формат Adobe PDF, размер 2173 Кб - Информационно ...

ISBN 5–7262–0471–9ЛЕКЦИИ ПО НЕЙРОИНФОРМАТИКЕМожно изменить параметризацию, используя замену координатt → 2 arctg u : ˜r(u) = (sin(2 arctg u), 2 sin(4 arctg u))и тогда кривая пройдет через начало координат только один раз, однако,взаимнооднозначное соответствие между кривой и окружностью отсутствует— у кривой появились свободные концы.Каноническая иммерсия получается, если евклидово пространство R kпогрузить в R m (k < m). При этом точка x ∈ R k линейно отображается вточку f(x) ∈ R m :(x 1 , x 2 , . . . , x k ) → (x 1 , x 2 , . . . , x k , 0, . . . , 0) .} {{ }m−kВ этом случае образ иммерсии — подпространство в R m . К сожалению,для многообразий, которые являются только локально евклидовыми, это нетак. Например, в случае «восьмерки» окрестность точки самопересеченияне является открытой в R 2 . Если использовать параметризацию:ˆr(v) = (− sin(2 arctg v), 2 sin(4 arctg v)) ,образы ˜r(u) и ˆr(v) совпадают, однако, композиция r ◦ ˆr −1 : R → R неявляется непрерывным отображением.Отображениеϕ(t) = ((1 + e −t ) cos t, (1 + e −t ) sin t)определяет иммерсию вещественной прямой R в плоскость R 2 : образ ϕ(e)накручивается на единичную окружность x 2 + y 2 = 1 (см. рис. 6).В общем случае гладкое отображение F компактного гладкого многообразияA называют иммерсией, если дифференциал отображения dF (x)является взаимно-однозначным в каждой точке A (2) . При этом безразлично,имеет ли само F такое свойство.Дифференцируемое вложение A — это гладкий диффеоморфизм из Aна собственный образ F (A), т. е. гладкое взаимно-однозначное отображение,обратное для которого F −1 (A) также гладко. Если A — компактноемногообразие (3) , то отображение F является вложением тогда и толькотогда, когда F — взаимно-однозначная иммерсия (4) . Для топологическоговложения диффеоморфизм заменяется на гомеоморфизм.102 УДК 004.032.26 (06) Нейронные сети