формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

Н. Г. МАКАРЕНКОдельных кусков R n . Изготовление многообразий таким способом сохраняетблизость точек: близкие точки многообразия отображаются в близкие точкиплоской карты. На карте можно выбрать подходящую систему координат итогда понятие близости обретает смысл расстояния. Само многообразие ненаделено координатами, поэтому понятие близости здесь носит несколькопризрачный оттенок. Ситуация становится более определенной, есливвести понятие окрестности.Окрестность точки x многообразия можно определить, указав выделенныйкласс подмножеств (их называют открытыми), все точки которых«достаточно близки к любой точке». Класс замкнут относительно операцийобъединения и пересечения. А именно, пересечение конечного числаоткрытых множеств и объединение любого их числа также принадлежитуказанному классу. Именно он определяет топологию многообразия. Еслив нем всего два объекта: все множество и пустое множество, то топологиятривиальна. Объявив открытыми все точки множества, мы получимдискретную топологию. Важно, что объявить открытым!Пусть многообразие — обычное R n с евклидовой метрикой. Открытыеокрестности, индуцирующие метрическую топологию, — это открытые шары:∑ x 2 i < ρ. Не все множества позволяют ввести топологию, например,два конуса с общей вершиной на рис. 2. Окрестность общей точки не допускает«выпрямление» на плоскость. Аналог этой ситуации — множествоxy = 0 в R 2 . Попытка ввести карту, т. е. построить гомеоморфизм на R 1 ,ведет к нелепости: наше множество — координатные оси; и если мы отобразимоткрытое на оси x множество, например, a < x < b в R 1 , считая,что точка (0, 0) принадлежит (a, b), то в R 1 не останется места для точек,содержащих (0, 0) по оси y. С другой стороны, нельзя объявить открытымимножества(a < x < b ; y = 0) и (c < y < d ; x = 0) ,так как их пересечение — точка (0, 0) должна быть открытой. Но ее образв R 1 — отдельная точка, т. е. замкнутое пространство! Такие множества неявляются многообразиями, поскольку для них не выполняется аксиома отделимостиХаусдорфа, справедливая для многообразий: любая пара точекможет быть разделена непересекающимися окрестностями.Пусть M — многообразие, U — подмножество в M, а Φ — биекция U вR n . Тогда n-мерной картой «с» на M называют пару (U, Φ). Здесь U —область карты, а Φ — координатное отображение. Иными словами, мыУДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 97