формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

ISBN 5–7262–0471–9ЛЕКЦИИ ПО НЕЙРОИНФОРМАТИКЕявляется бесконечномерным и поэтому здесь невозможно прибегнуть к заменевыражения почти каждая на утверждение с вероятностью единица.Другой способ сделать это основан на топологии.Рассмотрим два множества A и B таких, что A ⊂ B. Говорят, что Aплотно в B, если:• каждая точка B либо принадлежит A, либо является точкой накопленияA, (т. е. каждая точка x, принадлежащая или не принадлежащаяA, содержит в своей окрестности по меньшей мере одну точкуy ≠ x | y ∈ B), или• каждое открытое подмножество точек B содержит точку A.Пример 1. Множество нецелых чисел плотно и открыто в R, а множестворациональных чисел плотно, но не открыто на вещественной оси.Кажется разумным связать «обычные» свойства с множеством A, котороеплотно в B. Однако, такой путь не приводит к результату, совместимомус интуицией: в некоторых случаях дополнение A в B тоже плотноеподмножество в B.Пример 2. Подмножество рациональных чисел плотно в R, но такимже является и его дополнение — подмножество иррациональных чисел. Однако,интуитивно ясно, что иррациональное число на R — более обычныйобъект. Чтобы адекватно отслеживать такие ситуации, было введено понятиеостаточного множества (residual set) (4) . Подмножество A остаточноев B, если оно является пересечением конечного или счетного числаоткрытых и плотных подмножеств в B. Любое счетное пересечениеостаточных множеств плотно, и любое «респектабельное» 6 пространствосодержит остаточное множество. Такие пространства называют пространствамиБэра. Например, любое полное метрическое пространство являетсябэровским. В пространстве Бэра дополнение остаточного множества не можетбыть остаточным: в противном случае пустое множество пришлось бысчитать плотным.Пример 3. Пусть Q = {q 1 , q 2 , . . . q n , . . .} — подмножество рациональныхчисел в R, а U n = R − {q n } открытое плотное подмножество. Тогдаиррациональные числа — это счетное пересечение всех U n и, следовательно,остаточное подмножество в R; с другой стороны очевидно, что Q неявляется таковым.6 Т. е. «хорошее» пространство, в котором есть все для работы — например, полное,метрическое. Или банахово, с нормой и метрикой.92 УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети