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2. 文 献 回 顾<br />
( 一 ) 动 态 模 型 : 预 算 方 程<br />
在 通 常 的 确 定 性 连 续 时 间 模 型 中 , 预 算 方 程 是 微 分 方 程 。 然 而 , 利 用 随 机 变<br />
量 引 入 不 确 定 性 后 , 预 算 方 程 就 必 然 一 般 化 为 随 机 微 分 方 程 , 为 了 解 此 预 算 方 程 ,<br />
Merton(1969) 首 先 研 究 离 散 时 间 模 型 , 然 后 再 过 渡 到 连 续 时 间 的 极 限 情 形 。<br />
定 义 W () t 为 在 时 间 t 的 总 财 富 ; ( t)<br />
( i = 1,<br />
L,<br />
m)<br />
; C () t 为 在 时 间 t 中 单 位 时 间 的 消 费 ; ( t)<br />
m<br />
⎛ ⎞<br />
对 资 产 的 投 资 比 例 ( i = 1,<br />
L,m)<br />
。 注 意 当 ⎜ w i<br />
() t ≡ ⎟<br />
⎠<br />
m<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
W<br />
⎡<br />
= ⎢∑<br />
⎣<br />
() t w ( t )<br />
X<br />
i<br />
() t<br />
( t )<br />
⎤<br />
m<br />
i 0 ⎥ •<br />
0<br />
−<br />
0<br />
i=<br />
1 X<br />
i 0<br />
⎦<br />
⎝<br />
[ W ( t ) C( t ) h]<br />
X i<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
为 第 i 种 资 产 在 时 间 t 的 价 格<br />
t<br />
w i<br />
为 在 时 间 t 的 总 财 富 中<br />
1 时 , 预 算 方 程 可 以 写 为<br />
(2-1)<br />
这 里 t ≡ t 0<br />
+ h ,h 为 两 期 之 间 的 时 间 间 隔 。 两 边 同 时 减 去 W t ) , 利 用<br />
( )<br />
w i<br />
t0 = 1, 我 们 可 以 把 (2-1) 式 重 新 写 为<br />
W<br />
⎡<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
() t −W<br />
( t )<br />
m<br />
i=<br />
1<br />
w<br />
X<br />
() t − X<br />
i<br />
( t0<br />
)<br />
X ( t )<br />
m<br />
i<br />
∑ wi( t0<br />
)<br />
i=<br />
1 i 0<br />
∑<br />
( t ){exp[<br />
g<br />
i<br />
( t)<br />
h]<br />
−1}<br />
• [ W ( t0<br />
) − C( t0<br />
) h] − C( t0<br />
)h<br />
i<br />
0<br />
0<br />
()<br />
( ) ]<br />
⎤<br />
⎥ • [ W ( t0<br />
) − C( t0<br />
) h] − C( t0<br />
) h<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
这 里 ) log[ X<br />
i<br />
t<br />
gi t h ≡ , g i<br />
(t)<br />
为 单 位 时 间 资 产 i 的 对 数 收 益 率 。 假 设 { g i<br />
(t)<br />
}<br />
X t<br />
( i 0<br />
是 由 随 机 过 程 生 成 的 。<br />
( 0<br />
(2-2)<br />
就 离 散 时 间 情 形 , 我 们 可 以 进 一 步 假 设 g i<br />
(t)<br />
2<br />
g ( t)<br />
h = ( α −σ<br />
/ 2)<br />
h + ΔY<br />
i<br />
i<br />
i<br />
由 下 式 确 定<br />
(2-3)<br />
这 里 “ 期 望 ” 收 益 率 α 为 常 数 , (t)<br />
由 高 斯 随 机 游 走 过 程 生 成 , 可 用 如 下<br />
i<br />
Y i<br />
随 机 差 分 方 程 表 示 :<br />
Y ( t)<br />
− Y ( t<br />
h<br />
i<br />
i<br />
0<br />
) ≡ ΔYi<br />
= σ<br />
iZ<br />
i<br />
( t)<br />
1/ 2<br />
(2-4)<br />
这 里 对 于 每 一 个 t, Z i<br />
(t)<br />
为 序 列 独 立 的 标 准 正 态 随 机 变 量 , σ 2 是 过 程 Y<br />
i<br />
的<br />
单 位 时 间 方 差 , 增 量 Δ 的 均 值 为 零 。<br />
Yi<br />
将 (2-3) 式 中 的 g i<br />
(t)<br />
代 入 (2-2), 可 把 (2-2) 重 新 写 为<br />
i<br />
13