А.И. Маймистов. ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ В ...

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике135{ ( ± ) ∗ ( ± )( ± ) ∗ ( ± )( ±. .,. ., |) |2 |( ±q q + c c iq q + c c q − q) 2 }( ± ) = x yx yxy |S ,( ± ) ( ± ) ∗ ( ± )Модули этих векторов | S | = ( q ⋅ q ) остаются постоянными, так чтосостояние поляризации определяется только ориентацией векторов Стокса.Используя новые независимые переменные η = ( ξ − τ) / 2 и ζ = −( ξ + τ) / 2 исистему уравнений (2.17), в [73] была выведена система двух связанныхуравнений Блоха, описывающих вращение введенных векторов Стоксавокруг друг друга:∂( + ) ( −)( + )ζ = S × SS g ,∂( −)( −)( + )η = − S × SS g , (2.18)Чтобы показать, что эти уравнения определяют динамику киральногополя, введем матрицы l ˆ ( −2S )a Lˆ1 = a , l ˆ ( +2S )a Lˆ2 = a , где Lˆa являютсягенераторами группы Ли О(3) и удовлетворяют коммутационнымсоотношениям [ Lˆa , Lˆb ] = ε abc Lˆc (По повторяющимся индексамподразумевается суммирование, ε abc− абсолютно антисимметричныйтензор Леви-Чивиты). Уравнения (2.18) можно переписать как∂ l ˆ = ( g / 2)[ˆ l , ˆη ], ∂ lˆ= −(g / 2)[ˆ l , ˆζ ].1 2 l11 2 l1Отсюда следуют уравнения движения кирального поля на группе О(3),записанные в терминах левых токов этого поля:∂ ˆ ˆηl 1 + ∂ ζl2= 0, ∂ ˆ ˆ [ˆ , ˆη l 1 − ∂ ζl2= g l2l1]. (2.19)В работах [74, 75] рассматривался случай двулучепреломляющей средыс кубической нелинейностью. Уравнения для векторов Стокса выглядятболее сложно, но, пренебрегая керровским самовоздействием посравнению с их кросс-взаимодействием, эти уравнения можно упростить исвести их к вполне интегрируемым [76, 77] уравнениям движенияанизотропного кирального поля на группе О(3):∂( + ) ( + ) ˆ ( −)ζ = S × SS J ,∂( −)( −)ˆ ( + )η = −S× SS J , (2.20)где Ĵ − диагональная матрица, определяемая восприимчивостяминелинейной среды. Когда матричные элементы Ĵ различны, решения(2.20) определяют устойчивые состояния поляризации, когда векторавстречных волны либо параллельны, либо ортогональны.Рассмотренные модели напоминают изотропный (для (2.18)) илианизотропный (в случае (2.20)) ферромагнетик. Известно, что вферромагнетиках существуют доменные стенки, описывающие переход отодного устойчивого состояния магнитных спинов к другому. В оптикедоменная стенка отвечает области, где происходит изменение состоянияполяризации взаимодействующих волн, например, левоциркулярно