Föreläsning 1 och 2

Föreläsning 1Kapitel 1: Craps

AgendaMålet med dagens (och nästa) föreläsning är...att lära oss reglerna för Craps...att lära oss grunderna i sannolikhetsläran...att räkna ut några intressanta sannolikheter i Craps

CrapsSpelas med två standardtärningarTärningarna kastas samtidigt på ett bord med höga väggar

ReglerEn mängd ”sidebets” men vi nöjer oss med de grundläggandereglernaShootern kastar tärningarna. Om tärningarna summerar till...... 7 eller 11 vinner man dubbla insatsen... 2, 3 eller 12 (craps) förlorar man insatsen... 4, 5, 6, 8, 9 eller 10 har man etablerat en poängOm en poäng etableras kastas tärningarna igen tills......samma poäng kastas igen och man vinner dubblainsatsen...en 7:a kastas och man förlorar insatsen

Craps-frågorVad är sannolikheten att...... vinna/förlora i Craps?... omgången avslutas efter första kastet?... omgången avslutas med att en sjua kastas?... omgången avslutas efter t.ex. 5 kast?Vi kommer nu lära oss hur man räknar ut dessa sannolikheterMen först behöver vi grunderna i sannolikhetsläran.

Addera sannolikheterSannolikheten att en tärning landar på är 1/6Sannolikheten att en tärning landar på är 1/6Sannolikheten att en tärning landar på eller är 1/6+1/6=1/3Vi kan alltså addera sannolikheterSannolikheten att Mathias fyller år idag är 1/365Sannolikheten att Mathias eller Patrik fyller år idag är1/365+1/365=2/365?Sannolikheten att någon i Sverige fyller år idag är9276509/365?Verkar alltså inte alltid vara OK att addera sannolikheter

Multiplicera sannolikheterTvå tärningar, en svart och en vitSannolikheten att en landar på och en landar på är1/6 · 1/6 = 1/36Vi kan alltså multiplicera sannolikheterI en kortlek är sannolikheten att första kortet är ett ess 1/13I en kortlek är sannolikheten att andra kortet är ett ess 1/13Sannolikheten att både första och andra kortet är ess är1/13 · 1/13 = 1/169?Sannolikheten att alla kort är ess är1/13 · 1/13 · · · 1/13 = (1/13) 52 ?Inte alltid OK att multiplicera sannolikheter

RäknereglerStörre delen av kapitlet handlar om när man kan addera ochnär man kan multiplicera sannolikheterTeori om händelser, unioner, snitt, komplement, oberoende etc.för att ställa upp räknereglerI enklare fall klarar man sig kanske utan demI lite mer komplicerade fall är de oumbärliga

HändelserHändelser är det vi räknar ut sannolikheter förExempel på händelser är... vinna i Craps... omgången avslutas efter första kastet... tärning landar på... Mathias fyller år idagHändelser som beskrivs av en text brukar vi skriva innanförklammerparenteser, t.ex.... {vinna i Craps}... { tärning landar på}

HändelserEn händelse kan också betecknas med en versal från början avalfabetet, t.ex. A eller BVi skulle t.ex. kunna skrivaA = {vinna i Craps}B = { tärning landar på}

Två speciella händelserTvå händelser som har fått egna namn är...... den säkra händelsen, Ω (omega)... den omöjliga händelsen, ∅ (motsatsen till Ω)Exempel (Tärning)För en vanlig tärning är det helt säkert att den landar på någonav sina sex sidor. Alltså ärΩ = { }Tärningen landar på , , , , ellerExempel (Kort)För en vanlig kortlek är det helt säkert att det översta kortet ärett hjärter, spader, ruter eller klöver.Ω = {det översta kortet är ett hjärter, spader, ruter eller klöver}

SannolikheterSannolikheten för en händelse skriver vi P (). T.ex.P (A) = P ({vinna i Craps}) =?P (B) = P ({ tärning landar på})=16Sannolikheter kan väljas på många sättMen måste uppfylla Kolmogorovs tre axiomDefinition (Kolmogorovs första axiom)Låt A vara en händelse. Då gäller att 0 ≤ P (A) ≤ 1.En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1

Ett till axiomVi kommer också behöva veta sannolikheten för den säkrahändelsenDefinition (Kolmogorovs andra axiom)P (Ω) = 1Sannolikheten för något som säkert inträffar är 1Vi väntar med det tredje axiomet en stund

Grundläggande händelserIdén kommer hela tiden vara att börja med en samlinggrundläggande händelser. För att vi ska kalla en samlinghändelser för grundläggande ska... de täcka alla möjligheter... inte flera kunna inträffa samtidigtExempel (Tärning)Ett bra val av grundläggande händelser för kast med tärning är, , , , och .Vi ger var och en av de grundläggande händelserna ensannolikhetBygg den intressanta händelsen med hjälp av degrundläggande och använd räkneregler för sannolikheter

Unioner av händelserSumman av tärningarna blir 3 om ellerTärningen landar på jämnt antal prickar om tärningen landar på, ellerSammanslagningen av händelser kallas för en unionBetecknas med ett ∪ och kan läsas som ellerExempel (Unioner){jämnt antal prickar} = ∪ ∪{mindre än fyra prickar} = ∪ ∪♥ = ♥2 ∪ ♥3 ∪ . . . ∪ ♥K ∪ ♥E{spricka i Black Jack} = {22} ∪ {23} ∪ . . . ∪ {31}Ω = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪

Venn-diagram för unionVenn-diagram hjälper till att föreställa sig händelserCirklar representerar händelserSannolikheten för en händelse är dess areaUnionen av två händelser blir sammanlagda ytanExempel (Venn-diagram för tärning)Vänstra cirkeln: jämnt antal prickarHögra cirkeln: mindre än fyra prickar

Snitt av händelserVi är också intresserade av t.ex. händelsen jämnt antal prickaroch mindre än fyra prickarHändelsen att den första och den andra händelsen inträffarkallas snittet, betecknas ∩Vi skriver{jämnt antal} ∩ {< 4 prickar} = ( ∪ ∪ ) ∩ ( ∪ ∪ ) =Exempel (Snitt)♠K = ♠ ∩ K♠K ∪ ♣K = (♠ ∪ ♣) ∩ KRoulette {< 12} ∩ {udda} ∩ {svart} = {11}♥4 ∩ ♠3 = ∅

Venn-diagram för snittVi kan också se snittet i ett Venn-diagram.Snittet är ytan innanför båda cirklarnaExempel (Venn-diagram för tärning)Vänstra cirkeln: jämnt antal prickar.Högra cirkeln: mindre än fyra prickar.

Oförenliga händelserDefinition (Oförenliga händelser)Två händelser A och B sägs vara oförenliga om A ∩ B = ∅,d.v.s. om det är omöjligt att båda inträffar samtidigt.Exempel (Oförenliga händelser)♥4 ∩ ♠3 = ∅∩ {udda antal prickar} = ∅{Mathias fyller år} ∩ {Patrik fyller år} ≠ ∅

KomplementIbland vill vi räkna ut sannolikheten att något inte inträffarEn händelses komplement, betecknas A c och är allt som inteingår i AExempel (Komplement)Craps: {vinna} c = {förlora}Fotboll: {vinna} c = {oavgjort} ∪ {förlora}Fotboll: {oavgjort} c = {vinna} ∪ {förlora}{udda} = {jämnt} c{≤ 3} = {> 3} cc= ∪ ∪ ∪ ∪Ω c = ∅

Venn-diagram för komplementEn händelses komplement blir i Venn-diagrammet alla yta somligger utanför händelsen

Räkna med händelserVi har lärt oss tre operationer på händelserNamn Beteckning LäsesUnion A ∪ B A eller BSnitt A ∩ B A och BKomplement A c inte A

Räkneregler för sannolikheterVi vet nu hur man kan bygga upp händelser med unioner, snittoch komplementBehövs räkneregler för sannolikheterDefinition (Kolmogorovs tredje axiom: Additivitet)Låt A 1 , A 2 till A n vara n stycken oförenliga händelser. Då ärsannolikheten för deras union, A,P (A) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + . . . + P (A n )Om två händelser inte kan inträffa samtidigt är sannolikhetenatt någon av dem inträffar summan av deras sannolikheterExempelHändelserna och är oförenliga och därför ärP ( ∪ ) = P ( ) + P ( )

När man inte kan addera sannolikheterEftersom {Mathias fyller år} och {Patrik fyller år} inte äroförenliga ärP ({Mathias eller Patrik fyller år})= P ({Mathias fyller år} ∪ {Patrik fyller år})≠ P ({Mathias fyller år}) + P ({Patrik fyller år})

Sannolikheter för en tärningDe flesta håller med om att sannolikheten att en tärning landarpå en viss sida är 1/6. Nu kan vi motivera det:1 = P (Ω) = P ( ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ )= P ( ) + P ( ) + P ( ) + P ( ) + P ( ) + P ( )Om P ( ) = P ( ) = P ( ) = P ( ) = P ( ) = P ( ) , får vi1 = 6P ( ) =⇒ P ( ) = 1 6

n stycken lika sannolika alternativOm vi istället har n stycken lika sannolika händelser får vi1 = P (Ω) = P (A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n )= P (A 1 ) + P (A 2 ) + . . . + P (A n )Eftersom alla sannolikheter är lika måste nu iställetP (A 1 ) = P (A 2 ) = . . . = P (A n ) = 1 n .Exempel (Kortspel)I en välblandad kortlek har alla kort samma sannolikhet att blidragna. Eftersom det finns n = 52 kort måsteP (♥2) = P (♥3) = . . . = P (♣E) = 152

KomplementsatsenSatsP (A) = 1 − P (A c ).Bevis.A och A c är oförenliga1 = P (Ω) = P (A ∪ A c ) = P (A) + P (A c ) .Vilket ger attP (A) = 1 − P (A c ) .

Komplementsatsen, exempelExempel (Vinst/Förlust i Craps)Vi vi vet att {förlust} c = {vinst}, så attP ({förlust}) = 1 − P ( {förlust} c) = 1 − P ({vinst}) .Exempel (Sannolikheten för den omöjliga händelsen)Eftersom Ω = ∅ c så ärP (∅) = 1 − P (∅ c ) = 1 − P (Ω) = 1 − 1 = 0.

AdditionssatsenOm två händelser är oförenliga gäller P (A ∪ B) = P (A) + P (B)Vad händer om de inte är oförenliga?Sats (Additionssatsen för två händelser)Låt A och B vara två händelser. Då gäller attP (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).Om A och B är oförenliga gäller fortfarandeP (A ∪ B) = P (A) + P (B), eftersom P (A ∩ B) = P (∅) = 0

Additionssatsen, exempel IExempel (Tärningar)Händelserna {≤ 3 prickar} och {udda antal prickar} är inteoförenligaP ({≤ 3 prickar} ∪ {udda antal prickar})= P ({≤ 3 prickar}) + P ({udda antal prickar})−P ({≤ 3 prickar} ∩ {udda antal prickar})= P ({≤ 3 prickar}) + P ({udda antal prickar})− P ( ∪ )= 1 2 + 1 ( 12 − 6 + 1 )= 4 6 6 .

Additionssatsen, exempel IIExempel (Mathias & Patrik)P ({Mathias fyller år} ∪ {Patrik fyller år})= P ({Mathias fyller år}) + P ({Patrik fyller år})−P ({Mathias fyller år} ∩ {Patrik fyller år})Vi behöver P ({Mathias fyller år} ∩ {Patrik fyller år}).

OberoendeVill kunna räkna ut t.ex. P ( ∩ )Tärning 1 och 2 kan var för sig landa på 6 olika sättTillsammans på 6 · 6 = 36 sättEftersommåsteMenP ( ∩ ) + P ( ∩ ) + . . . + P ( ∩ ) = 1,P ( ∩ ) = P ( ∩ ) = . . . = P ( ∩ ) = 136P ( ) · P ( ) = 1 16 6 = 136 = P ( ∩ )

Oberoende, definitionDefinition (Oberoende)Två händelser A och B sägs vara oberoende omP (A ∩ B) = P (A) P (B).Händelserna och är alltså oberoendeNär två händelser rimligen inte kan påverka varandra antar vioberoende och kan då beräkna sannolikheter av snitt

Oberoende, exempel IExempel (Yatzy)Vi kastar fem oberoende tärningarSannolikheten för Yatzy i 1:or på första kastet ärP ({Yatzy i 1:or}) = P ( )1 ∩ 2 ∩ 3 ∩ 4 ∩ 5= P ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 · P 2 · P 3 · P 4 · P 5( 1 5=6)Vi kan få Yatzy i 1:or, 2:or o.s.v. SåP ({Yatzy}) = P ({Yatzy i 1:or} ∪ . . . ∪ {Yatzy i 6:or})= P ({Yatzy i 1:or}) + . . . + P ({Yatzy i 6:or})( ) 1 5 ( ) 1 5 ( ) 1 5 ( ) 1 5= + + . . . + = 6 = 16 66 6 1296

Oberoende, exempel IIExempel (Mathias & Patrik)Mathias födelsedag påverkar rimligen inte PatriksVi kan anta oberoende ochVi kan till slut räkna utP ({Mathias fyller år} ∩ {Patrik fyller år})= P ({Mathias fyller år}) · P ({Patrik fyller år})= 1365 · 1365 = 1133225P ({Mathias fyller år} ∪ {Patrik fyller år})= 1365 + 1365 − 1365 · 1365 = 729133225 ≈ 0,0054719Jämförs med 1365 + 1365 ≈ 0,0054795

Craps-summor IVi behöver veta sannolikheten att få t.ex. summan 4 vid kastmed två tärningarBeteckna den händelsen {S = 4} så att vi söker P ({S = 4})Summan blir 4 om antingen ∩ , ∩ eller ∩ inträffarP ({S = 4}) = P (( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ))= P ( ∩ ) + P ( ∩ ) + P ( ∩ )= 136 + 136 + 1 36 = 3 36D.v.s. antalet sätt som summan kan uppstå på delat med 36

Craps-summor IISumma Kombinationer Antal Sannolikhet2 ∩ 1 1/363 ∩ , ∩ 2 2/364 ∩ , ∩ , ∩ 3 3/365 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 4 4/366 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 5 5/367 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 6 6/368 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 5 5/369 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 4 4/3610 ∩ , ∩ , ∩ 3 3/3611 ∩ , ∩ 2 2/3612 ∩ 1 1/36Denna tabell räcker i fortsättningen

Betingade sannolikheterOm vi vet att {S = 7} inträffat, vad är då sannolikheten för∩ ?6 möjligheter: ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩Alla dessa lika sannolika så slh för ∩ , givet att {S = 7}inträffat, är 1/6Kallas för betingade sannolikheten och skrivsP ( ∩ | {S = 7} ) = 1 6”Sannolikheten för ∩ betingat (givet) {S = 7} är 1/6”

Betingade sannolikheter, definitionDefinitionLåt A och B vara två händelser. Då skriver vi den betingadesannolikheten för A givet att B inträffar som P (A|B) och låterP (A|B) =P (A ∩ B).P (B)Exempel (Craps)P ( ∩ | {S = 7} ) = P (( ∩ ) ∩ {S = 7} )= P ( ∩ )P ({S = 7}) = 1/366/36 = 1 6P ({S = 7})

Betingade sannolikheter, exempel IExempelP (A ∩ A)P (A|A) =P (A)P (A ∩ Ω)P (A|Ω) =P (Ω)Antag att A och B är oberoende. Då är= P (A)P (A) = 1,= P (A)1= P (A) .P (A|B) =P (A ∩ B)P (B)=P (A) P (B)P (B)= P (A) .

Betingade sannolikheter, exempel IIExempel (Kortspel)P (E ∩ ♥)P (E|♥) = = P (♥E)P (♥) P (♥) = 1/5213/52 = 113 = P (E) ,P (♥E ∩ ♥)P (♥E|♥) = = P (♥E)P (♥) P (♥) = 1/521/4 = 113 ,P (♥E ∩ ♠)P (♥E|♠) = = P (∅)P (♠) P (♠) = 01/4 = 0.

Craps4 på första kastet ⇒ vinst om 4 före 7Vi är därför intresserade av t.ex. P ({S = 4 innan S = 7})4,2,8,5,3,4,6,8,74, , , , ,4, , ,74 innan 7 är samma sak som 4 betingat på att det blir 4 eller 7Därför ärP ({S = 4 innan S = 7}) = P ({S = 4} | {S = 4} ∪ {S = 7})P ({S = 4})=P ({S = 4} ∪ {S = 7}) = P ({S = 4})P ({S = 4}) + P ({S = 7})3/36=3/36 + 6/36 = 3 9

CrapsVi gör på samma sätt för de övriga summorna och fårHändelse4 före 75 före 76 före 78 före 79 före 710 före 7SannolikhetP({S=4})P({S=4})+P({S=7}) = 3 9P({S=5})P({S=5})+P({S=7}) = 410P({S=6})P({S=6})+P({S=7}) = 511P({S=8})P({S=8})+P({S=7}) = 511P({S=9})P({S=9})+P({S=7}) = 410P({S=10})P({S=10})+P({S=7}) = 3 9Vi är på god väg!

Lagen om total sannolikhetOfta blir problem lättare om man betingar, t.ex. i CrapsSatsLåt B 1 ,B 2 . . . B n vara oförenliga händelser som tillsammanstäcker alla möjliga händelser,B 1 ∪ B 2 ∪ . . . ∪ B n = Ω.Då kan vi beräkna sannolikheten för en händelse A somP (A) = P (A|B 1 ) P (B 1 ) + P (A|B 2 ) P (B 2 ) + . . . + P (A|B n ) P (B n ) .

Lagen om total sannolikhet, bevisBevis.P (A) = P ((A ∩ B 1 ) ∪ (A ∩ B 2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ B n ))= P (A ∩ B 1 ) + P (A ∩ B 2 ) + . . . + P (A ∩ B n )P (A|B 1 ) = P (A ∩ B 1)P (B 1 )⇐⇒ P (A ∩ B 1 ) = P (A|B 1 ) P (B 1 )P (A) = P (A|B 1 ) P (B 1 ) + P (A|B 2 ) P (B 2 ) + . . . + P (A|B n ) P (B n )

Lagen om total sannolikhet, träddiagramP(B 1)B 1P(A|B 1)P(A C |B 1)AA CP(B 2)B 2P(A|B 2)P(A C |B 2)AA CP(B 3)B 3P(A|B 3)P(A C |B 3)AA C

Lagen om total sannolikhet, exempelExempel (Två händelser)P (A) = P (A|B) P (B) + P (A|B c ) P (B c )Exempel (Kast med 2 tärningar)P ({udda total}) =P ({udda total} | {udda första}) P ({udda första})+P ({udda total} | {jämnt första}) P ({jämnt första})= P ({jämnt andra}) P ({udda första})+P ({udda andra}) P ({jämnt första})= 1 2 · 12 + 1 2 · 12 = 1 2 .

Monty Hall-problemet3 dörrar, 2 med getter och 1 med bil bakomEfter att du valt dörr nummer 1 öppnar programledaren en avde dörrarna som döljer en getHan erbjuder dig sedan att byta dörr, vad gör du?

Monty Hall-problemet, lösningLåt A, B och C vara händelserna att bilen finns bakom dörr 1, 2resp. 3Antag,P (A) = P (B) = P (C) = 1 3Låt D vara händelsen att du vinner bilen om du byterP (D) = P (D|A) P (A) + P (D|B) P (B) + P (D|C) P (C)Om du byter vinner du inte om bilen är bakom dörr 1, såP (D|A) = 0Om bilen är bakom dörr 2 så öppnar programledaren dörr 3 såatt du får bilen om du byterSå att P (D) = 2 3P (D|B) = P (D|C) = 1

Craps, sannolikheten att vinna IVi kan nu använda Lagen om total sannolikhet på CrapsBetinga på första kastet!P ({vinna}) = P ({vinna} | {S = 2}) P ({S = 2})+P ({vinna} | {S = 3}) P ({S = 3}) + . . .+P ({vinna} | {S = 12}) P ({S = 12})Sannolikheterna P (S = 2) till P (S = 12) har vi redan räknat ut.Summa Kombinationer Antal Sannolikhet2 ∩ 1 1/363 ∩ , ∩ 2 2/364 ∩ , ∩ , ∩ 3 3/365 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 4 4/366 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 5 5/367 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 6 6/368 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 5 5/369 ∩ , ∩ , ∩ , ∩ 4 4/3610 ∩ , ∩ , ∩ 3 3/3611 ∩ , ∩ 2 2/3612 ∩ 1 1/36

Craps, sannolikheten att vinna II2, 3 och 12 i första kastet ger direkt förlust såP ({vinna} | {S = 2}) = P ({vinna} | {S = 3})= P ({vinna} | {S = 12}) = 07 och 11 ger vinst direkt såP ({vinna} | {S = 7}) = P ({vinna} | {S = 11}) = 1För 4, 5, 6, 8, 9 och 10 ärP ({vinna} | {S = 4}) = P ({4 före 7})Nu sätter vi samman allt...

Craps, sannolikheten att vinna IIIP ({vinna}) = 0 · P (S = 2) + 0 · P (S = 3)+P ({4 före 7}) P (S = 4) + P ({5 före 7}) P (S = 5)+P ({6 före 7}) P (S = 6) + 1 · P (S = 7)+P ({8 före 7}) P (S = 8) + P ({9 före 7}) P (S = 9)+P ({10 före 7}) P (S = 10) + 1 · P (S = 11) + 0 · P (S = 12)= 3 9 · 336 + 4 10 · 436 + 511 · 536 + 6 36+ 511 · 536 + 4 10 · 436 + 3 9 · 336 + 236= 244495 = 0,49292 . . .P ({förlora}) = 1 − P ({vinna}) = 251495 = 0,50707 . . .

Craps, sannolikheten att omgången avslutasefter första kastetOmgången avslutas på första kastet om summan är 2, 3, 7, 11eller 12Alltså,P ({omgången avslutas efter ett kast})= P ({S = 2} ∪ {S = 3} ∪ {S = 7} ∪ {S = 11} ∪ {S = 12})= P ({S = 2}) + P ({S = 3}) + P ({S = 7}) + P ({S = 11})+P ({S = 12})= 136 + 236 + 636 + 2 36 + 1 36 = 1 3

Craps, sannolikheten att omgången avslutasmed att en sjua kastas IVi betingar igen på första kastet och använder Lagen om totalsannolikhetP ({avsluta med sjua}) = P ({avsluta med sjua} |S = 2) P ({S = 2})+ . . . + P ({avsluta med sjua} |S = 12) P ({S = 12})Om första kastet är 2, 3, 11 eller 12 avslutas omgången intemed en sjua. SåP ({avsluta med sjua} |S = 2) = 0P ({avsluta med sjua} |S = 3) = 0P ({avsluta med sjua} |S = 11) = 0P ({avsluta med sjua} |S = 12) = 0

Craps, sannolikheten att omgången avslutasmed att en sjua kastas IIDessutom är P ({avsluta med sjua} |S = 7) = 1Vi har också t.ex. attP ({avsluta med sjua} |S = 4) = P ({7 före 4}) = 1 − P ({4 före 7})1 − 3 9Till slutP ({avsluta med sjua}) =(+ 1 − 5 )·11(+ 1 − 3 )·9(1 − 3 )·9(536 + 1 · 636 + 1 − 511336 = 557990 = 0,562626 . . .3(136 + − 4 10)·)·436(536 + 1 − 410)·436

Craps, sannolikheten att omgången avslutasefter precis 5 kast IFör exakt fem kast ska vi först kasta 4, 5, 6, 8, 9 eller 10Antag att vi kastar en fyra på första kastetSen ska vi kasta tre gånger utan att få 4 eller 7P ({varken 4 eller 7}) = P ( ({S = 4} ∪ {S = 7}) c)= 1 − P ({S = 4} ∪ {S = 7})= 1 − (P ({S = 4}) + P ({S = 7}))= 1 − P ({S = 4}) − P ({S = 7})Tre gånger på raken(1 − P ({S = 4}) − P ({S = 7})) 3

Craps, sannolikheten att omgången avslutasefter precis 5 kast IIPå femte kastet ska vi kasta 4 eller 7P ({4 eller 7}) = P ({S = 4} ∪ {S = 7}) = P ({S = 4})+P ({S = 7})TotaltP ({fem kast} | {första kastet 4})= (1 − P ({S = 4}) − P ({S = 7})) 3 (P ({S = 4}) + P ({S = 7}))(= 1 − 336 − 6 ) 3 ( 336 36 + 6 )= 0,10546875.36Gör på samma sätt för 5, 6, 8, 9 och 10. . .

Craps, sannolikheten att omgången avslutasefter precis 5 kast IIIFörsta kastetP ({fem kast} | {första kastet})4 0,105468755 0,104642966 0,102329938 0,102329939 0,1046429610 0,10546875

Craps, sannolikheten att omgången avslutasefter precis 5 kast IIIITill sistP ({fem kast}) = P ({fem kast} | {första kastet 4}) P ({S = 4}) + . . .+P ({fem kast} | {första kastet 10}) P ({S = 10})3= 0,10546875 ·36 + 0,10464296 · 436 + 0,10232993 · 5365+0,10232993 ·36 + 0,10464296 · 436 + 0,10546875 · 336≈ 0,0692571.