формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

ISBN 5–7262–0471–9ЛЕКЦИИ ПО НЕЙРОИНФОРМАТИКЕгруппы Паккарда и др. [17]: «Эвристическая идея метода реконструкциисостоит в том, что для описания состояния трехмерной системы в любоймомент времени достаточно измерения любых трех независимых величин,где термин “независимый” пока не определен формально, но будетопределен операционно». В качестве такой тройки в этой же работе былопредложено использовать сам ряд h(t) и две его производные. Полученныеновые координаты (h, ḣ, ḧ) позволяли восстановить фазовый портреттрехмерной модельной системы, заданной в явном виде. В качестве рядабыло взято решение системы трех дифференциальных уравнений дляодной из координат (5) . Несмотря на привлекательность самой идеи — реконструкцияфазовой геометрии системы из временного ряда только однойкоординаты (6) , математическая корректность самой процедуры вызываласомнения. Действительно, согласно теореме Уитни, трехмерное многообразиеневозможно даже погрузить в R 3 так, чтобы образ был компактнымподмножеством с точностью до предположения о типичности (7) . Ситуацияизменилась в 1981 году, когда Такенс [20] формализовал эвристику Паккардав форме своей известной теоремы. Я приведу ее в строгой форме, азатем дам неформальные разъяснения.Теорема Такенса. Пусть D r — множество C r -диффеоморфизмов {f t },f t : M → M, компактного d-мерного многообразия M и пусть C r (M, R) —множество наблюдаемых функций h(t), h : M → R. Определим для m 2d + 1 отображение запаздывающих координат F f,h : M → R m :F f,h ( −→ x ) = (h( −→ x ), h(f( −→ x )), . . . , h(f m−1 ( −→ x ))) .Тогда множество (f t , h), для которого F f,h является вложением, открытои всюду плотно в D r (M) × C r (M, R) для r 1.Первая часть теоремы содержит наши символы веры (8) , сводящиесяфактически к тому, что достаточно гладкие (т. е. класса C r (M, R)) наблюдения— временной ряд h(t) — продуцируются C r (M)-гладкой динамическойсистемой, которая имеет компактный d-мерный аттрактор.Вторая часть теоремы учит нас, как, используя временной ряд h(t),построить копию аттрактора в евклидовом пространстве R m подходящейразмерности m = 2d + 1 (см. рис. 8). Для этого следует сперва взять mотсчетов временного ряда, начиная с произвольного номера n:h n , h n+1 , . . . , h n+m−1 .110 УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети