ÑоÑÐ¼Ð°Ñ Adobe PDF, ÑÐ°Ð·Ð¼ÐµÑ 2173 Ðб - ÐнÑоÑмаÑионно ...
ÑоÑÐ¼Ð°Ñ Adobe PDF, ÑÐ°Ð·Ð¼ÐµÑ 2173 Ðб - ÐнÑоÑмаÑионно ... ÑоÑÐ¼Ð°Ñ Adobe PDF, ÑÐ°Ð·Ð¼ÐµÑ 2173 Ðб - ÐнÑоÑмаÑионно ...
ISBN 5–7262–0471–9ЛЕКЦИИ ПО НЕЙРОИНФОРМАТИКЕНапомним, что динамической системой в фазовом пространстве M называетсяоднопараметрическая группа диффеоморфизмов f t (x) : M → M.Параметр группы t — это время, которое может принимать непрерывныеили дискретные значения. В качестве M выступают обычные евклидовыпространства R n или гладкие многообразия. Диффеоморфизмы f t могутбыть заданы в виде дискретных или непрерывных преобразований; групповоесвойство означает:f t2 (f t1 (x)) = f t1+t2 (x) .При этом f 0 (x) = x — единица группы; если x 1 = f t (x 2 ), то x 2 = f −t (x 1 ).Если динамическая система задана дифференциальным уравнением ẋ =F (x), то в первом приближенииx(t + dt) = x + dx = x + F dt = f dt (x) == f 0 (x) + df 0 (x)dtdt + . . . = x + df 0 (x)dt .dtФункцию F (x) = df t (x)dt| t=0 называют векторным полем, которое задаеткасательную к траектории в каждой точке фазового пространства.Траекторией или орбитой динамической системы называют последовательностьточек. . . , f −3 (x), f −2 (x), f −1 (x), x, f(x), f 2 (x), . . .Неподвижной точкой x 0 называется траектория, которая для всех tудовлетворяет условию: f t (x 0 ) = x 0 .Периодической называется траектория, не являющаяся неподвижнойточкой, и такая, что для некоторого P и произвольного t выполнено равенствоf t+P (x) = f t (x).Точка p называется ω–предельной точкой для x, если f t (x) → p приt i → ∞.Пусть A ∈ M и f t (A) — множество образов всех точек из A. МножествоA инвариантно относительно f, если f t (A) = A для всех t.Замкнутое инвариантное множество A ⊂ M называется притягивающим,если для него существует окрестность U такая, что для всех x ∈ U,f t (x) → A при t → ∞. Инвариантное притягивающее множество, котороесодержит все ω–предельные точки называют аттрактором.108 УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети
Н. Г. МАКАРЕНКОВажное замечание. Если аттрактор достаточно велик и содержит толькоконечное число неподвижных точек и периодических орбит, то поведениефазовых кривых на аттракторе и рядом с ним является хаотическим (1) .Хаотический аттрактор ведет себя как гибкий, хотя не вполне управляемый,информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальныхданных. Фазовые траектории разбегаются в одних (неустойчивых) направленияхи сжимаются в других. Если сжатие преобладает (система диссипативна),то аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретаетсамоподобную (странную) структуру канторова множества с дробнойразмерностью (2) . Информация порождается не только каскадом бифуркаций,приводящих к нарушению симметрии, но и последовательными итерациями,приводящими к все более тонкому разрешению геометрическойструктуры. Такая «аппаратурная реализация» может исполнять очень сложныйфункциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого,квазипериодического, до стохастического. Наиболее важным свойствомхаотического аттрактора является существенная зависимость от начальныхусловий. Говорят, что f t обладает упомянутым свойством, если для точкиx ∈ M и некоторого числа δ > 0 существует время T > 0 и такая точкаy из окрестности x, что расстояние между образами d(f T (x), f T (y)) > δ.Иными словами, погрешности начальных данных экспоненциально растутв фазовом потоке, так что начиная с некоторого момента времени, будущеесостояние системы становится непредсказуемым.Предположим теперь, что мы верим в существование динамическойсистемы f t , объясняющей наши наблюдения, но не имеем ее уравнений вявном виде. То, что нам доступно — это множество наблюдаемых функцийh(t) ≡ h(x(t)) : M → R, которые можно представить себе как нелинейныепроекции фазовой траектории на вещественную ось. Обычно такимифункциями являются экспериментальные временные ряды (3) . Мы будемпредполагать, что они обладают непрерывностью (4) и может быть дажегладкостью, например, h(t) может принадлежать классу C r (M, R). Во всякомслучае, когда фазовая точка смещается под действием f : x → f(x),это движение должно индуцировать смещение в отсчетах временного ряда:h(t) = h(x(t)) → h(f(x(t))). Можно ли в этом случае восстановить динамикуf t в каком либо разумном смысле? Иными словами, какую информациюо неизвестной системе можно извлечь из наблюдений ее «тени»,которую отбрасывают траектории? Или, в более общем смысле, можноли восстановить модель непосредственно из экспериментальных данных?Впервые ответ на этот вопрос был дан в 1980 году в пионерской работеУДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 109
- Page 58 and 59: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 60 and 61: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 62 and 63: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 64 and 65: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 66 and 67: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 68 and 69: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 70 and 71: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 72 and 73: Б. В. КРЫЖАНОВСКИЙ,
- Page 74 and 75: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 76 and 77: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 78 and 79: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 80 and 81: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 82 and 83: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 84 and 85: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 86 and 87: Н. Г. МАКАРЕНКОИнст
- Page 88 and 89: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 90 and 91: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 92 and 93: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 94 and 95: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 96 and 97: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 98 and 99: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 100 and 101: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 102 and 103: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 104 and 105: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 106 and 107: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 110 and 111: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 112 and 113: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 114 and 115: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 116 and 117: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 118 and 119: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 120 and 121: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 122 and 123: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 124 and 125: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 126 and 127: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 128 and 129: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 130 and 131: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 132 and 133: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 134 and 135: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 136 and 137: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 138 and 139: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 140 and 141: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 142 and 143: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 144 and 145: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 146 and 147: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 148 and 149: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 150 and 151: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 152 and 153: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 154 and 155: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
- Page 156 and 157: ISBN 5-7262-0471-9ЛЕКЦИИ ПО
Н. Г. МАКАРЕНКОВажное замечание. Если аттрактор достаточно велик и содержит толькоконечное число неподвижных точек и периодических орбит, то поведениефазовых кривых на аттракторе и рядом с ним является хаотическим (1) .Хаотический аттрактор ведет себя как гибкий, хотя не вполне управляемый,информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальныхданных. Фазовые траектории разбегаются в одних (неустойчивых) направленияхи сжимаются в других. Если сжатие преобладает (система диссипативна),то аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретаетсамоподобную (странную) структуру канторова множества с дробнойразмерностью (2) . Информация порождается не только каскадом бифуркаций,приводящих к нарушению симметрии, но и последовательными итерациями,приводящими к все более тонкому разрешению геометрическойструктуры. Такая «аппаратурная реализация» может исполнять очень сложныйфункциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого,квазипериодического, до стохастического. Наиболее важным свойствомхаотического аттрактора является существенная зависимость от начальныхусловий. Говорят, что f t обладает упомянутым свойством, если для точкиx ∈ M и некоторого числа δ > 0 существует время T > 0 и такая точкаy из окрестности x, что расстояние между образами d(f T (x), f T (y)) > δ.Иными словами, погрешности начальных данных экспоненциально растутв фазовом потоке, так что начиная с некоторого момента времени, будущеесостояние системы становится непредсказуемым.Предположим теперь, что мы верим в существование динамическойсистемы f t , объясняющей наши наблюдения, но не имеем ее уравнений вявном виде. То, что нам доступно — это множество наблюдаемых функцийh(t) ≡ h(x(t)) : M → R, которые можно представить себе как нелинейныепроекции фазовой траектории на вещественную ось. Обычно такимифункциями являются экспериментальные временные ряды (3) . Мы будемпредполагать, что они обладают непрерывностью (4) и может быть дажегладкостью, например, h(t) может принадлежать классу C r (M, R). Во всякомслучае, когда фазовая точка смещается под действием f : x → f(x),это движение должно индуцировать смещение в отсчетах временного ряда:h(t) = h(x(t)) → h(f(x(t))). Можно ли в этом случае восстановить динамикуf t в каком либо разумном смысле? Иными словами, какую информациюо неизвестной системе можно извлечь из наблюдений ее «тени»,которую отбрасывают траектории? Или, в более общем смысле, можноли восстановить модель непосредственно из экспериментальных данных?Впервые ответ на этот вопрос был дан в 1980 году в пионерской работеУДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 109