Omar Khayyams matematiska arbete

dessa vinklar är mindre än 90˚ och att ytorna CHID och ACDB är
sammanfallande, kommer de räta linjerna FG och EF samt HI och AB att
sammanfalla.
Detta bidrar till att den räta linjen HI är kongruent med den räta linjen KJ,
därför att vinkeln HCF är större än vinkeln ACF, detta medför sedan att
den räta linjen HI är större än den räta linjen AB.
Således om linjen AB förlängas på ovanstående vis oändligt många
gånger, kommer avståndet mellan linjerna AC och BD att öka, vilket är
omöjligt [under antagandet om att de räta linjerna AC och BD är
parallella]. Vilket i sin tur medför att de båda linjerna AB och HI
sammanfaller.
Detta innebär att två räta linjer skär en annan rät linje vinkelrätt,
samtidigt som avståndet mellan dem ökar, vilket är en omöjlighet enligt
definitioner av stabilitet och avståndsvillkor [som kommer i slutet av detta
arbete] vilket kan bevisas inom filosofi.
Om vinklarna ACD och BDC däremot skulle vara större än räta, kommer
HI att sammanfalla med LM. Sträckan LM är mindre än AB och systemet
kommer att bete sig likadan då det upprepas flera gånger, som förklarat
ovan. Denna gång kommer avståndet mellan de räta linjerna AC
respektive BD att minska. Vilket även är en motsägelse.
Det har visats att de två linjerna, AB och HI, inte kan vara olika till längd,
vilket bevisar att de är lika. Lika längd kommer att bidra till lika vinklar,
dvs. vinklarna ACD och BDC kommer att vara lika och 90˚. [1]
Khayyam anser att den sista delen [lika längd kommer att bidra till lika
vinklar dvs. vinklarna ACD och BDC kommer att vara lika och räta] inte
behöver bevisas och att man kan förstå logiken bakom denna med lite
funderingar. Han överlämnar beviset till någon som vill bevisa det med
matematiska metoder. Mitt bevis av denna del framgår nedan.
Bevis: Om vi bevisar att C och D är mittpunkterna på de räta linjerna AH
respektive BI, samt CD är vinkelrätt med de både linjerna så med hänsyn till
Khayyams bevis till propositionerna I.29 (enligt den gamla Elementa) och
I.30 är beviset klart. Se Figur 3.19.
De två räta linjerna, AF och FH, ritas. Det har visats att vinklarna h (=h 1 +h 2 )
och i samt sidorna DI och CH är lika därmed enligt Khayyams alternativ till
propositionen I.29 blir vinklarna c 2 och d 2 lika.
Vi hade även att de räta linjerna AC och BD är lika och parallella. Detta
medför att linjerna AH och BI blir lika, och därmed enligt samma proposition
blir vinklarna a (=a 1 +a 2 ) och b även lika. Detta bidrar till att vinklarna c 1 och
d 1 blir lika.
23