Omar Khayyams matematiska arbete

More documents

Recommendations

Info

Khayyam tycker även att oändligheten [enligt Euklides] bör definieras. Inom geometri är alla storheter fastställda, därmed bör Euklides definiera vad han menar med oändligheten då han talar om ”oändliga linjer”. [1] Dessutom föreslog Khayyam att Euklides borde lägga till Elementa en hel del nya postulat. Khayyam har inte tagit upp dessa i Mosaderat, han har bara pekat på några, som är följande: [1] 1. Varje storhet kan delas upp i oändligt antal mindre delar och alla dessa delar kan aldrig vara odelbara. Khayyam tycker att detta kan bevisas med filosofi, men eftersom denna regel behövs i geometri, bör detta uttryckas som ett postulat. Han tillägger att många matematiker ville bevisa detta i geometrin men de var omedvetna att det är omöjligt att kunna bevisa detta i geometrin. Han anser att detta kan bevisas genom dess uppkomst. [1] 2. Då man på kanterna avlägsnar sig från skärningspunkten mellan två linjer, ökar avståndet mellan linjerna. Låt de räta linjerna, AB och AC, skära varandra i punkten, A. Vi påstår då att avståndet mellan linjerna AB och AC ökar, då linjerna dras ut från punkten A. Rita cirkeln, ABC, med centrum i A och radian lika med AB. Avståndet mellan de räta linjerna, AB och AC, är sträckan BC. Sedan förlängs AB mot punkten D och cirkeln ADE ritas, då den räta linjen AC förlängs och skär den stora cirkeln i punkten E. Slutligen ritas den räta linjen DE och det är klart att den räta linjen DE är större än den räta linjen BC. Khayyam tycker att det är uppenbart med fundering på definitionerna om räta linjer, cirkeln och vinklar etcetera och det behöver inget bevis [1]. Se figur 3.24. 3. Om avståndet mellan två linjer minskar, innebär det att de kommer skära varandra längre fram och avståndet mellan dessa kan aldrig öka, innan de har mötts. Det samma gäller då avståndet mellan två linjer ökar, dvs. avståndet mellan dem kan aldrig minskas. [1] Avståndet mellan två räta linjer utgörs av den räta linje som sammanknyter dessa linjer så att de två inre vinklarna blir lika. [1] Khayyam anser att något geometriskt bevis inte behövs eftersom det är uppenbart med filosofiskt resonerande tankar. Men konstruktionen av den räta linje som beskriver avståndet, dvs. ger lika inre vinklar, kan ske geometriskt. [1] 28
Jag har som del av mitt examensarbete försökt konstruera detta geometriskt vilken kommer nedan*. Till exempel kan antas att de två räta linjerna, n och m, ligger i ett plan och punkten A befinner sig på den räta linjen m. Således är avståndet mellan punkten A och den räta linjen n den räta linjen AB och vinklarna a och b blir lika [1]. Se Figur 3.25. Med hjälp av geometri ska visas hur man kan dra en rät linje från punkten A till linjen n så att de två inre vinklarna, a och b, blir lika. [1] Linjen AB är avståndet eftersom det finns oändligt många olika räta linjer som kan dras från punkten A till linjen n vilken framkallar oändligt antal vinklar med olika storlekar och det är även möjligt att de linjerna och/eller vinklarna blir lika med varandra. [1] På linjen m väljs den räta linjen AC lika med den räta linjen BD på linjen n och den räta linjen CD ritas. Därför blir vinklarna c och d lika [enligt Khayyams bevis för proposition I.29] och linjen CD blir avståndet mellan linjerna n och m. [1] Om den räta linjen CD blir större än den räta linjen AB medför det att de räta linjerna n och m går isär. [1] På liknande sätt som ovan tar vi den räta linjen CE på den räta linjen m lika med den räta linjen DF på den räta linjen n och den räta linjen EF ritas. Därför blir vinklarna e och f blir lika [enligt Khayyams bevis för proposition I.29] och linjen EF avståndet mellan linjerna n och m. [1] Om EF blir mindre än CD medför det att n och m närmar sig samtidigt som de går isär och det är en motsägelse. På liknande sätt är det en motsägelse om CD och EF är lika. [1] Om linjen CD är mindre än AB medför det att n och m närmar sig och då bör linjen EF vara mindre än CD annars det blir en motsägelse. [1] Det har fåtts att då två räta linjer som ligger i samma plan och närmar varandra kan de aldrig gå isär och på liknande sätt gäller att om de går från varandra kan de aldrig närmas. [1] *Konstruktion: Vi drar de räta linjerna, n och m, på det håll som de skär varandra i punkten Q därefter väljs AQ lika med BQ och ritas den räta linjen AB. Därefter ritas den räta linjen, PQ, från punkten P som ligger i mitten på AB. Då får vi två trianglar, APQ och BPQ som blir 29
Page 1: Omar Khayyams matematiska arbete Fa
Page 4 and 5: Sammanfattning Under 1000-talet fö
Page 6 and 7: 1. Inledning 1.1 Bakgrund Enligt lo
Page 8 and 9: Tusi (1201 - 1274), och hans eftert
Page 10 and 11: att man dividerar det aktuella åre
Page 12 and 13: Figur 3.1: Isfahan, Naqsh-e-Jahans
Page 14 and 15: står för geometriska figurer i fo
Page 16 and 17: y > x. Detta villkor är att beräk
Page 18 and 19: Euklides parallellpostulat: [9] Om
Page 20 and 21: Proposition I.30: [9] Om två räta
Page 22 and 23: 3.2.3.2 Parallellkonstruerade linje
Page 24 and 25: Detta medför att hypotenusorna EC
Page 26 and 27: Här skissar Khayyam samma fyrhörn
Page 29 and 30: Det har även visats att linjerna I
Page 31: 3.2.3.6.5 Bevis till före detta pr
Page 35 and 36: 5. Referenser • [1] Jalal-addin H
Page 37 and 38: Bilaga B 33

Omar Khayyams matematiska arbete

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?