Rotationsrörelse - Fysik

Rörelsemängdsmoment 6 – 7Nu är∑m j r ′ j = ∑jjm j (r j −R) = ∑ joch∑m j ṙ ′ j = d ∑m j r ′ jdt=0jjAlltså ärL = R × MV + ∑ jm j r j −MR=0r ′ j × m j ṙ ′ jEx. 6.14 Rullande hjul. Betrakta ett homogenthjul eller cylinder med massanM och radie b vilket rullar likformigtutan glidning. Tröghetsmomentet m ap en axel genom tyngdpunkten är I 0 =Mb 2 /2. Beräkna totala L z maporigoiett fixt koordinatsystem.Vi kan även dela upp kraftmomentet i tvådelar. Låt f j beteckna den yttre kraften påpartikel j, dåärdär V = Ṙ är tyngdpunktens hastighet m ap det fixa inertialsystemet. Den första termenrepresenterar rörelsemängdsmomentet p ga tyngdpunktens rörelse. Den andra termenrepresenterar rörelsemängdsmomentet p g aden relativa rörelsen kring tyngdpunkten.Det enda sättenstelkroppkanröra sig m ap tyngdpunkten är att hela kroppen roterar. Idetta avsnitt begränsar vi oss till en rotationkring z-axeln. Detta ger⎛L z =(R×MV) z + ⎝ ∑ j⎞r ′ j×m j ṙ ′ ⎠jMen den andra termen är identisk med renrotation kring en axel vilket behandlades tidigare,dvs⎛⎞⎝ ∑ r ′ j × m jṙ ′ ⎠j = ∑ m j ρ ′ j2 ω = I0 ωjzjdär ρ ′ j är vektorn till partikel m j vinkelrätmot rotationsaxeln genom tyngdpunkten.Detta ger slutligenL z =(R×MV) z +I 0 ωVi ser att rörelsemängdsmomentet för en stelkropp är summan av rörelsemängdsmomentetför dess tyngdspunktsrörelse och rörelsenm a p tyngdpunkten. Dessa båda bidragkallas ofta för banimpuls- resp spinnimpulsmomentet.zτ = ∑ r j × f j = ∑ (r ′ j + R) × f j =jj= ∑ (r ′ j × f j )+R×Fjdär F = ∑ j f j är den totala yttre kraften.Den första termen är kraftmomentet m a ptyngdpunkten och den andra termen är kraftmomentetfrån yttre krafter vilka verkar påtyngdpunkten.För rotation kring en fix axel har vi alltsåτ z = τ 0 +(R×F) zdär τ 0 är z-komponenten m a p tyngdpunkten.Nu ärdL z= τ zdtdvsdωI 0dt + d dt (R × MV ) z = τ 0 +(R×F) zMenddt (R × MV ) z =(V ×MV) z ++ (R×M dVdt ) z =(R×Ma) zTyngdpunkten rör sig enligt Newtons andralag Ma = F och rotationen kring tyngdpunktenges därför avI 0 α = τ 0Vi ser att rotationen kring tyngdpunktenberor på kraftmomentet m a p tyngdpunkten