формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

ISBN 5–7262–0471–9ЛЕКЦИИ ПО НЕЙРОИНФОРМАТИКЕМы будем использовать следующие стандартные обозначения:• Запись x ∈ X означает, что x принадлежит X.• Запись {x|d(a, x) < r} читается: множество таких x, для которыхрасстояние от точки a меньше r.• Запись A ⊂ B (A ⊆ B) означает, что A содержится в B (содержитсяили совпадает с B).• Объединением множеств A и B называют множество C = A ∪ B,состоящее из элементов c ∈ C, каждый из которых принадлежит Aили (и) B.• Пересечением A и B называют множество C = A ∩ B, каждый элементc которого входит и в A, и в B.Соответствие между различными множествами удобно описывать функциямиили отображениями: f(∗) или f : X → Y . Подмножество {f(x)} ∈Y — это область значений функции, а {x} ∈ X — ее область определения.Метрическое пространство (M, d) — это множество M вместе с вещественнозначнойфункцией d, которая удовлетворяет аксиомам метрики. ДляM ≡ R n , где R n — n-мерное евклидово пространство (обозначается какn = dim M), часто используют L 2 -метрику[∑d(x, y) = (x i − y i ) 2] 1/2.iПусть (M, d) — метрическое пространство и r > 0 — действительноечисло. Тогда открытым шаром в точке a ∈ M называется подмножествоB(a, r) ⊂ M : B(a, r) = {x ∈ M | d(a, x) < r}. Шар называется замкнутым,если d(a, x) r.Отображение f : A → B называют сюръекцией или отображениемна, если образ всего A совпадает с B, т. е. каждый элемент из B являетсяобразом по крайней мере одного элемента из A. Если A = B, то элемент x,удовлетворяющий условию x = f(x) (f : A → A), называют неподвижнойточкой отображения f. Отображение ϕ : A → B называют инъективнымили взаимно однозначным, если ∀y ∈ B существует не более одного элементаx ∈ A такого, что y = ϕ(x). Тогда ϕ(x) = ϕ(y) влечет x = y. ЕслиB = R n , то f называют функцией: впрочем, термины «функция» и «отображение»обычно считают синонимами. Обратную к f(x) функцию будемобозначать f −1 (x). Отображение, являющееся инъективным и сюръективным,называется биекцией. Теперь сформулируем условие непрерывности:90 УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети