А.И. Маймистов. ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ В ...

114А.И. МаймистовВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИВ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕA.И. МаймистовРассматриваются модели нелинейной оптики, в которых появляются солитоны. Этимодели играют большую роль в изучении нелинейных волновых явлений.Классическими примерами являются самофокусировка, самоиндуцированнаяпрозрачность и параметрическое взаимодействие трех волн. В настоящее времясуществует ряд теорий нелинейной оптики, основанных на вполне интегрируемыхуравнениях, которые являются либо известными уравнениями, либо их обобщениями.В их список входят нелинейное уравнение Шредингера, модифицированное уравнениеКортевега – де Фриза, уравнения синус-Гордона, укороченные уравнения Максвелла –Блоха, уравнение Хироты, уравнения главных киральных полей, и другие, менееизвестные уравнения.ВведениеНелинейные волны являются одним из фундаментальных объектовприроды. Их можно обнаружить в гидродинамике и аэродинамике, вфизике твердого тела и в физике плазмы, в оптике и теории поля, вкинетике химических реакций и в динамике популяций, в ядерной физикеи теории гравитации. Все нелинейные волны можно разделить на двакласса: волны в диспергирующей среде и волны в диссипативной среде.Особое место среди волн первого класса занимают солитоны. Историяисследования солитонов насчитывает около двухсот лет. В 1834 г.Дж. С. Рассел открыл необычный тип волн на воде, распространяющихсябез дисперсионного уширения. В 1965 г. Н. Забуски и М. Крускал нашли,что уравнения Кортевега – де Фриса, описывающие волны на мелкой воде,имеют решения в форме уединенных волн, которые обладают свойствамичастиц: сохраняют свою форму при распространении и послестолкновения друг с другом. Это послужило основанием назвать ихсолитон (т.е. "частица уединенной волны", по аналогии с терминами:фонон, фотон, электрон, магнон и так далее).За последние тридцать лет был достигнут огромный успех в развитииметодов математической физики, позволивших понять природу солитонов.Сейчас солитоны стали одним из основных объектов во многих проблемахдинамики нелинейных волн. И надо заметить, что нелинейная оптикапредставляет область, где все основные черты солитонов проявляются вполной мере.

116А.И. Маймистовявились теми воротами, через которые солитоны вошли в нелинейнуюоптику.1.1. Самоиндуцированная прозрачностьЯвление самоиндуцированной прозрачности (СИП) состоит впрохождении достаточно мощного ультракороткого импульса (УКИ) светав резонансной среде без искажения его формы и потерь энергии [1–4].Ультракоротким импульсом здесь называют импульс, длительностькоторого много меньше времен релаксации поляризации и разностинаселенностей резонансных энергетических уровней. В этом случаевзаимодействие света со средой заключается в вынужденном поглощениии испускании электромагнитного излучения резонансными атомами среды.Когда оба процесса идеально сбалансированы, состояние среды послепрохождения УКИ совпадает с первоначальным ее состоянием, и в этомсмысле среда прозрачна. Групповая скорость такого стационарного УКИ,называемого 2π-импульсом или солитоном СИП, меньше фазовойскорости света в среде и зависит от длительности импульса: корочеимпульс − больше скорость распространения [2–5]. Когда импульсы сразличными скоростями распространяются в среде в условиях СИП, одиниз них догонит второй и, столкнувшись, пройдет его насквозь. Форма игрупповая скорость 2π-импульсов, как и положено солитонам, неизменяются.В зависимости от отношения между длительностями t1и t2сталкивающихся 2π-импульсов, картина их взаимодействия различна. Еслиэто отношение удовлетворяет неравенству t 1 / t 2 < (3 − 5) / 2 ≈ 0. 382 ,траектории импульсов пересекаются, как показано на рис. 1(а). Впротивном случае столкновение напоминает отталкивающеевзаимодействие одинаково заряженных частиц, которые во времястолкновения обмениваются энергией, и амплитуды 2π-импульсовменяются, как показано на рис. 1(б). Само явление СИП и поведениесолитонов СИП достаточно подробно описано в [3, 6, 7].С математической точки зрения свойства 2π-импульсов СИП следуютиз полной интегрируемости системы укороченных уравнений Максвелла–Блоха, описывающих СИП на основе модели двухуровневых атомов сневырожденными энергетическими уровнями [8–13]. 2π-импульсыотвечают односолитонным решениям этих уравнений, а процессстолкновения отражает эволюцию двухсолитонного решения − оноасимптотически трансформируется в пару солитонов [6, 9, 14–15].

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике117tz(а)tz(б)Рис. 1. Столкновение 2π-импульсов (а) с t t 1/ 3 (б) с t t 2 / 3 .1/ 2=1/ 2=Простейшая теория явления СИП была развита МакКоллом и Ханом[1, 2]. В общем случае взаимодействие излучения с ансамблемдвухуровневых атомов описывается уравнениями Блоха для атомов иуравнениями Максвелла для классического электромагнитного поля. Визотропном диэлектрике система уравнений Максвелла сводится к одномуволновому уравнению для электрического поля E = El. Для плоских волнс постоянным вектором поляризации l можно записать следующуюсистему полных уравнений Максвелла-Блоха (уравнения МБ)2( 4πnAdc ) r1tt2E , zz c E,tt = / ,r− − , (1.1а)1 , t −ωar2r2,t = ωar1+ (2d/ h)Er3, r3,t = −(2d/ h)= , Er , (1.1б)2

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике119где ∆ω = ( ωa − ω0) − отстройка от резонанса, α′ = 2πωn A d / hc,q = dA / 2h − нормированная огибающая импульса, а величины P, Q и Rсвязаны с исходными компонентами вектора Блоха соотношениямиr= −P( z,t)sin[k0z − ω0t+ ϕ(z,t)]+ Q(z,t) cos[ k0z − ω0t+ ϕ(z,t)],r32= −R(z,1 tТеория СИП МакКолла–Хана основана как раз на уравнениях (1.5). Но,кроме того, если ограничиться ситуацией, когда исходный импульс неимел фазовой модуляции, и форма неоднородно уширенной линииописывается симметричной функцией ∆ω , то из уравнений (1.5) следует,что ∂ϕ/ ∂z = ∂ϕ / ∂t= 0 для всех z и t. В этом случае уравнения (1.5)редуцируются к системе уравнений СИПq z + c− 1, q,t = −α′P , Q, t = ∆ωP, P, t = −∆ωQ+ qR, R, t = −qP. (1.6)Когда линия поглощения однородная, уравнения СИП при точномрезонансе сводятся к хорошо известному уравнению Sine-Gordonφ τζ + sin φ 0, (1.7), =где τ = ( t − z / c), ζ = α′ z , и q = φ , τ .Замечательным свойством систем уравнений (1.2), (1.5), (1.6), и (1.7)является то, что все они могут быть представлены как условиеинтегрируемости пары линейных уравнений, что подсказывает применитьдля их решения МОЗР. Если предположить, что до прихода УКИ всеатомы находились в основном состоянии и после прохождения УКИ онивозвращаются в основное состояние, то все упомянутые уравнениядополняются краевыми условиямиlim R ( τ,ζ;ω ) = −1,lim r1,2 ( τ,ζ;ω ) = 0 .| τ|→∞a| τ|→∞aКак уравнения РМБ, так и уравнения СИП с такими краевымиусловиями решаются с использованием МОЗР обычным образом [8–15]. Вобщем случае решение представляет собой N-солитонную волну и слабуюрасплывающуюся из-за дисперсии волну. Солитонное решениеэволюционирует в L 1 изолированных солитонов и в L 2 бризеров (при этомN = L 1 + 2L 2 ). Бризер является чрезвычайно устойчивой уединеннойволной, как обычный солитон, но с внутренними осцилляциямиамплитуды (рис. 2). Он устойчив относительно столкновений как собычными солитонами, так и другими бризерами. Уравнение Sine-Gordonтакже имеет в качестве решений солитоны и бризеры.).

120А.И. МаймистовztРис. 2. Бризер. Иногда называется бион − связанное состояние солитонас антисолитономНадо заметить, что односолитонное решение уравнений РМБсоответствует УКИ без несущей волны и представляет, таким образом,однополярный всплеск электромагнитного поля. Называть его оптическимимпульсом нет оснований, потому иногда он называется видеоимпульсом.Другое его название − экстремально или предельно короткий импульс(ПКИ). Двухсолитонное решение уравнений РМБ описывает столкновениедвух ПКИ в том же смысле, как и столкновение двух солитонов,представляющих 2π-импульсы МакКолла и Хана. Однако бризерноерешение уравнений РМБ можно использовать для обобщения 2π-импульса. В [6] было показано, что бризер уравнений РМБ являетсявещественным локализованным в пространстве и времени импульсом свнутренними осцилляциями, что напоминает 0π-импульс МакКолла иХана. Если частота внутренних осцилляций растет, то огибающая бризераможет быть описана солитонным решением уравнений СИП с большойточностью. Таким образом, 2π-импульс МакКолла и Хана являетсяпредельным случаем бризера, описываемого уравнениями РМБ.1.2. Оптические солитоны в волоконных световодахИзвестно, что скорость передачи информации по волоконной линиисвязи (ВОЛС) при использовании импульсно-кодовой модуляцииограничена главным образом из-за уширения оптических импульсов помере их распространения в волокне, что обусловлено эффектом дисперсиигрупповых скоростей. Влияние этого эффекта может быть подавлено и видеале полностью устранено, если использовать достаточно мощныеимпульсы света. Из-за нелинейных свойств материала волокна такие

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике121импульсы могут при определенных условиях трансформироваться всолитоны и распространяться в ВОЛС без дисперсионного уширения.Важно помнить, что солитоны не существуют в реальных ВОЛС встрогом смысле этого термина. Влияние дисперсии групповых скоростейвысоких порядков, оптические потери и другие эффекты нарушаютдинамический баланс между нелинейным сжатием импульса и егодисперсионным уширением. В результате форма импульса искажается, ион постепенно затухает. Но расстояния, пройденные оптическимсолитоном в волокне, значительно превышают длину дисперсии, илидлину, которую мог бы пройти слабый импульс. Таким образом, можнорассматривать солитон как хорошее приближение для реальногонелинейного импульса в ВОЛС.Использование оптических солитонов для передачи информации поВОЛС было предложено в работах [18, 19], а возможность этого былапродемонстрирована в [20–22]. В [23, 24] было получено уравнение,описывающее распространение оптических импульсов в одномодовомволокне с учетом дисперсии групповых скоростей второго порядка,исследование которого ранее проводилось в [25, 26]. В теории солитоновэто уравнение известно как нелинейное уравнение Шредингера (НУШ).Пусть q обозначает нормированную комплексную медленноменяющуюся огибающую оптического импульса, так что напряженностьэлектрического поля дается выражениемE t,x,y,z)= A q(t,z)Ψ(x,y)exp{−iωt + iβ},( 0 0 0zгде β 0 − постоянная распространения, зависящая от частоты несущейволны ω 0 , Ψ ( x,y)− модовая функция, определяющая поперечноераспределение электрического поля в волокне. Эта нормированнаяогибающая описывается НУШ [23, 24] в следующей форме:2, ζ + , ττ =iq sq + µ | q|q 0 . (1.8)−1Здесь ζ = z / LD, τ = ( t − z / v g ) t p0− нормированные независимыепеременные: координата, отсчитываемая вдоль оси волокна, и время,соответственно, t p0− длительность импульса при z = 0 и v g − групповаяскорость импульса. Слагаемое в (1.8) со второй производной по τописывает дисперсионное уширение импульса ( s = −1отвечает нормальнойдисперсии, а s = + 1 − аномальной дисперсии). Дисперсионная длина LD2 22 −дается формулой L ( ) 1D = 4β0 t p0| ∂β ( ω) / ∂ω | . Эффективный показательпреломления n eff определен как β ( ω)= ( ω / c)neff. Третье слагаемое в (1.8)учитывает эффект самовоздействия или автомодуляцию. Коэффициент µ

122А.И. Маймистовравен отношению дисперсионной длины к длине2 2−( 2πωA | χ | ) 12K = c β00 0 K , effL . Здесь χ K , eff − эффективная нелинейнаявосприимчивость третьего порядка, описывающая (высокочастотный)эффект Керра.Полная интегрируемость НУШ была установлена в [25–27]. СолитоныНУШ в отличии от солитонов уравнений СИП или уравнения Sine-Gordonраспространяются со скоростью слабого (линейного) импульса в среде.Однако они могут ускориться или замедлиться из-за начальной фазовоймодуляции. Многосолитонные импульсы ведут себя подобно бризерам(рис. 3), но при превышении некоторого порога глубины фазовоймодуляции исходного импульса такой многосолитонный импульстрансформируется в ряд отдельных солитонов.Рис. 3. Осцилляции амплитуды двухсолитонного решения НУШЧем выше кратность многосолитонного импульса N, тем более сложнакартина его пространственной эволюции, но важно, что на некоторойдлине трассы N-солитон собирается в один пик, ширина которого меньшеисходного сигнала в N раз. Этот факт был использован для компрессииоптического пикосекундного импульса до фемтосекундных импульсов.Помимо многосолитонных решений, НУШ имеет новый типуединенного решения, названного многополюсным солитоном [28]. Этирешения отвечают многократным точкам дискретного спектраспектральной задачи Захарова–Шабата в МОЗР. Практически это решениятрудно реализовать, поскольку любое малое шевеление начальногоусловия снимает вырождение точек дискретного спектра. Это значит, чтотолько в исключительных случаях исходный оптический импульс можетпревратиться в многополюсный солитон. Различные свойства солитоновНУШ описаны в многочисленных статьях и обзорах, среди которых стоит

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике123указать великолепные книги [29–33], авторы которых внеслисущественный вклад в развитие теории солитонов.1.3. Взаимодействие трех волнОдним из хорошо изученных классов явлений нелинейной оптикиявляется преобразование частот электромагнитного излучения в оптическинелинейных средах. Классическими примерами этих явлений служатгенерация гармоник основной волны (накачки), параметрическое сложениеили вычитание частот, комбинационное рассеяние [35]. При достаточновысокой интенсивности накачки поляризация среды не является линейнойфункцией напряженности электрического поля волны. Если частотыэлектромагнитной волны не находятся в резонансе с атомнымипереходами, то для получения этой зависимости можно использоватьстандартную теорию возмущений. Это даст разложение поляризации P вряд по степеням напряженности электрического поля. Коэффициентыэтого ряда, являющиеся в общем случае тензорами n-го ранга $ χ ( n ) ,называют нелинейными восприимчивостями. Они описывают различныепроцессы взаимодействия электромагнитных волн в среде. Частонелинейные эффекты, отвечающие тензору нелинейной восприимчивостиn-го ранга, называют взаимодействием (n+1) волн.Рассмотрим квадратично нелинейные среды, характеризуемые(2)тензором ˆχ . Пусть в ней вдоль оси z распространяются двегармонические (или квазигармонические, в более общем случае) волны счастотами ω 1 и ω 2 . Поскольку поляризация среды является квадратичнойфункцией напряженности электрического поля этих волн, в средевозникнут волны с несущими частотами ω = ω1 ± ω2, ω = 2ω1и ω = 2ω2.Эти волны в свою очередь вызовут генерацию новых волн с частотамиω = 2ω1± ω2, ω = ω1 ± 2ω2, и так далее. В средах с дисперсией все этипроцессы не одинаково эффективны. Существует условие фазовогосинхронизма, благодаря которому для определенного типа взаимодействиятрех волн изменение их амплитуд происходит в значительной мере, тогдакак все прочие взаимодействия остаются не неэффективными. Внекоторых случаях условие фазового синхронизма может иметь место дляволн, распространяющихся в одном и том же направлении. В этом случаеговорят о коллинеарном параметрическом взаимодействии. При этомрасстояние, на котором волны эффективно взаимодействуют, можносделать достаточно большим и, следовательно, получить высокийкоэффициент преобразования частот. Если фазовый синхронизмдостигается для волн, распространяющихся в различных направлениях,взаимодействие между ними происходит только в области перекрытияволновых пучков. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие трехволн представляет интересный пример, когда соответствующая система

124А.И. Маймистовуравнений оказывается вполне интегрируемой в двух- или трехмерномслучаях [36, 37]. Многомерные вполне интегрируемые системы, имеющиефизическое содержание, являются исключительно редкими примерами втеории солитонов.Пусть E 1, E2и E 3 являются медленно меняющимися огибающимиимпульсов взаимодействующих волн. Рассмотрим случай, когдагенерируется только волна с суммарной или разностной частотой приколлинеарном распространении с волнами накачки и холостого хода. Вприближении медленно меняющихся огибающих и фаз система уравнений,описывающая взаимодействие трех волн может быть записана вследующей унифицированной форме [38, 39]:1* *q1,z + v− 1 q1,t = iσq2q3exp( + i∆kz),1* *q + v− q = iσqq exp( + i∆k),(1.9)2,z 2 2, t 3 1 z1+ −**q3,z v3q3,t = −iσq1q2exp( + i∆kz),(2)где σ = γ1γ2γ3 и γ n = 4πωnχ( ω1,ω2) / cn(ωn) , n =1, 2, 3 . В этихуравнениях используются обозначения ∆ k = k3 − ( k1+ k2), для процессасложения частот ω 3 = ω1+ ω2, и ∆ k = k3 − ( k1− k2) , для вычитания частотω3 = ω1 − ω2. Здесь v n − групповые скорости соответствующих волн.Дисперсия групповых скоростей не учитывается. Переменные q 1,2, 3связаны с E 1, E2и E 3 следующим образом: E 1 = γ1q1, E 2 = γ 2 q2,**E = γ для случая сложения частот, E 1 = − γ1q3, E = γ ,3 3 q3*3 = γ 3q12 2 q2E для случая вычитания частот (индексы у скоростей первой итретьей волн должны в этом случае поменяться).Следует подчеркнуть, что резонансное рамановское рассеяние (приусловии слабого изменения населенности энергетических уровней атомовили молекул среды) и рассеяние оптических волн на звуковой волне можнорассмотреть с единых позиций как специальные случаи трехволновоговзаимодействия. В обоих случаях системы уравнений, описывающие этипроцессы, можно трансформировать в универсальную систему (1.9). Болеетого, можно показать, что при определенных условиях здесь возникаетсистема укороченных уравнений Максвелла–Блоха. Благодаря этому дляисследования рамановского рассеяния можно использовать МОЗР, как вслучае СИП. Однако здесь возникает более сложная задача восстановленияпотенциала по данным рассеяния [40–42], что связано с другим типомкраевой задачи: краевые условия задаются на полуоси.Уравнения, описывающие взаимодействия трех волн (1.9), обладаюткак бесконечным числом законов сохранения, так и преобразованиемБёклунда. Они могут быть записаны как гамильтоновы уравнения с

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике125помощью r-матрицы. Было показано, что, что эти уравнения выдерживаюттест Пенлеве и существует класс автомодельных их решений, выражаемыхчерез трансцендентные функции Пенлеве P-V и P-VI.Из-за отсутствия дисперсии фазовых и групповых скоростей солитоны,описывающие взаимодействие трех волн, не отделяются от несолитоннойчасти решения (которую часто называют излучением). Это делает оченьсложным процесс исследования трехволнового взаимодействияаналитическими методами и заставляет ограничиться рассмотрениемтолько некоторых частных случаев. Неколлинеарная генерация второйгармоники как раз представляет пример такого частного случая, где можнонайти точное решение без использования МОЗР. При этом полученноерешение явно демонстрирует неразделимость солитонов и излучения(несолитонной части решения этих уравнений).2. Новые примеры вполне интегрируемых системС появлением такого мощного инструмента исследования нелинейныхзадач, каким является МОЗР, стали возникать новые модели и теории,основанные на вполне интегрируемых уравнениях и описывающиеявления в нелинейной оптике. Причем, наряду с развитием преждеизвестных теорий, были рассмотрены новые задачи и развиты новыеспособы описания распространения оптических волн в нелинейных средах.2.1. Обобщение теории самоиндуцированной прозрачностиРазвитие теории СИП связано с выходом за пределы моделидвухуровневых атомов и с рассмотрением многочастотных УКИ.Исследовалось взаимодействие многоуровневых резонансных сред сизлучением, характеризуемым несколькими частотами несущих волн.Кроме того, учитывались прямое взаимодействие между резонанснымиатомами, нелинейные свойства диэлектрика, в который погруженырезонансные атомы, и поляризация (т.е. векторный характер) самогоизлучения.(a)(b)Рис. 4. Энергетические уровни (a) Λ - конфигурация, (b) V- конфигурация

126А.И. МаймистовНа рис.4 показаны два примера конфигурации энергетических уровнейтрехуровневых атомов, которые представляют ставшую в последнее времяочень популярной модель резонансной когерентной оптики. Рис. 5иллюстрирует переходы между вырожденными по проекциям угловогомомента состояниями двухуровневого атома, когда важно учитыватьвекторный характер электромагнитного излучения УКИ.(a) (b) (c)(a) jРис. 5. Конфигурации переходов:= 1→ j = 0, (b) j = 0→ j = 1 (c) j = 1→ j = 11 21 21 2Пусть оптический импульс распространяется вдоль оси z инапряженность его электрического поля представлена в формеΕ r= E r( t, z) exp( − iω0t+ ik0z) + c.c.Несущая частота близка к частотеω 21 = ( W2−W1) / h перехода j1 → j2между энергетическими уровнями W 1и W 2 , вырожденными по проекциям m и l полных угловых моментов j 1 иj 2 . В общем случае эволюция огибающей УКИ и состояния резонанснойсреды описываются системой уравнений, для которой точное решение вслучае произвольных значений j 1 и j 2 не известно. Но для переходовj1 = 0↔ j2= 1, j1 = 1→ j2= 1, и j1 = 1/ 2→ j2= 1/ 2 соответствующиесистемы обобщенных укороченных уравнений Максвелла-Блоха (ОРМБ)являются вполне интегрируемыми. Их солитонные решения могут бытьполучены с привлечением МОЗР, как показано в [43–45]. Для переходовj1 = 0↔ j2= 1, j1 = 1→ j2= 1 уравнения ОРМБ могут быть записаны вунифицированной формеj,ζ∑q = −iβ P ,a=1,2a( a)j( a)⎛ ( a)( a)⎞( ∂ ∂τ − i∆ωtp0) Pj= −i⎜∑qlMl j− q j N ⎟⎝ l⎠( a)* ( a)( a)*( a)* ( a)( a)*M −i( q P − q P ) N = i ( q P − q P )/ , (2.1)jl, τ= j l l j , , τ ∑ j j j j .j

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике127Если рассматривать переход j1 = 0→ j2= 1, то в (2.1) надо считать, чтоjq = dEt / h , β 1 и β 0 . Для перехода j = 1→ j = 0 в (2.1)qjjjp01 == dEt / h , 0jp0β и 11 =2 =2 =1 2β . Наконец, для перехода j = 1→ j = 1 имеем1 2q j = jdEt p0 / h 2 , β 1 = β2= 1/ 2 . Здесь и далее везде нижние индексыпринимают два значения j = ±1. Для медленно меняющихся огибающихматричных элементов матрицы плотности $ρ использованы следующие(1)(2)(1)обозначения: P j = j 0 ρˆj , j , = j − j ρˆj , 0 , N = j 0 ρˆj , 0 ,2 , 1P j2 , 12 , 2(2)(1)(2)N = − j1, 0 ρˆj1,0, M jl= j1, j ρˆj1,l , M jl= j2 , −lρˆj2, − j .Уравнения ОРМБ служат условием разрешимости пары линейныхуравнений векторного расширения метода обратной задачи рассеяния дляиерархии уравнений АКНС. Спектральная задача такого сорта в МОЗРвпервые была предложена и изучена С.В. Манаковым [46] для описаниясамофокусировки поляризованного светового пучка Выражения для N-солитонов, бризеров и преобразование Бёклунда были найдены в работе[47].Существует несколько версий уравнений ОРМБ, описывающихраспространение УКИ в многоуровневых средах. Простейшим случаемявляются модели атомов с тремя резонансными энергетическимиуровнями, называемыми V и Λ конфигурациями (рис. 4). Было найдено[48, 49], что, если силы осцилляторов для каждого перехода в V или Λконфигурациях энергетических уровней равны, то может существоватьдвухчастотный импульс (характеризуемый двумя несущими волнами сразличной частотой), распространяющийся в среде без искажения формысвоей огибающей. Ультракороткий импульс такого сорта был названсимултоном [50]. Симултоны являются односолитооными решениямиуравнений ОРМБ (2.1) Многосолитонные решения отвечаютсталкивающимся симултонам. Симултоны с внутренними осцилляциями(как бы цветные бризеры) являются двухчастотным обобщением 0π -импульсов МакКолла–Хана. Здесь следует отметить, что симултон вобщем случае не устойчив по отношению к превращению в одинодночастотный 2π -импульс и может оставаться двухчастотным импульсомтолько если среда приведена в специальное состояние, т.е. еслирезонансные уровни заселены определенным образом.Теория распространения двухчастотного УКИ поляризованногоизлучения в трехуровневой среде приводит к матричному вариантуобобщенной системы укороченных уравнений Максвелла–Блоха. Длярешения этой системы уравнений было получено обобщение МОЗР наслучай матричной спектральной задачи АКНС (или матричной

128А.И. Маймистовспектральной задачи Манакова). Подробно этот случай рассмотрен в [51–53].2.2. Фемтосекундные оптические солитоны в волоконных световодахДля того чтобы описать нелинейные явления, происходящие соптическими импульсами фемтосекундной длительности в нелинейномволокне, в [54–56] было предложено использовать высшее нелинейноеуравнение Шредингера (ВНУШ). После перехода к нормированнымпеременным ВНУШ можно записать как НУШ (8) с дополнительнымислагаемыми:222i q, ζ + sq , ττ+µ| q | q + i( η3q, τττ+µ2 | q | q , τ+µ3q(|q | ),τ ) = 0 , (2.2)Параметр η3соответствует дисперсии групповых скоростей третьегопорядка, параметры µ2и µ3соответствуют двум инерциальным вкладам внелинейную поляризуемость, отвечающим за образование ударной волныи рамановское (само)рассеяние. Если η 3 = 0, µ 2= µ 3 =1, и µ=0, то ВНУШ(2.2) редуцируется к нелинейному уравнению Шредингера с производной(DNLS)2i q, ζ + ( sq , τ+i | q | q) = 0. (2.3), τЭто уравнение вполне интегрируемое [57], используя МОЗР, можнонайти как солитонные, так и многосолитонные решения. Надо заметить,что условие µ =0 не существенно для редукции ВНУШ к вполнеинтегрируемому уравнению, результирующее при этоммодифицированное DNLS остается вполне интегрируемым уравнением.Если η 3 = 1, µ 2= ±6, µ 3 = 0, то уравнение (2.2) сводится к уравнениюХироты [58]22i q, ζ + sq , ττ+µ| q | q + iq , τττ±6i| q | q , τ=0, (2.4)которое дает другой пример вполне интегрируемого уравнения.В общем случае уравнение (2.2), видимо, не является вполнеинтегрируемым. Однако если предположить, что η 3 = ε, µ 2 = 6ε, µ 3= 3ε иµ =2s, то ВНУШ сводится к другому новому примеру интегрируемогоуравнения. В этом случае замена переменных3 22q( τ,ζ)= u(ξ,ζ) exp( isτ/ 3ε + 2isζ / 27ε) ξ = τ − s ζ / 3εприводит (2.2) кследующему уравнению − уравнению Сасы-Сатзумы22( u + | u | u + 3u(|u | ) ) 0u . (2.5), ζ + ε , ξξξ 6 , ξ, ξ =Это уравнение было получено в [59], где было показано, что решение егоможет быть получено с помощью МОЗР со специфической спектральнойзадачей. В отличие от солитонов НУШ, для уравнения (2.5) солитонымогут быть двугорбыми и меняющими полярность, как бризеры СИП.

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике1292.3. Векторные оптические солитоныВ общем случае векторный солитон является солитонным решениемсистемы нелинейных уравнений, которое можно представить как матрицустроку.Например, векторный солитон НУШ есть решение следующегомногокомпонентного (векторного) НУШ∗, ζ ( , ττ =i q + 1/ 2) q + ( q ⋅ q ) q 0 , (2.6)где q = { q1,q2, KqM}. Векторные индексы здесь могут иметь различныйфизический смысл, например, частота для полихроматического импульсаили проекция вектора поляризации поляризованного электромагнитногоимпульса.Уравнение (2.6) представляет пример вполне интегрируемогоуравнения, используемого в нелинейной оптике. Это уравнениепринадлежит иерархии уравнений АКНС, которые могут быть решены спомощью МОЗР со спектральной задачей Манакова [46].Многосолитонное решение для n-компонентного НУШ было получено в[60, 61].В качестве простого векторного обобщения ДНУШ можно указатьследующее уравнение:( q − iε(q ⋅ q*)q) 0i q. (2.7), ζ + , τ=, τДругой пример векторных нелинейных волн возникает прирассмотрении фемтосекундного оптического импульса,распространяющегося в оптическом волокне с учетомдвулучепреломления и высших порядков дисперсии групповых скоростейи нелинейной восприимчивости. Вполне интегрируемым уравнением вэтом случае является двухкомпонентное уравнение Сасы–Садзумы [62],обобщающее уравнение (2.5):∗∗( q + ( q ⋅ q ) q + 3q(q ⋅ q ) ) 0, ζ + ε , τττ 6 , τ, ζ =q . (2.8)В [62] было рассмотрено также трехкомпонентное обобщениеуравнения Сасы–Сатзумы. Найдено, что это уравнение имеетпредставление нулевой кривизны и может быть решено с помощью МОЗР.Однако точное солитонное решение более просто можно получитьметодом преобразований Дарбу–Бёклунда.2.4. Распространение предельно-коротких импульсов в нерезонных средахПрогресс в генерации фемтосекундных импульсов электромагнитногополя потребовал развития новых моделей, описывающих распространениетаких импульсов, когда не используется приближение медленноменяющихся огибающих, при этом модель с солитонами была бы весьма

130А.И. Маймистовпривлекательна. Простейший путь достичь этой цели − дополнитьволновое уравнение для электромагнитного поля уравнениями,описывающими эволюцию состояния (нелинейной, в общем случае) среды.Когда рассматривается резонансная среда, в которой все процессырелаксации отброшены как значительно более медленные (по сравнению сдлительностью импульса электромагнитного поля), то частотарезонансного перехода ω a дает единственный масштаб времени. Когдадлительность импульса t p удовлетворяет условию t p ω a >> 1, для описанияэволюции можно использовать представление о квазигармоническихволнах (или, что, то же самое, рассматривать медленно меняющиесяогибающие). В противном случае, если t p ω a ≤1, необходимо использоватьполные уравнения Максвелла или при определенных условиях можноиспользовать приближение однонаправленных волн. Отношениеε = ω R / ω a , где ω R − мгновенная частота Раби (т.е. ω R = d max | E|/ h ),дает новый параметр теории. Пусть амплитуда УКИ такова, что частота ω Rмала по сравнению с минимальной частотой резонансного перехода. Этозначит, что ε = ω R / ω a можно использовать как малый параметр длярешения уравнений Блоха (1.2б) по теории возмущений, и полученнуютаким образом поляризацию среды подставить в волновое уравнение, неприбегая к приближению медленно меняющихся огибающих УКИ [63]. Вприближении однонаправленных волн волновое уравнение записываетсякак1E , z + c− E,t = −( 2πnAd/ c) r1, t , (2.9)где поляризация ансамбля двухуровневых атомов с точность до третьегопорядка малости по ε записывается как321 d / ωaE − 2d/ hωaE,tt − 4 | d | d /r= 2 h h ω E . (2.10)Подстановка поляризации (2.10) в уравнение (2.9) и последующая замена1/ 2переменных τ =| b | z , ζ = t − z / V , u(τ , ζ)= −(a / 6b)E(z,t)приводит кизвестному в теории солитонов [31–34] модифицированному уравнениюКортевега–-де Фриза (мКдФ)2, τ + 6 , ζ , ζζζ =u u u + u 0 . (2.11)Здесь были введены и использованы параметрыb =a3a33a3a =− 1 1= −24πn| d | 4 / ch ω и4πn| d | 2 / ch ω Выражение V c [1+ < 4πn a | d | / h ω > ]определяет перенормированную групповую скорость распространенияУКИ. Как известно [64], уравнение мКдФ является вполне интегрируемым,и его солитонные решения получаются с помощью МОЗР [31–34]. Дляa23aa

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике133Было показано, что результирующая система уравнений обладаетсвойством Пенлеве при выполнении определенного соотношения междупараметрами модели. Также найдено представление нулевой кривизны, чтопозволяет развить МОЗР для решения указанных уравнений. В [61] вместоуравнения (2.12) рассматривалось комплексное модифицированноеуравнение Кортевега–-де Фризв22( q + | q | q + 3q(|q | ) ) + a p 0i q. (2.15), ζ − i , τττ 6 , τ, τ =Было найдено представление нулевой кривизны и с помощьюпреобразований Бёклунда получено солитонное решение рассматриваемойсистемы. В обоих случаях обсуждаемые системы уравнений являются−12вполне интегрируемыми при условии, что L L 2 f .D K =2.6. СИП при двухфотонном резонансеВ поле мощных оптических импульсов могут развиватьсямногофотонные процессы. Самая простая ситуация возникает, когдарезонансная среда взаимодействует с парой УКИ, имеющих различныечастоты несущих волн ω 1 и ω 2, такие, что ω 1 ± ω2совпадает с частотойрезонансного перехода. ω 21. Соответствующими нелинейными процессамиявляются двухфотонное поглощение (ДФП: ω 1 + ω2≈ ω21) и вынужденноекомбинационное рассеяние (ВКР: ω 1 − ω2≈ ω21) взаимодействующихволн. Если длительность импульсов много меньше времен релаксацииполяризации и разности населенностей, то возможно их когерентноераспространение. Это процесс, подобный СИП и названный двухфотоннойсамоиндуцированной прозрачностью, описывается на основе обобщеннойсистемы укороченных уравнений Максвелла-Блоха [69, 70].Используя нормированные переменные (как в разделах 1.1 и 2.1),можно записать эту систему уравнений в виде (подробности в [53, 69–71]):♦ для вынужденногокомбинационного рассеянияiq = −kS n − n q − ( 1/ 2 p q1 , ζ 1 0 1 ) 2 ,*2 , ζ = −k2n − n0q2( 1/ 2)p q1,iq S −*( δ + δ ) p inqp S +n, τ = i1q2,* * *, τ = ( i / 2)( pq1q2− p q1q2) ,22♦ для двухфотонногопоглощенияiq = −kS n − n q −*1 , ζ 1 0 1 ( 1/ 2)p q2,*2 , ζ = −k2n − n0q2( 1/ 2)p q1,iq S −( δ + δ ) p inq12p S +n, τ = iq ,* * *( pq q − p q )= ( iq, τ / 2)1 2 1 2 ,где δ S = 2kS1 | q1| + 2kS 2 | q2| − сдвиг частоты из-за высокочастотногоэффекта Штарка. Эти уравнения, оказалось, удобно переписать в новыхпеременных, которые являются квадратичными функцияминормированных огибающих УКИ q 1, 2 .

134А.И. Маймистов2222( | q | + m | q | ),S = ( | q | −m| | ).A = ,1 2 3 1 q2= R1 + iR2n = R3,S = S1+ iS 2 = (1 − m)q1q2+ (1 )p = R , + m q q ,где m = 1 для ВКР и m = −1для ДФП. В этих переменных обе системымогут быть записаны в единой форме:( + ) ( −)i * *, τ = i[ δ + b A + b S3] R + iR S , R3,= ( RS − R S )2( −)k2* *, ζ = ib R3S − im R S3, S = i ( R S − R S )R 3τ ,S3, ζ , A , ζ = 0, (2.16)2( ± )где b = k S 1 ± mk S 2 .Заметим, что отсюда следует закон сохранения "модуля вектора22энергетического спина" (S 1 , S 2 , S 3 ): ( S m S | ) 0, т.е.221*23 + | =, ζS 3 + m | S | = B(τ).Как было показано Д. Каупом и Х. Штойделем [71, 72], полученнаятаким образом унифицированная система уравнений может быть решена спомощью обобщенного метода ОЗР, если все атомы тождественны.2.7. Оптические доменные стенкиИзучение динамики состояний поляризации двух оптическихимпульсов или пучков, распространяющихся в нелинейной керровскойсреде навстречу друг другу, привело к формулировке моделей,предсказывающих образование доменных стенок, разделяющих областиразличной поляризации.В качестве примера, следуя работе [73], рассмотрим распространениенавстречу друг другу оптических импульсов в изотропной кубическинелинейной среде. Пусть плоские волны распространяются в направлениях+ ẑ and − ẑ вдоль оси Z и характеризуются медленно меняющимися( ± ) ( ± ) ( ± )огибающими q = q x xˆ+ q y yˆ. Система укороченных уравнений дляогибающих, используемая в [73], имеет следующий вид:( ∂ / ∂τ ± ∂ / ∂ξ)q( + ) ∗ ( + ) ( −)∗ ( −)( ± ) ( m)∗ ( ± ) ( ){[(⋅ q ) + ( q ⋅ q ) q + ( q ⋅ q ) q ]}( ± )mj = igjjq ,(2.17)где ξ = k 0z , τ = k0vgt− нормированные координата и время, k0− волновоечисло несущей волны, vg− групповая скорость (дисперсия групповыхскоростей не учитывалась). Константа взаимодействия определена через(1)(3)линейную χ и нелинейную χ восприимчивости:(3)(1)g = 2πχ/(1 + 4πχ) . Состояние поляризации часто описываетсявектором Стокса. В настоящей задаче используются два таких вектора:

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике135{ ( ± ) ∗ ( ± )( ± ) ∗ ( ± )( ±. .,. ., |) |2 |( ±q q + c c iq q + c c q − q) 2 }( ± ) = x yx yxy |S ,( ± ) ( ± ) ∗ ( ± )Модули этих векторов | S | = ( q ⋅ q ) остаются постоянными, так чтосостояние поляризации определяется только ориентацией векторов Стокса.Используя новые независимые переменные η = ( ξ − τ) / 2 и ζ = −( ξ + τ) / 2 исистему уравнений (2.17), в [73] была выведена система двух связанныхуравнений Блоха, описывающих вращение введенных векторов Стоксавокруг друг друга:∂( + ) ( −)( + )ζ = S × SS g ,∂( −)( −)( + )η = − S × SS g , (2.18)Чтобы показать, что эти уравнения определяют динамику киральногополя, введем матрицы l ˆ ( −2S )a Lˆ1 = a , l ˆ ( +2S )a Lˆ2 = a , где Lˆa являютсягенераторами группы Ли О(3) и удовлетворяют коммутационнымсоотношениям [ Lˆa , Lˆb ] = ε abc Lˆc (По повторяющимся индексамподразумевается суммирование, ε abc− абсолютно антисимметричныйтензор Леви-Чивиты). Уравнения (2.18) можно переписать как∂ l ˆ = ( g / 2)[ˆ l , ˆη ], ∂ lˆ= −(g / 2)[ˆ l , ˆζ ].1 2 l11 2 l1Отсюда следуют уравнения движения кирального поля на группе О(3),записанные в терминах левых токов этого поля:∂ ˆ ˆηl 1 + ∂ ζl2= 0, ∂ ˆ ˆ [ˆ , ˆη l 1 − ∂ ζl2= g l2l1]. (2.19)В работах [74, 75] рассматривался случай двулучепреломляющей средыс кубической нелинейностью. Уравнения для векторов Стокса выглядятболее сложно, но, пренебрегая керровским самовоздействием посравнению с их кросс-взаимодействием, эти уравнения можно упростить исвести их к вполне интегрируемым [76, 77] уравнениям движенияанизотропного кирального поля на группе О(3):∂( + ) ( + ) ˆ ( −)ζ = S × SS J ,∂( −)( −)ˆ ( + )η = −S× SS J , (2.20)где Ĵ − диагональная матрица, определяемая восприимчивостяминелинейной среды. Когда матричные элементы Ĵ различны, решения(2.20) определяют устойчивые состояния поляризации, когда векторавстречных волны либо параллельны, либо ортогональны.Рассмотренные модели напоминают изотропный (для (2.18)) илианизотропный (в случае (2.20)) ферромагнетик. Известно, что вферромагнетиках существуют доменные стенки, описывающие переход отодного устойчивого состояния магнитных спинов к другому. В оптикедоменная стенка отвечает области, где происходит изменение состоянияполяризации взаимодействующих волн, например, левоциркулярно

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике13918. Hasegawa A. and Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses indispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Appl.Phys.Lett. 1973. V. 23. P.142–144.19. Hasegawa A. and Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses indispersive dielectric fibers. II. Normal dispersion // Appl.Phys.Lett. 1973. V. 23. P. 171–172.20. Bloom D.M., Mollenauer L.F., Lin Ch., Taylor N. and Del Gaudio A.M. Directdemonstration of distortionless picosecond-pulse propagation in kilometer-length opticalfibers // Opt.Letts. 1979. V. 4. P. 297–299.21. Mollenauer L.F., Stolen R.H. and Gordon J.P. Experimental observation of picosecondpulse narrowing and solitons in optical fibers // Phys.Rev.Letts. 1980. V. 45. P. 1095–1098.22. Mollenauer L.F., Stolen R.H. and Islam M.N. Experimental demonstration of solitonpropagation in long fibers: loss compensated by Raman gain // Opt.Lett. 1985. V. 10. P.229–231.23. Jain M. and Tzoar N. Propagation of non-linear optical pulses in inhomogeneous media. //J.Appl.Phys. 1978. V. 49. P. 4649–4654.24. Bendow B., Gianino P.D., Tzoar N.and Jain M. Theory of nonlinear pulse propagation inoptical waveguides // J.Opt.Soc.Amer. 1980. V. 70. P. 539–546.25. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде //ЖЭТФ. 1973. T. 64. C. 1627–1639.26. Захаров В.Е., Манаков С.В. О полной интегрируемости нелинейного уравненияШредингера // ТМФ. 1974. T. 19. C. 332–343.27. Satsuma J. and Yajima N. Initial value problems of one-dimensional self-modulation ofnonlinear waves in dispersive media // Progr.Theor.Phys. Suppl. 1974. №.55. P. 284–306.28. Olmedilla E. Multiple pole solutions of the nonlinear Schrödinger equation // Physica D.1987. V. 25. P. 330–346.29. Hasegawa A. Optical Solitons in Fibers. Springer-Verlag, Berlin, 1990.30. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996. 323 с.31. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 479 с.32. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука,1986. 528 с.33. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов:метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 320 с.34. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновыеуравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.35. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1989. 560 с.36. Kaup D.J. The soliton of the general initial value problem for the full three dimensionalthree-wave resonant interaction // Physica D. 1981. V. 3. P. 374–395.37. Kaup D.J. A Method for solving the separable initial-value problem of the full threedimensionalthree-wave interaction // Stud.Appl.Math. 1980. V. 62. P. 75–83.38. Захаров В.Е., Манаков С.В. К теории резонансного взаимодействия волновыхпакетов в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1975. T. 69. C. 1654–1673.39. Kaup D.J. The three-wave interaction − A nondispersive phenomenon // Stud.Appl. Math.1976. V. 55. P. 9–44.40. Claude C., and Leon J. Theory of pump depletion and spike formation in stimulatedRaman scattering // Phys.Rev.Lett. 1995. V. 74. P. 3479–3480.41. Leon J. and Mikhailov A.V. Raman soliton generation from laser inputs in SRS //Phys.Letts. A. 1999. V. 253. P. 33–40.

140А.И. Маймистов42. Boiti M., Caputo J.-G., Leon J., and Pempinelli F. Raman solitons in transient SRS//Inverse Problem 2000. V. 16. P. 303–314.43. Маймистов А.И. Новые примеры точно решаемых задач нелинейной оптики //Опт.и спектр. 1984. T. 57. C. 564–566.44. Башаров A.M., Маймистов А.И. О самоиндуцированной прозрачности в условияхвырождения резонансных энергетических уровней // ЖЭТФ. 1984. T. 87. C. 1594–1605.45. Башаров A.M., Маймистов А.И., Скляров Ю.М. Самоиндуцированная прозрачностьна переходе 1-->1 - еще одна точно решаемая поляризационная модель нелинейнойоптики // Опт. и спектр. 1987. T. 63. C. 707–709.46. Манаков С.В. К теории двумерной стационарной самофокусировкиэлектромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. T. 65. C. 505–516.47. Steudel H. N-soliton solutions to degenerate self-Induced transparency //J.Mod.Opt. 1988.V. 35. P. 693–702.48. Konopnicki M.J. and Ebedly J.H. Simultaneous propagation of short different-wavelengthoptical pulses //Phys.Rev. A. 1981. V. 24. P. 2567-2583.49. Kujawski A. Soliton properties of optical simultons // Opt.Commun. 1982. V. 43. P. 375–377.50. Konopnicki M.J., Drummond P.D. and Ebedly J.H. Simultons: simultaneous propagationof different-wavelength optical pulses // Appl.Phys. B. 1982. V. 28. P. 103.51. Башаров A.M., Маймистов А.И. Поляризованные солитоны в трехуровневых средах.// ЖЭТФ. 1988. T. 94. C. 61–75.52. Maimistov A.I., Basharov A.M., Elyutin S.O. and Sklyarov Yu.M. Present state of selfinducedtransparency theory // Phys.Rept. C. 1990. V. 191. P. 1–108.53. Maimistov A.I., Basharov A.M. Nonlinear Optical Waves, Kluwer Academic Publishers,Dortrecht, Boston, London 1999. – 650 с.54. Kodama Y. Optical solitons in a monomode fiber // J.Stat.Phys. 1985. V. 39. P. 597–614.55. Kodama Y. and Hasegawa A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectricguide // IEEE J.Quant.Electron.1987.V. QE-23. P. 510–524.56. Potasek M.J. Novel femtosecond solitons in optical fibers, Photonic switching, andcomputing // J.Appl.Phys. 1989. V. 65. P. 941–953.57. Kaup D.J. and Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrödingerequation //J.Math.Phys. 1978. V. 19. P. 798–801.58. Hirota R. Exact envelope-soliton solutions of nonlinear wave equation // J.Math.Phys.1973. V. 14. P. 805–809.59. Sasa N. and Satsuma J. New-type of soliton solutions for a higher-order nonlinearSchrödinger equation // J.Phys.Soc.Japan. 1991. V. 60. P. 409–417.60. Nogami Y. and Warke C.S. Soliton solutions of multicomponent nonlinear Schrödingerequation //Phys.Lett. A. 1976. V. 59. P. 251–253.61. Маханьков В.Г., Пашаев О.К. Нелинейное уравнение Шредингера с некомпактнойизогруппой // ТМФ. 1982. T. 53. C. 55-67.62. Nakkeeran K., Porsezian K., Shanmugha Sundaram P. and Mahalingam A. Opticalsolitons in N-coupled higher order nonlinear Schrodinger equations // Phys.Rev.Lett.1998. V. 80. P. 1425–1428.63. Маймистов А.И. Распространение ультракоротких световых импульсов внелинейной среде // Опт. и спектр. 1994. T. 76. C. 636–640.64. Wadati M. The modified Korteweg-de Vries equation // J.Phys.Soc.Japan. 1973. V. 34. P.1289–1296.

Вполне интегрируемые модели в нелинейной оптике14165. Маймистов А.И. Распространение предельно коротких электромагнитныхимпульсов в нелинейной среде. Некоторые модели // Квант. электрон. 2000. T. 30.C. 287–304.66. Маймистов А.И., Маныкин Э.А. О распространении ультракоротких оптическихимпульсов в резонансных нелинейных световодах //ЖЭТФ. 1983. T. 85. C. 1177–1181.67. Nakkeeran K. and Porsezian K. Solitons in an erbium-doped nonlinear fibre medium withstimulated inelastic scattering // J.Phys. A. 1995. V. 28. P. 3817–3823.68. Nakkeeran K. Optical solitons in erbium doped fibers with higher order effects // Phys.Lett. A. 2000. V. 275. P. 415–418.69. Беленов Э.М., Полуэктов И.А. Когерентные эффекты при распространенииультракороткого импульса света в среде с двухфотонным резонанснымпоглощением // ЖЭТФ. 1969. T. 56. C. 1407–1411.70. Steudel H. Solitons in stimulated Raman scattering // Ann.Phys.(DDR). 1977. V. 34. P.188–202.71. Steudel H. Solitons in stimulated Raman scattering and resonant two-photon propagation//Physica D. 1983. V. 6. P. 155–178.72. Kaup D.J. The method of solution for stimulated Raman scattering and two-photonpropagation //Physica D. 1983. V. 6. P. 143-154.73. Tratnik M.S. and Sipe J.E. Polarized solitons // Phys.Rev.Lett. 1987. V. 58. P. 1104–1107.74. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Домены поляризации в нелинейной оптике // Письма вЖЭТФ. 1987. T. 45. C. 279–282.75. Mikhailov A.V., Wabnitz S. Polarisation dynamics of counterpropagating beams in opticalfibers // Opt.Lett. 1990. V. 15. P. 1055–1057.76. Чередник И.В. Релятивистки-инвариантные квазиклассические пределыинтегрируемых двумерных квантовых моделей // ТМФ. 1981. T. 42. C. 225–229.77. Захаров В.Е., Михайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные моделитеории поля, интегрируемые методом обратной задачи // ЖЭТФ. 1978. T. 74. C.1953–1972.78. Malomed B.A. Optical domain walls // Phys.Rev. E. 1994. V. 50. P. 1565–157.79. Буртсев С.П., Захаров В.Е., Михайлов А.В. Метод обратной задачи с переменныспектральным параметром //ТМФ. 1987. T. 70. C. 323–341.80. Манаков С.В. Распространение ультракороткого оптического импульса вдвухуровневом лазерном усилителе // ЖЭТФ. 1982. T. 83. C. 68–83.81. Манаков С.В., Новокшенов В.Ю. Полное асимптотическое представлениеэлектромагнитного импульса в длинном двухуровневом усилителе // ТМФ. 1986. T.69. C. 40–54.82. Габитов И.Р., Захаров В.Е., Михайлов А.В. Уравнения Максвелла-Блоха и методобратной задачи рассеяния // ТМФ. 1985. T. 63. C. 11–31.83. Steudel H. and Kaup D.J. Inverse scattering transform on a finite interval // J.Phys. A.1999. V. 32. P. 6219–6231.84. Leon J. Interaction of radiation with matter: Integrable problems // Phys.Rev. A. 1993. V.47. P. 3264–3275.85. Steudel H. and Kaup D.J. Inverse scattering method applied to degenerate two-photonpropagation in the low-excitation limit // J.Phys. A. 2000. V. 33. P. 1445–1457.86. Doktorov E.V. and Shchesnovich V.S. Nearly integrable nonlinear equations on the halfline describing the resonant interaction of radiation with matter // Inverse Problems. 2001.V. 17. P. 971–983.

142А.И. Маймистов87. Камчатнов А.М. Нелинейные периодические волны в вынужденномкомбинационном рассеянии света и рождение солитонов на фронте импульса //ЖЭТФ. 1996. T. 109. C. 786–804.88. Kamchatnov А.М., Steudel H. Nonlinear periodic waves and Whitham modulation theoryfor degenerate two-photon propagation // Phys.Lett. A. 1997. V.226. P. 355–364.89. Заболотский А.А. Динамика периодической волны в модели с квадратичной икубичной нелинейностями // ЖЭТФ. 1995. T. 107. C. 1100–1121.90. Переломов А.М. Решения типа инстантонов в киральных моделях // УФН. 1981. T.134. C. 577–609.91. Maimistov A.I. Gauge relation between self-induced transparency theory and principalchiral models // Phys.Lett. A. 1990. V. 144. P. 11–14.92. Park Q.-H. and Shin H.J. Field theory for coherent optical pulse propagation // Phys.Rev.A. 1998. V. 57. P. 4621–4642.