Rotationsrörelse - Fysik

Rörelsemängdsmoment 6 – 9Ex. 6.18 Fallande stav. En stav med längdl och massa M står i början vertikaltnär den faller. Beräkna tyngdpunktenshastighet som funktion av läget.6.8 Bohr’s atommodellBohr’s teori för väteatomen är en länk mellanklassisk mekanik och kvantmekanik. Denillustrerar tillämpningen av begrepp som energioch rörelsemängdsmoment.Från optisk spektroskopi fick man i slutetav 1800- och början av 1900 talet en mängddata om atomens inre struktur. Ljusetfrån atomer har endast vissa karakteristiskavåglängder typiska för varje grundämne.År 1886 upptäckte Balmer att våglängdernaför det optiska spektrat från väte gavsempiriskt av formeln(1 1λ = R 2 2 − 1 )n 2 n =3,4,5,...där λ är våglängden och R är en konstantkallad Rydberg-konstanten. Balmer föreslogatt det även fanns andra linjer i spektratgivna av formeln(1 1λ = R m 2 − 1 )n 2med m =3,4,5,...;n = m +1,m+2,....För att förklara väteatomens spektrum antogBohr följande postulat1. Atomer kan bara finnas i vissa stationäratillstånd där atomen inte sänderut strålning.2. En atom kan gå från ett stationärttillstånd a till ett lägre tillstånd b genomatt skicka ut en foton med energi E a −E bdär frekvensen för fotonen ges avν = E a − E bhdär h är Planck’s konstant.3. I ett stationärt tillstånd beskrivs atomenav klassisk fysik4. Rörelsemängdsmomentet för atomen ärnh/2π där n är ett heltal.Antagandet 1 var nödvändigt för attförklara att atomer är stabila. I klassiskteori kommer en elektron i en bana att emitteraenergi och så småningom kollapsa in tillkärnan. Antagandet 2 uttrycker endast energikonservering,ty energin för en foton gesac hν.Väteatomen består av en elektron medladdningen −e och massa m e och en kärnamed laddning +e och massa M. Den radiellaekvationen för elektronens rörelse blir medantagandet 3:m e (¨r − r ˙θ 2 )=− e2r 2eller med ¨r =0ochv=r˙θ− m ev 2r=− e2r 2Totala energin för atomen ärE = K + U = 1 2 m ev 2 − e2r = −1 e 22 rVi har också från postulat 4 för en elektron ibanan med radien r n och hastigheten v nm e r n v n = nh2π = n¯hdvsv n =n¯hm e r nSätter vi in detta i den radiella rörelseekvationenfår vi( ) n¯hm e r n = e 2m e r nvilket gerr n = n2¯h 2m e e 2Detta ger de kvantiserade energiernaE n = − 1 2m e e 4n 2¯h 2