Projekt i matematisk kommunikation för p vt 2007

Kort om InformationssökningMan skall givetvis använda universitetsbibliotekets sökfunktioner på nätetwww.lub.lu.se och speciellt katalogen Lovisa för att finna böcker ochartiklar. De flesta matematikböcker och tidskrifter finns i matematikhuseti vårt institutionsbibliotek. Under öppettiderna kan man där få hjälp atthitta det man letar efter.Lexikon som nationalencyplopedin kan vara en bra start om man villslå upp något begrepp eller person. På nätet finns det allmänna uppslagsverketwww.wikipedia.org som byggs upp av de som känner sej kallade. Förmatematik finns ett motsvarande lexikon Planetmath på planetmath.org.Ett liknande lexikon för matematiska begrepp och resultat men med enansvarig utgivare är den utmärkta Mathworld på mathworld.wolfram.comsom lättsökt och med många bra referenser. Gäller det matematisk historiafinns bland andra Mactutor (www-groups.dcs.st-and.ac.uk/˜history).På kursens hemsida kan man hitta länkar till intressanta matematiksidor,bland annat följande matematikföreningar:I Sverige finns Svenska matematikersamfundet. På deras hemsida kanman exempelvis finna trevliga problem ifrån matematikolympiaderna.I Europa finns the European Mathematical Society, EMS, vars hemsidainnehåller en hel del matnyttiga länkar.The American Mathematical Society, AMSs hemsida får man intemissa. AMS driver bland annat MathSciNet vilket är en stor databas försökning efter matematiska artiklar eller böcker. Prova den!Tidskrifter vilka kan innehålla trevliga populärvetenskapliga artiklar ärbland andra:NORMAT, Nordisk matematisk tidskrift.Elementa.The American mathematical monthly.The Mathematical Intelligencer.Notices of the AMS.2

Förslag på projektuppgifter1. Biljard och kaosMan kan studera matematisk biljard, dvs att alla studsar är perfekta, pågodtyckliga bord. Dessa dynamiska system uppvisar kaotiskt beteende iden mening att små förändringar i indata kan leda till mycket stora förändringari det senare skeendet.2. InformationsteoriHur mäter man informationstäthet?Det var frågor av denna typ som den amerikanske elektroingenjören ochmatematikern Claude Shannon försökte besvara i sin berömda artikel Themathematical theory of communication 1948. Denna artikel är starten förbåde informationsteorin och telekommunikationsteorin och dess resultatligger till grund för utvecklandet av exempelvis digital mobiltelefoni.3. Symmetrier och gruppteoriGenom att använda symmetrigrupper för exempelvis de platonska kropparnakan man lätt besvara frågor av typen: På hur många olika sätt kanman färga sidorna på en kub med n givna olika färger om varje sida skallvara enfärgad? Olika skall här betyda att man inte genom en rotation i tredimensioner kan överföra en färgning på en annan. Symmetrigrupper i tredimensioner har viktiga tillämpningar inom kristallografi.4. Moduloräkning, Fermats lilla sats och kryptering.Moduloräkning är mycket användbart inom talteori. En trevlig tillämpningär kinesiska restsatsen som handlar om när system av moduloekvationerär lösbara. Fermats lilla sats säger att för alla heltal a är a p − a ärdelbart med p om p är ett primtal. Dessa exempel från talteorin har mångatillämpningar när man vill skapa svårknäckta krypton.5. Minimalytor och såpexprimentDoppar man en sluten ståltrådskurva i en såplösning blir resultatet att manser lösningen på problemet att, givet en sluten kurva i rummet, finna denyta som har denna kurva som rand och vilken har mindre area än varje annansådan yta. Detta problem går under namnet Plateaus problem även omproblemet i sej presenterades åtminstone så tidigt som 1760 av Lagrange.Att Plateaus problem verkligen är lösbart på ett rimligt sätt visades år 1930samtidigt av Jesse Douglas och Tibor Radon.3

6. KomplexitetsteoriMan vill gärna veta hur effektiva olika algoritmer är för att lösa ett problem.Ofta är det tillämpningar inom datalogin och numerisk analys. Man vill tillexempel veta hur mycket tidsåtgången ökar om man går från att inverteraen 100 × 100-matris till en som är 1000 × 1000. Då kan man ocksåklassificera problem efter hur svåra de är att lösa.7. KnutteoriKnutteori handlar om topologi, vilket i sin tur, löst uttryckt, handlar omegenskaper hos objekt som bevaras under kontinuerliga avbildningar. Manvill avgöra frågor av typen: Hur särskiljer man knutar och hur många olikaknutar finns det?8. Eulerkaraktäristik och graferVarje rimlig tvådimensionell yta går att triangularisera. Man upptäcker dåatt om man summerar antalet hörn + antalet trianglar - antalet sidor såkommer summan att vara oberoende av triangularisering. Detta heltal kallasför en ytas eulerkaraktäristik och ger värdefull topologisk information. Mankan bl.a. använda denna till att avgöra om en del grafer är möjliga attrealisera på en given yta.9. Euklidisk geometri och teoriuppbyggnadHur bevisar man att vinkelsumman i en triangel i planet är lika med tvåräta vinklar och vad har detta med parallellaxiomet att göra? Det finnsdessutom olika formuleringar av parallellaxiomet. Den plana geometrinkallas även för euklidisk geometri eftersom Euklides byggde upp en helteori med bara ett fåtal axiom.10. TrafikflödeTrafikstockningar är ett stort problem (miljö, stress, etc.) i många städer ivärlden. Redan på 1950-talet formulerades de första trafikflödesmodellerna,som utgör basen även för dagens modeller. Ett flertal modeller finnsberoende på vilka antagande man gör och som mer eller mindre framgångsriktefterliknar verkliga trafikflöden.11. Lotka-Volterras beskrivning av populationsproblem.Samspelet mellan rovdjur och byte är en viktigt beståndsdel i en hållbarutveckling. De första försöken att hantera detta samspel med matematiskatekniker gjordes i första halvan av 1900-talet av matematikerna Lotka ochVolterra. Frågan är hur den långsiktiga ödet för arterna påverkas av småförändringar i beskrivningen av deras inbördes samspel.4

12. Konvex optimering och igenkänningInom datorseende vill man ibland konstruera algoritmer som känner igenom en bild är av en viss kategori eller inte. Kategorierna kan t ex vara ansikte,eller bil. Man kan använda s k konvex optimering för att konstruerasådana algoritmer. Teorin för konvexa optimeringsproblem är användbarsåväl inom matematiken som i andra tillämpningar.13. Dimension och fraktalerAtt definiera dimensionen av en mängd eller ett rum kan göras på flera olikasätt. Många känner förmodligen till påståenden om att det finns mängdervilka har en fraktal dimension vilken inte behöver vara ett heltal. Vad menasmed ett sådant påstående?Frågeställningen hänger ihop med vad vi menar med sådana begreppsom längd, area och volym. Problemen illustreras tydligt av exempelvisBanach-Tarskis paradox.14. Sfärisk geometriVinkelsumman i en triangel är p. Men om triangeln ligger på en sfär blirden större. På sfärer blir geometrin lite annorlunda mot vad vi är vanavid från planet. Eftersom jorden är rätt så sfärisk har sfärisk geometri entillämpning inom lantmäteri.15. Besluts och spelteoriDet var den franske nationalekonomen Léon Walras som i slutet av 1800-talet föreslog att använda matematik för att beskriva de ekonomiska marknaderna.Han tänkte sej spelare som försökte optimera givna nyttofunktioneroch han gav ett verktyg för att börja analysera sambanden mellanutbud och efterfrågan. Hans idéer vidareutvecklades senare av John VonNeumann som på ett elegant sätt använde sej av resultat av bland andraBrouwer för att visa existens av jämviktslösningar för enkla spel.16. Tomografi och Radontransformen.En av de märkligaste och viktigaste matematiska uppfinningarna som existerarär datortomografen, CT, som idag finns på alla större sjukhus. Deflesta ser den som en medicin-teknisk uppfinning, belönad med nobelprisi fysik, men att den fungerar beror på matematik. I datorn processas en s kradontransform, uppkallad efter en österrikisk matematiker Radon. Hanställde sej och besvarade en matematisk nyfikenhetsfråga: Kan en funktionf på området D bestämmas om man vet värdet av alla integraler av f överlinjer genom D (det är dessa integraler som definierar radontransformen).5

17. Signal och bildkompressionEn signal eller en bild kan beskrivas av en funktion från planet eller linjentill de reella talen där värdet i en given punkt kan motsvara intensiteten ipunkten. För att representera en sådan funktion så nära som möjlig medså lite data som möjligt är fourieranalys ett grundläggande verktyg. Inomfourieranalysen studeras hur allmänna funktioner kan representeras medhjälp av trigonometriska funktioner. med olika frekvens och amplitud. Engeneralisering av den klassiska fourieranalysen är teorin för så kallade krusningareller wavelets. Idag används någon form av waveletapproximationeri de flesta bidkomprimeringsprogram18. FyrfärgssatsenProblemet är att avgöra om det är möjligt att färga vilken given karta somhelst med endast fyra färger på ett sådant sätt inga intilliggande länder harsamma färg. Problemet har lösts med hjälp av datorprövning av ett stortantal modellfall. Detta har lett till diskussioner om vad en bevis egentligenär. Man kan också diskutera vad ett bevis egentligen är.19. Eschermatematik.Den nederländske grafikern Maurits Cornelius Eschers teckningar är fascinerandeoch ofta provocerande för vår rumsuppfattning. Man anar ettmatematiskt innehåll, och ställer sej frågan hur han bär sej åt och varfördet fungerar. Projektet går ut på att fånga några aspekter av detta, för plantäckandeperiodisk plattläggning, som Escher ofta baserar sina arbeten på.Man kommer snabbt in på att beskriva symmetrier med hjälp av det matematiskabegreppet grupp, och till analogier med såväl kristallografi somorientaliska ornament.20. Bildrekonstruktion och omöjliga figurerHur återskapar man ett tredimensionellt objekt utifrån en familj av tvådimensionellaprojektioner? Och framförallt, hur avgör man utifrån sinfamilj av tvådimensionella bilder om något sådant tredimensionellt objektöver huvud taget existerar? Många av Oscar Reutersvärds (professor ikonsthistoria i Lund fram till 1981) omöjliga figurer uppmanar till dylikafrågeställningar. Andra kända skapare av omöjliga figurer är den brittiskematematiske fysikern Roger Penrose och den nederländske grafikern MauritsCornelius Escher.6

21. Gröbner baserLinjära ekvationssystem löses som bekant med hjälp av av Gausselimination.Denna metod fungerar inte i allmänhet då de inblandade polynomekvationernages av godtyckliga polynom (i flera variabler). Genom attanvända teorin för Gröbner baser kan man dock transformera ett allmäntsystem till en triangulär form där vi, precis som i det linjära fallet, endastbehöver betrakta ekvationer i en variabel.Gröbner baser har många, utöver ovan nämnda, tillämpningar i bådetillämpad och mer teoretisk inriktad matematik, och dess algoritmer finnsimplementerade i alla större datoralgebrasystem (som t ex maple).22. Tvåkropparproblemet och Keplers lagarNewtons lösning av tvåkropparproblemet och härledningen utifrån dettaav Keplers rörelselagar för planeterna var den första stora triumfen förNewtons mekanik. I fallet med n-kropparproblemet med n ≥ 3 kvarstårfortfarande en mängd obesvarade frågor.23. KedjebråkEtt alternativ till decimalutveckling av reella tal är kedjebråk som127 = 1 + 11 + 12 + 1 2Varje rationellt tal har en ändlig kedjebråksutveckling och de irrationellahar oändliga kedjebråkutvecklingar. Ibland blir dessa trevligare än decimalutvecklingarnasom t ex√2 = 1 +12 + 12 + . . .Kedjebråksutvecklingar för icke rationella tal ger bland annat i lämpligmening upphov till bästa rationella approximationen.24. Brownsk rörelseEffekten upptäcktes 1827 av Robert Brown då han studerade de oregelbundnarörelserna hos små partiklar uppslammade i vatten. Einstein gavi ett av sina tre banbrytande arbeten 1905 den grundläggande teorin förfenomenet. Det orsakas av molekylknuffar ifrån det omgivande mediet.Den matematiska teorin för Brownsk rörelse har en central ställninginom sannolikhetslära och statistik..7

25. De reella talens historiaDet var då Richard Dedekind föreläste analys för ingenjörer i Tyskland islutet av 1800-talet som han började fundera över grundläggande egenskaperhos de reella talen. Han brukade bland annat lära ut att varje uppåtbegränsad växande följd av reella tal har ett gränsvärde. Problemet var baraatt han faktiskt inte kunde bevisa detta. Dedekind började då fundera påde reella talens egentliga natur.Samtidigt med Dedekind funderade ytterligare en tysk, Georg Cantor, iliknande banor. Cantors tankar kring de reella talens natur kom bland annatifrån undersökningar om var en given funktions så kallade fourierseriekonvergerar.26. Cirkelns kvadratur och Vinkelns tredelningDe enda instrument som stod till buds, eller godkändes, vid geometriskakonstruktioner bland de gamla grekerna var en ograderad linjal och enpassare. Tal vilka, utgående från en given enhetslängd, kunde konstruerasmed endast dessa hjälpmedel kallades naturligt nog för just konstruerbaratal. Det är relativt enkelt att visa att, givet vår linjal vilken vi använderför att definiera längdenheten, det är möjligt att konstruera alla rationellatal. Dessutom kan man exempelvis konstruera roten ur varje rationellt tal.Frågan om det givet en cirkel är möjligt att konstruera en kvadrat medsamma area, kallas för problemet med cirkelns kvadratur. Detta problemär naturligtvis ekvivalent med frågan om talet p 1/2 är konstruerbart. Förstagången detta problem nämns är i Plutarchos skrifter där det berättas attAnaxagoras sysselsatte sej med detta problem under en tid då han satt ifängelse för att han hade insisterat på att solen inte var en gud utan englödhet stenklump stor som hela Peloponnesos och att månen var en obebodddito som lånade sitt ljus ifrån solen. Trots Anaxagoras och mångaandra framstående matematikers ansträngningar förblev problemet olöstunder mer än tvåtusen år. Det var först då Lindemann 1882 bevisade att pär transcendent som det blev klart att p 1/2 inte är konstruerbart.Att tredela en vinkel a med passare och linjal handlar på samma sättom att avgöra om talet a/3 är konstruerbart eller ej. Det visar sej att vissavinklar går att tredela och andra inte. Problemet är givetvis aningen konstruerateftersom det är lätt att visa att om man exempelvis får markeraett givet avstånd på linjalen så är alla vinklar möjliga att tredela. I sambandmed vinkelns tredelning kan man också notera Morleys sats inomden euklidiska geometrin, en sats som de gamla grekerna missade och somMorley upptäckte först 1899.8