Lösningar - Matematikcentrum

Matematik för naturvetare 1Torsdag den 22 mars 2007Skrivtid: 14.00–19.00MatematikcentrumMatematik NFLösningar1. Absolutbeloppet är∣∣(1 + i √ 3) 7 ∣ ∣∣ =∣ ∣∣1 + i√3∣ ∣∣7=(√1 2 +(√3) 2) 7= 2 7 = 128och argumentet är( (arg 1 + i √ ) ) 7 (3 = 7arg 1 + i √ )3 = 7π 3 ∼ π 3 .2. Om f(x) = lnxxså ärf ′ (x) =1x · x − 1 · ln xx 2 = 1 − ln xx 2 = 0 ⇔ x = e.Vi ser att f ′ (x) > 0 då 2 ≤ x < e och f ′ (x) < 0 då e < x ≤ 3 och detta visar attfunktionens största värde är f(e) = e −1 och att det minsta är något av ändpunktsvärdenaf(2) = ln22och f(3) = ln 3ln 23. Eftersom 3ln 2 = ln 8 < ln 9 = 2ln 3 så är2detminsta värdet.3. Planets ekvation är2(x − 1) + y − 1 + 2(z − 1) = 0 ⇔ 2x + y + 2z = 5.Avståndsformeln ger att det sökta avståndet är|2 · 1 + 2 + 2 · 3 − 5|√2 2 + 1 2 + 2 2 = 5 3 .4. En integrerande faktor är e ln t = t. Differentialekvationen är därför ekvivalent medoch vi får attd(ty(t)) = t2dtty(t) = t3 3 + C ⇔ y(t) = t2 3 + C t .5. Låt x vara kroppslängden och y skostorleken. Då är y = Cx k för några konstanterC och k. Logaritmering ger att ln y = ln C + k ln x. Sätt z = ln x och w = ln y. Dåär w = kz + ln C. Lineär regression använd på värdena (z,w) ger att k ≈ 0,785 ochln C ≈ −0,309 ⇒ C ≈ 0,734.Var god vänd!

6. Om f(x,y) = 2x 3 + 3y 2 − 6xy så är f x ′(x,y) = 6x2 − 6y och f y ′ (x,y) = 6y − 6x. Destationära punkterna ges därför av y = x och x 2 − x = 0 och är (0,0) och (1,1).Det gäller att f xx ′′ (x,y) = 12x, f′′xy (x,y) = 6. För punkten (0,0)blir den kvadratiska formen Q(h,k) = −12hk + 6k 2 = 6k(k − 2h), som är indefinit.Punkten (0,0) är därför en sadelpunkt. För punkten (1,1) blir(x,y) = −6 och f′′yyQ(h,k) = 12h 2 − 12hk + 6k 2 = 6(k 2 − 2hk + 2h 2 ) = 6((h − k) 2 + h 2 ),som är positivt definit. Punkten (1,1) är därför en lokal minimipunkt.7. Sannolikheten är∫ 250e −r/µµ dr = [− e −r/µ] 250 = 1 − e−25/µ = 1 − e −1 .8. Antalet fiskar y(t) per m 2 vid tiden t, där t är antalet år sedan inplanteringen började,bestäms av begynnelsevärdesproblemet(y ′ (t) = 2y(t) 1 − y(t) )+ 2,2, y(0) = 1.10Differentialekvationens högerled kan efter faktorisering skrivas11 + 10y − y 25(y − 11)(y + 1)= −5och differentialekvationen är ekvivalent med∫dy(11 − y)(1 + y) = ∫ dt5 .Partialbråksuppdelning ger112∫ ( 111 − y + 1 ) ∫ dtdy =1 + y 5 .Lösningarna ges därför av( ) 1 + yln = 12 11 − y 5 t + C.y(0) = 1 ger att C = − ln 5. Då y = 10 är ln 11 = 12t/5 − ln5, vilket ger attt = 5 12ln 55 ≈ 1,67 år.