Del 2

Övningar i Automationsteknik FK
Tillståndsmodeller
Hittills har vi bara behandlat system på in-utsignal form vare sig det är
via differentialekvationer eller i form av överföringsfunktioner. För att mer
fullständigtbeskrivavadsomhändermedsystemetanvändstillståndsvariabler.
Dessa används i en beskrivning där beroendet mellan tidsderivatan för varje
sådan tillståndsvariabel och alla tillståndsvariabler och insignaler beskrivs
av en ekvation. Detta motsvarar ett system av n st första ordningens kopplade
differentialekvationer där n är antalet tillstånd (tillståndsvariabler) oftast
betecknade med x j (t),j = 1,2,...,n. Utsignalen (eller utsignalerna om
det är MIMO-system) är en funktion av dessa tillstånd. Allmänt kan detta
beskrivas med sambandet
dx
(t) = f(x(t),u(t),t)
dt
y(t) = g(x(t),u(t),t)
där x(t) = (x 1 (t),x 2 (t),...,x n (t)), u(t) = (u 1 (t),u 2 (t),...,u m (t)) och y(t) =
(y 1 (t),y 2 (t),...,y p (t)) och där f : R n ×R m ×R + → R n och g : R n ×R m ×
R + → R p . Systemet är då ett system på tillståndsform av ordning n med m
insignaler och p utsignaler.
Situationen kan för linjära tidsinvarianta system beskrivas på matrisform
enligt följande:
(1)
dx
(t) = Ax(t)+Bu(t)
dt
y(t) = Cx(t)+Du(t)
(2)
där definitionerna blir något modifierade för att passa matrisformuleringen.
Därförblirvektorernaomstöptatillkolonnmatriserenligtx(t) = (x 1 (t)x 2 (t)...x n (t)) T ,
u(t) = (u 1 (t)u 2 (t)...u m (t)) T och y(t) = (y 1 (t)y 2 (t)...y p (t)) T där T i detta
sammanhang betyder transponering. A, B, C och D är matriser av dimension
n×n, n×m, p×n respektive p×m.
2.1. Skriv om följande differentialekvation på tillståndsformen (1)
d 2 y
dt 2(t)+2cosy(t)dy (t)+siny(t) = u(t)
dt
genom att införa tillståndsvariablerna x 1 = y och x 2 = dy
dt .
1

2.2. Linjärisera systemet i förra uppgiften kring x 1 = 0, x 2 = 0, u = 0 (inga
partiella derivator ska behövas!). Skriv systemet på matrisformen (2).
2.3. Följandeenkla kretskanrepresenteras somettsystem påtillståndsform.
L
i(t)
u(t)
R
C
y(t)
a. Gör detta med tillstånden valda som x 1 (t) = i(t) och x 2 (t) = y(t). Skriv
även upp systemet på matrisform.
b. Härled (med eller utan hjälp av (a)) att överföringsfunktionen G(s) från
u till y kan skrivas
RCs+1
G(s) =
LCs 2 +RCs+1
c. Gör en realisering av G(s) på styrbar kanonisk form.
d. Gör en realisering av G(s) på observerbar kanonisk form.
2.4.
a. Bestäm överföringsfunktionen G(s) = Y(s)/U(s) för följande system
( ) ( )
dx −1 0 1
dt = x+ u
1 −2 −2
y = ( 1 1 ) x
b. Bestäm systemets poler och nollställen.
c. Gör en ny realisering på diagonalform av systemet.
2

d. Gör ytterligare en realisering av systemet fast på styrbar kanonisk form.
2.5. Bestäm överföringsfunktion, poler och nollställen till följande system
a. ẋ =
b. ẋ =
( ) ( 1 −2 2
x+ u, y =
2 1 3)
( −1 1 ) x
( ) ( ) −2 1 1
x+ u, y = ( 1 1 ) x
2 −3 −1
2.6. Realiseraföljandeöverföringsfunktionerpådetreolikatillståndsformerna
diagonalform, styrbar kanonisk form och observerbar kanonisk from:
a. G(s) = −s+1
s 2 +5s+4
b. G(s) =
2s+3
s 2 +7s+10
c. G(s) =
2.7. Realisera följande överföringsfunktioner på styrbar resp. observerbar
kanonisk form:
a. G(s) =
4
s 2 +4s+8
b. G(s) =
2s 2 +3s+1
s 3 +7s 2 +14s+8
2.8. Två vagnar är förbundna med fjädrar och dämpare enligt följande figur:
s+2
s(s+1)(s+3)
k
z
k
y
k
u
b
m 1
m 2
Massornahosvagnarnaärm 1 resp. m 2 medanallafjädrarnaharfjäderkonstanten
k. Dämparen har dämpkonstanten b. Skriv upp systemet på tillståndsform
med u som insignal (notera att det är en position och inte en kraft) och z
och y som utsignaler. Rullfriktionen hos vagnarna kan försummas.
2.9. Skriv upp följande system på tillståndsformen (1)
ÿ +2(ẏ) 2 y +(1−2y 2 )ẏ +y(1−u 2 ) = u
Välj själv tillståndsvariabler och linjärisera sen systemet kring (x 1 ,x 2 ,u) =
(0,0,0) (lättare än det ser ut).
3

2.10. Tre bufferttankar är förbundna enligt nedanstående figur:
q in
h 1
h 2
h 3
A 1
A 2 A 3
q ut
q 12
q 23
Till den första tanken strömmar volymsflödet q in (t). Flödet mellan tankarna
betecknas q 12 respektive q 23 och utflödet från den sista (tredje) tanken är
markerat som q ut . Nivåerna i tankarna är h j ,j = 1,2,3och tvärsnittsareorna
ges av A j ,j = 1,2,3. För att använda en linjär modell utförs linjärisering
med x j = ∆h j = h j − h stat
j ,j = 1,2,3 och u(t) = ∆q in (t) = q in − qin stat.
Dessutom gäller att ∆q 12 = k 12 (x 1 − x 2 ), ∆q 23 = k 23 (x 2 − x 3 ) och ∆q ut =
k 3 x 3 för flödesvariationerna mellan tankarna för det linjäriserade systemet.
Observera att linjäriseringen redan är gjord vid övergången till x 1 , x 2 och u.
a. Skriv upp den linjära tillståndsmodellen (med x 1 , x 2 , x 3 och u) för detta
tanksystem om utsignalen väljs som x 2 .
b. Beräkna de värden på tillståndsvariablerna x j ,j = 1,2,3 efter lång tid
för ett viss konstant styrsignal u(t) = u 0 . Observera att beräkningen görs på
det linjäriserade systemet i (a) så de verkliga nivåerna i tankarna beror även
på qin stat och h stat
j ,j = 1,2,3 för det bakomliggande olinjära systemet.
c. Beräkna överföringsfunktionen för det linjäriserade systemet i (a) då u(t)
är insignal och y(t) = x 2 (t) är utsignal.
2.11. Ett olinjärt system är givet på tillståndsform:
{
ẋ 1 = αx 1 −x 2 −x 1 (x 2 1 +x 2 2)
ẋ 2 = x 1 +αx 2 −x 2 (x 2 1 +x2 2 )
4

a. Visa att (x 1 ,x 2 ) = (0,0) är en stationär punkt till systemet och linjärisera
systemet kring denna punkt. Avgör även hur det linjäriserade systemets
stabilitet beror av parametern α.
b. Byt variabler till polär form ((x 1 ,x 2 ) → (r,φ))
{
x 1 = rcosφ
= rsinφ
x 2
och visa att tillståndsekvationerna (för det olinjära systemet) i polära koordinater
blir {
ṙ = r(α−r 2 )
˙φ = 1
Kan man utläsa något mer av beteendet hos detta olinjära system från dessa
ekvationer
2.12. En liten kolonistuga med tre rum har uppvärmning i det stora rummet
i mitten:
k 20
k 01
k 12 k 23
k 30
T 1
T 2 T 3
T 0
Radiatorns effekt är P(t) medan temperaturerna i de tre rummen är T j , j =
1,2,3 [ ◦ C]. Utomhustemperaturen ges av T 0 . Värmeövergångskoefficienten
mellan rum i och rum j betecknas med k ij [W/ ◦ C] (index 0 svarar mot
utomhus) och värmekapaciteten hos rum i betecknas med C i , i = 1,2,3
[J/ ◦ C] (eller Ws/ ◦ C).
a. Bestäm en tillståndsmodell för stugan med rumstemperaturerna T j , j =
5
P

1,2,3 som tillstånd, utomhustemperaturen T 0 som störning och effekten P(t)
som insignal. Som utsignal väljs mittrummets temperatur T 2 .
b. Antag följande värden på konstanterna: C 1 = C 2 = C 3 = 2 · 10 6 J/ ◦ C,
k 12 = k 23 = 200 W/ ◦ C, k 01 = k 30 = 100 W/ ◦ C, k 20 = 50 W/ ◦ C. Beräkna
de temperaturer som “efter lång tid” (i stationaritet) ställer in sig i de tre
rummen om utetemperaturen är konstant 0 ◦ C och effekten P är konstant 4
kW.
2.13. Ett system bestående av två tankar visas i följande figur:
q in
=q ut
h 1
A 1
h 2
q 1
A 2
q 2
Med hjälp av Torricellis lag kan följande olinjära tillståndsmodell uppställas
{
dh
A 1
√
1 = −a
dt 1 2gh1 +q in
A 2
dh 2
dt
= a 1
√ 2gh1 −a 2
√ 2gh2
därh j ärnivån,A j tvärsnittsareanocha j utloppsareanförtankj. Linjärisering
av systemet kring den stationära punkten (h 1 ,h 2 ,q in ) = (h stat
1 ,h stat
2 ,qin stat )
med tillstånden x j = ∆h j = h j −h stat
j , j = 1,2 och styrsignalen u = ∆q in =
q in −qin stat ger {
dx1
= −p 1 x 1 +c 0 u
där c 0 = 1 A 1
, p j = a j
A j
√ g
2h stat
j
dt
dx 2
dt
= c 1 x 1 −p 2 x 2
, j = 1,2 och c 1 = a 1
A 2
√
g
2h stat
1
a. För ett visst tanksystem och med ett visst val av stationär punkt erhölls
c 0 = 400 m −2 , c 1 = p 1 = p 2 = 0.02 rad/s. Beräkna systemets poler.
6
.

. Beräkna en tillståndsåterkoppling u(t) = l r r(t)−l 1 x 1 (t)−l 2 x 2 (t) sådan
att polerna hos det återkopplade systemet blir −0.1 (dubbelpol) och att den
statiska förstärkningen blir 1 om y = x 2
2.14. En permanentmagnetiserad likströmsmotor kan beskrivas av kretsschema
i följande figur:
R a
L a
i (t)
a
u (t) a
e (t)
b
T
J
B
Beteckningar:
R a = Ankarresistansen [Ω]
L a = Ankarinduktansen [H (Henry)]
i a = Ankarströmmen [A]
u a = Ankarspänningen in [V]
ω = Vinkelhastigheten [rad/s]
T = Drivande moment från motorn [Nm]
J = Tröghetsmoment [kg m 2 ]
B = Bromskonstant [kg m 2 / s]
Följande samband gäller:
⎧
T(t)
⎪⎨
e b (t)
⎪⎩
L a
di a
= k m i a (t)
= k u ω(t)
(t)+R dt ai a (t)+e b (t) = u a (t)
+Bω = T(t)
dt
J dω
a. Skriv systemet på tillståndsform med tillstånden x 1 (t) = i a (t) och x 2 (t) =
ω(t).
b. Antag att J = 0.0005 kg m 2 , B = 0.0002 kg m 2 /s, R a = 50Ω, L a = 10
mH och k u = k m = 0.1 Nm/A (Vs/rad). Beräkna systemets poler.
c. Beräkna en återkoppling u(t) = l r r(t) − l 1 x 1 (t) − l 2 x 2 (t) så att det
återkoppladesystemetfårendubbelpoli−250ochsåattdenstatiskaförstärkningen
blir 1 om utsignalen är y(t) = ω(t)
7

2.15. Givet ett system
⎧ ( ) ( )
⎪⎨
dx −2 4 1
= x+ u
dt 1 3 2
( )
⎪⎩ y = 1 −1 x
a. Beräkna systemets poler.
b. Beräkna en återkoppling u(t) = l r r(t)−l 1 x 1 (t)−l 2 x 2 (t) som placerar de
båda polerna i s = 10±10i. Beräkna endast l 1 och l 2 .
c. Varför kan inte l r beräknas så att detta system får en statisk förstärkning
= 1 från r till y (Ledning: Vad gäller för nollstället till det oåterkopplade
systemetochhurpåverkasnollställettilldetslutnasystemetavenåterkoppling)
2.16. Givet ett system
⎧
⎛ ⎞
−1 1 0
⎪⎨
dx ⎜
= ⎝ 1 3 2
dt
(
0 2 −1
)
⎪⎩ y = 0 1 −1 x
⎟
⎠x+
⎛ ⎞
2
⎜ ⎟
⎝1⎠u
0
a. Beräkna systemets poler.
b. Beräkna l 1 , l 2 och l 3 i en återkoppling u(t) = l r r(t) − Lx(t) med L =
(l 1 l 2 l 3 ) så att alla polerna hamnar i −4. Koefficienten l r behöver inte
väljas eller beräknas.
8