формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

Н. Г. МАКАРЕНКООни рассматриваются как компоненты m-мерного вектора и образуют точкуобраза z n ∈ R m :z n = (h(f n ( −→ x 0 )), h(f n+1 ( −→ x 0 )), . . . , h(f n+m−1 ( −→ x 0 ))) == (h( −→ x n ), h(f( −→ x n )), . . . , h(f m−1 ( −→ x n ))) = F ( −→ x n ) .Следующая точка получается сдвигом m-мерного набора на один отсчет,а итеративное продолжение этой процедуры даст упорядоченнуюпоследовательность точек — копию истинной орбиты! Действительно, посколькуF f,h — гладкое и обратимое преобразование, можно определитьотображение σ = F ◦ f ◦ F −1 (9) . Так как точка z n является образомF , применение σ в R m дает:σ(z n ) = F ◦ f ◦ F −1 (z n ) = F ◦ f ◦ F −1 (F ( −→ x n )) == F ◦ f( −→ x n ) = F ( −→ x n+1 ) = z n+1 .Заметим, что теорема справедлива для диффеоморфизмов f t , имеющихлишь конечное число неподвижных точек и периодических орбит с периодомменьше m. В противном случае, для такой периодической точкинарушается даже условие иммерсии (погружения) F f,h .Теорема гарантирует, что копия будет вложением, т. е. сохранит свойствооригинала с точностью до диффеоморфизмов — непрерывных и дифференцируемыхпреобразований. Вспомним, что для (топологического) вложенияможно использовать любую непрерывную функцию; сдвиг — самаяпростая функция из возможных. На рис. 9 приведен пример вложения в R 3временного ряда чисел Вольфа (рис. 10).Важное замечание. Именно это свойство позволяет оценивать многиенеобходимые динамические инварианты (размерность, ляпуновские показатели,энтропию) для неизвестной в явном виде системы по диффеоморфнойкопии ее аттрактора. Реконструкция находится в привычном R m ивполне доступна для численных манипуляций! Более того, отображениеσ = F ◦ f ◦ F −1 (9) : z n+1 = σ(z n ) лежит в основе современной схемынелинейного многомерного прогноза. Конечно, z n+1 является вектором,однако уравнение можно переписать для проекции на первую координату:h n+1 = Φ(h n , h n−1 , . . . , h n−m+1 ) .Таким образом, прогноз сводится к поиску наилучшей аппроксимациинелинейной, но непрерывной функции σ от m переменных. ОтображениеУДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 111