формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

ISBN 5–7262–0471–9ЛЕКЦИИ ПО НЕЙРОИНФОРМАТИКЕРис. 13 подсказывает причину хаотичности. Две ε-близкие начальныеточки на горизонтальной оси уже после первой итерации окажутся разделеннымирасстоянием 2ε (так как коэффициент наклона прямых на рис. 13равен двум), после второй — 2 2 ε и т. д. Через конечное число итераций расстояниемежду ними достигнет размеров фазового пространства (= 1).Число необходимых для этого итераций и определяют границу прогноза.Для измерения скорости «разбегания» близких траекторий в общем случаеиспользуют так называемые показатели Ляпунова. Пусть отображение заданов виде: x(n + 1) = f(x(n)), M = [0, 1]. Тогда две близкие точки x(0)и (x(0) + ε) после N итераций окажутся на расстоянии:εe Nλ(x0) ≈ |f N (x 0 + ε) − f N (x 0 )|друг от друга. В пределе ɛ → 0, N → ∞ получим:λ(x 0 ) = limN→∞ limε→01∣ ∣∣N ln f N (x 0 + ε) − f N (x 0 )∣ =ε1∣ ∣∣= limN→∞ N ln df N (x 0 )∣ ∣∣ ,dx 0где λ(x 0 ) — коэффициент растяжения (или сжатия) расстояния между двумяточками за одну итерацию. Его называют локальным ляпуновским показателем(4) .Используя это понятие, нетрудно оценить среднее время предсказуемостиT m нашего отображения. Очевидно, наша способность предсказыватькончается, когда расстояние между близкими точками достигнет размеровфазового пространства M — этот размер у нас равен 1, т. е. ε × exp(λT m ) ∼1. Отсюда следует, что T m ∝ (1/λ)ln(ε −1 ) (5) . Эту величину часто называютгоризонтом предсказуемости. Поскольку точность начальных данныхвсегда конечна, поведение систем с хаотической динамикой всегда ограниченнопредсказуемо. Следует заметить, что не всегда следует полагатьсяна оценки ляпуновских показателей. Для реконструкций, построенных извременных рядов со значительной шумовой компонентой, невозможно получитьдаже оценку самого простого максимального положительного показателя.В этом случае более полезны оценки горизонта предсказуемости,основанные на эвристических соображениях.В заключение упомянем еще об одном интересном классе систем, длякоторых будущее предвидимо, но не предсказуемо! Это так называемыемягкие системы, существенным элементом которых является человеческий134 УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети