формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

Н. Г. МАКАРЕНКОотображение f : X → Y непрерывно в x ∈ X, если для любой окрестностиV , открытой в Y и содержащей точку f(x), найдется такая открытаяв X окрестность U(x), что f(U) ⊂ V . Для метрических пространств этоопределение совпадает с классическим, записанным на (ε−δ)-языке. Отображениеϕ открытого множества U из R n в R m называется гладким, еслионо имеет непрерывные частные производные всех порядков: говорят, чтоϕ имеет класс C r , если это справедливо для производных до порядка rвключительно. В более общем случае, когда область определения f не открыта,отображение ϕ : X → R n называют гладким, если для каждой точкиx ∈ X существует открытая окрестность U ⊂ R n и гладкое отображениеF : U → R n такое, что F = f на U ∩ X (рис. 1).FXxf(x)f(X)UfF(U)РИС. 1. Определение гладкого отображенияИзвестно важное свойство гладких функций: если дифференциал такойфункции в точке x имеет некоторое свойство, то сама функция будет иметьтакое же свойство по меньшей мере в окрестности точки x. Например, еслипроизводная f ′ (x 0 ) функции f положительна, f ′ (x 0 ) > 0, то в малойокрестности точки x 0 функция f возрастает (1) . Это свойство называютобычно принципом общего положения или принципом (догмой) линеаризации,поскольку дифференциал функции является линейной частью отображения(2) . Принципу общего положения удовлетворяет не каждая функция,поэтому важно сделать математически точными утверждения о выполнимостинекоторого свойства для «почти каждой» функции (3) . Вообще говоря,любые свойства математических объектов можно классифицировать какобычные (usual) и необычные (unusual). Стандартный прием выразить распространенностьнекоторого свойства, выполняющегося на подмножествеA ⊆ B, сводятся к тому, чтобы показать, что обычные свойства соответствуютподмножеству с большей мерой. Однако, пространство функцийУДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 91