Omar Khayyams matematiska arbete

I.17 är en proposition som måste bevisas. Tusi har utvecklat detta i al-
Resalah al-Shafiah. [1]
Vid jämförelse med proposition I.17, som säger att summan av två vinklar
vilka som helst i varje triangel är mindre än 180˚, med parallellpostulatet,
kommer man fram till att slutsatsen för båda är den samma, medan dess
förklaringar är olika. Båda kommer fram till att då summan av två vinklar är
mindre än 180˚ så är dessa vinklar i en triangel. [1]
Enlig Khayyam ansåg Euklides att filosofi och definitionen av en rät linje,
samt vinkeln mellan två räta linjer var tillräckliga för att bevisa
parallellpostulatet. [1]
3.2.3 Alternativa bevis för några av Euklides propositioner
Khayyam har strukit över parallellpostulatet och bevisade de
propositionerna som behöver parallellpostulatet till argument, på ett annat
sätt. Detta kan därför vara ett bidrag till icke-euklidisk geometri. Termen
icke-euklidisk geometri beskriver både hyperbolisk - och elliptisk geometri,
som står i motsats till euklidisk geometri.
Som sagt är proposition I.29 den första propositionen i Euklides Elementa
som behövde parallellpostulatet. För bevis till denna proposition, samt de
kommande propositionerna som är baserad på denna proposition i Euklides
Elementa, behövs grundläggande definitioner av parallella linjer och
parallellpostulatet.
3.2.3.1 Propositionerna I.29 – I.36 från Euklides Elementa
Khayyam föreslår andra bevis och figurer i stället för Euklides bevis till
propositionerna I.29 – I.36 enligt den gamla versionen av Elementa som
han använde sig av. Men alla av dessa stämmer inte med dagens
Elementa.
Nedan påträffas propositionerna I.29 - I.36 från Euklides Elementa för att få
en översikt:
I proposition I.29 framgår det att [9] om en rät linje, n, skär två räta parallella
linjer, l och m, så gäller att alternatvinklarna a 1 och b 1 blir lika och
yttervinkeln a 2 och motstående inre vinkeln b 2 blir lika samt att summan av
de två vinklarna a 3 och b 3 blir lika med två räta. Förenklad kan detta
uttryckas på följande sätt: Om l och m är parallella så blir a 1 = b 1 , a 2 = b 2
samt a 3 + b 3 = 2R. Se Figur 3.5.
15