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不 流 动 资 产 的 定 价 与 股 权 分 置 改 革 研 究<br />
W<br />
m<br />
2<br />
() t −W<br />
( t ) = w ( ){exp[(<br />
α −σ<br />
/ 2) h + ΔY<br />
] −1<br />
× [ W ( t ) − C( t ) h] C( t )h<br />
∑<br />
0 i t0 i i<br />
i<br />
}<br />
0 0<br />
−<br />
0<br />
i=<br />
1<br />
(2-5)<br />
令 h → 0( 连 续 时 间 ), 则 (2-4) 式 描 述 的 随 机 过 程 的 极 限 , 可 以 表 示 为 随<br />
机 微 分 方 程 形 式<br />
dY<br />
=<br />
i<br />
σ i<br />
Z ( t)(<br />
dt)<br />
i<br />
1/ 2<br />
并 称 Y i<br />
(t)<br />
是 由 维 纳 过 程 生 成 的 。<br />
对 于 离 散 时 间 动 态 预 算 方 程 应 用 同 样 的 极 限 过 程 , 则 (2-5) 式 可 以 写 为<br />
dW<br />
⎡<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
m<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
() t α W () t − C() t dt w () t α Z () t W () t<br />
∑ wi<br />
i<br />
+ ∑<br />
1<br />
m<br />
1<br />
i<br />
i<br />
i<br />
dt<br />
(2-6)<br />
(2-6) 式 即 为 Merton 推 导 出 的 不 确 定 性 动 态 连 续 时 间 预 算 方 程 一 般 表 达 式<br />
的 随 机 微 分 方 程 。<br />
( 二 ) 两 资 产 模 型<br />
定 义 w1 () t ≡ w( t)<br />
为 在 风 险 资 产 上 的 投 资 比 例 , w ( t) = 1−<br />
w( t)<br />
2<br />
为 在 确 定 性 资<br />
产 上 的 投 资 比 例 , g<br />
1<br />
() t = g()<br />
t 为 风 险 资 产 收 益 ( var g > 0 2<br />
) , g ( t)<br />
= r<br />
产 收 益 ( var g = 0 2<br />
) 。 则 最 优 投 资 组 合 和 消 费 准 则 问 题 由 下 式 表 示<br />
t<br />
− pt<br />
{ e U[ C()<br />
t ] dt B[ W ( T ) T ]}<br />
2<br />
为 确 定 性 资<br />
MaxE ∫ + , (2-7)<br />
0<br />
约 束 条 件 为 预 算 限 制<br />
dW<br />
= {[ w(<br />
t)(<br />
α − r)<br />
+ r]<br />
W ( t)<br />
− C(<br />
t)}<br />
dt + w(<br />
t)<br />
αZ(<br />
t)<br />
W ( t)(<br />
dt)<br />
1/ 2<br />
即 () t ≥ 0;<br />
W ( t) > 0; W ( 0) = W0 > 0<br />
C ,<br />
这 里 , 假 定 (C)<br />
U 是 严 格 凹 效 用 函 数 , g ( t)<br />
机 变 量 。T 是 死 亡 日 期 , 而 [ W ( T ) T ]<br />
14<br />
是 前 面 描 述 的 维 纳 过 程 生 成 的 随<br />
B , 是 特 定 的 “ 遗 赠 评 价 函 数 ”, 于 是 可 以 得 到<br />
连 续 时 间 贝 尔 曼 - 德 莱 弗 斯 基 本 最 优 方 程 (Bellman-Dreyfus fundamental<br />
equation of optimality):<br />
⎡<br />
− pt<br />
0 = Max<br />
{ () ()}<br />
⎢e<br />
U[<br />
C<br />
σ<br />
C t , W t<br />
2<br />
⎣<br />
∂t<br />
∂W<br />
∂W<br />
这 里<br />
t<br />
2<br />
∂I<br />
⎤<br />
t<br />
∂I<br />
t<br />
∂ I<br />
t 2 2 2<br />
() t ] + + [( w()( t α − r)<br />
+ r) W () t − C()<br />
t ] + 1 2 w () t W () t ⎥⎦<br />
I 是 (2-7) 式 的 动 态 规 划 形 式 , 是 [ W ( t)<br />
t]<br />
因 为 对 任 意 的 t ∈ [ 0, T ],(2-8) 式 都 成 立 。<br />
(2-8)<br />
I , 的 简 写 , t 0<br />
的 下 标 被 去 掉 了 ,<br />
由 此 ,Merton 推 导 出 在 常 相 对 风 险 厌 恶 和 无 限 期 界 情 形 下 , 两 资 产 的 消 费