формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

Н. Г. МАКАРЕНКО1.510.50−0.5−1−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5РИС. 6. Иммерсия прямой в плоскостьЗнаменитая теорема Уитни показывает, что всякое компактное многообразиеможно считать подмногообразием евклидова пространства достаточнобольшой размерности. Теорема Уитни гласит:Пусть M — гладкое компактное k-мерное многообразие. Тогда существуетвложение F : M → R n для подходящего выбора размерности n, аименно n = 2k + 1.Важное замечание. Вложение может быть реализовано почти любойфункцией, удовлетворяющей упомянутым условиям. Это означает, что еслиA — гладкое многообразие размерности k, то множество отображений вR 2k+1 , которые являются вложениями A, образуют остаточное (густое)множество в классе всех непрерывных отображений (5) .Условие теоремы Уитни для размерности R n можно трактовать следующимобразом (6) : для взаимной однозначности образа и прообраза отображенияследует задать k координат; для такого же соответствия между касательнымивекторами необходимо еще k чисел. Наконец, единица гарантируетдополнительную степень свободы для того, чтобы избежать ситуациюс самопересечением (7) . Геометрические истоки условия Уитни восходят кдогме трансверсальности, о которой рассказывается в следующем разделе.Существует важное обобщение теоремы Уитни на случай, когда A неявляется многообразием. Эта ситуация встречается, например, для фрактальныхаттракторов, для которых не существует разумного определениятопологической размерности. Вместо нее используют так называемую box-УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети 103