеоморфизмы (см. рис. 4). Окружность в R 2 диффеоморфна эллипсу,но не треугольнику, которому она лишь гомеоморфна. Диффеоморфизмыопределяют класс эквивалентных диффеоморфных пространств.Введем на многообразии некоторые понятия. Кривая на M, проходящаячерез точку p — это отображение I ≡ [0, 1] → M, сопоставляющее каждойλ ∈ I точку c(λ) ∈ M, так что c(0) = p. Ясно, что c — это параметризация:две кривые различны, даже если их образы совпадают, но одинаковымточкам p в M соответствуют разные λ.Функция на M — это отображение M → R 1 , сопоставляющее каждойточке p ∈ M вещественное число. Поскольку точка p всегда содержитсяв некоторой окрестности V , карта окрестности (V, Φ) превращаетf : M → R 1 в функцию, заданную на R n : f ◦ Φ −1 : R n → R 1 . Если онадифференцируема на R n , то говорят, что она дифференцируема на M.РИС. 4. Две фигуры вверху диффеоморфны; нижняя пара — нетОпределим касательный вектор к p ∈ M. Хотелось бы обойтись без координат,т. е. дать внутреннее определение. Идея стрелки, «приклеенной»к p ∈ M, дает подходящее представление, недостатком которого являетсянеобходимость иметь некоторое объемлющее пространство, в котороевыходит конец стрелки.Пусть через точку p ∈ M проходит кривая I → M : λ → c(λ) иc(0) = p. Будем изучать смещение точки p с помощью произвольной скалярнойфункции f: мы просто используем в качестве аргумента этой функцииточки, принадлежащие кривой. Интуитивно ясно, что в инфинитези-УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 99