Föreläsningsanteckningar

Föreläsning 27/9Stela kropparUlf Torkelsson1 Stela kroppar, masscentrumEn stel kropp är ett system av partiklar sådant att partiklarna behåller sina inbördes relativapositioner. För en stel kropp kan man definiera masscentrum genom∫Vx cm =ρxdV∫V ρdV (1)y cm =z cm =∫V ρydV∫V ρdV (2)∫V ρzdV∫V ρdV (3)Exempel: Beräkna masscentrum för ett halvklot med radien a.Lösning: Av symmetriskäl måste masscentrum ligga längs den symmetriaxel som går genomtvärsnittsytans centrum och upp genom toppen på halvsfären. Om vi orienterar z-axeln längs meddenna axel så får vi för halvsfärens masscentrum∫ a0z cm =ρπ ( [a 2 − z 2) zdz∫ a0 ρπ (a2 − z 2 ) dz =] aa 2 z 22− z440] a0[a2 z − z33=a 442a 33= 3 a. (4)8Lägg märke till att π(a 2 − z 2 )dz är volymen av en cirkelskiva med tjockleken dz vid höjden z.2 Stela kroppar, rörelsemängdsmomentVi kan tänka oss att en stel kropp är sammansatt av masspunkter m i . Om kroppen roterar runten axel parallell med z-axeln har vi att hastigheten i punkten (x i , y i ) är v i = (x 2 i + y2 i )1/2 ω = r 2 i ω,eller på komponentformẋ i = −v i sin φ i = −ωy i (5)ẏ i = v i cos φ i = ωx i (6)Kroppens kinetiska energi genom dess rotation ärT = ∑ (12 m ivi 2 = 1 ∑2iim i r 2 i)ω 2 = 1 2 I zω 2 , (7)därI z = ∑ im i r 2 i (8)är kroppens tröghetsmoment kring axeln z.Låt oss också beräkna kroppens rörelsemängdsmoment L = r i × m i v i kring z-axeln, som förpartikeln i ärm i (x i ẏ i − y i ẋ i ) = m i(x2i + y 2 i)ω. (9)Om vi summerar över alla partiklarna får viL z = ∑ i= m i(x2i + y 2 i)ω = Iz ω. (10)1

Sedan tidigare har viN z = dL z= d dt dt (I zω) , (11)där N z är det yttre vridmomentet som verkar på kroppen.För en kontinuerlig massfördelning beräknar vi istället tröghetsmomentet ur∫I = r 2 dm (12)Exempel: Tröghetsmomentet för en stav med längden l och densiteten ρ per längdenhet för enaxel som går genom stavens ena ändpunkt ärI z =∫ l0x 2 ρdx =] l [ρ x3= ρl3303 = ml23 , (13)där m = ρl.Om axeln istället går genom stavens mittpunkt (masscentrum) har viI z =∫ l/2−l/2x 2 ρdx = 2] l/2 [ρ x3= 2 ρl33024 = ml212 . (14)2.1 Parallellaxelteoremet, Steiners satsTröghetsmomentet runt en axel ärI z = ∑ i(m i x2i + yi2 )(15)Vi skriver nu koordinaterna somx i = x i + x cm (16)y i = y i + y cm (17)där x i och y i är koordinaterna relativt masscentrum. Vi harI z = ∑ (m 2 2i xi + y ) i + ∑ (m i x2cm + y 2 ) ∑∑cm + 2xcm m i x i + 2y cm m i y i . (19)iiiiDen första termen ger tröghetsmomentet för en axel genom masscentrum, I cm , medan den andratermen ger ml 2 , där l är avståndet från masscentrum till axeln. De två sista termerna blir 0 enligtdefinitionen för masscentrum, så vi har(18)I = I cm + ml 2 , (20)vilket kallas för Steiners sats.Exempel: Beräkna tröghetsmomentet för en axel som går genom den ena änden av en stav medlängden l och massan m.Lösning:I cm = ml2(21)12I = ml212 + ml24 = ml23 . (22)2

3 Sammanfattning av stelkroppsdynamikVi har nu härlett de grundläggande sambanden i stelkroppsdynamiken, och det kan vara instruktivtatt jämföra dem med de motsvarande sambanden i partikeldynamiken. Grundläggande i partikeldynamikenär Newtons andra lagF = dp(23)dtmedan momentlagen för en stel kropp kan skrivasN = dLdt . (24)Utgående från dessa samband kan vi skapa en översättningslista mellan partikeldynamik ochstelkroppsdynamik.Table 1: Partikel och stelkroppsdynamikPartikeldynamikStelkroppsdynamikMassa m Tröghetsmoment IHastighet v Vinkelhastighet ωRörelsemängd p = mv Rörelsemängdsmoment L = IωKraft F Vridmoment N = r × FNewtons andra lag F = ṗ = ma Momentlagen N = ˙L = I ˙ωEnergi T = mv 2 /2 Energi T = Iω 2 /23