Omar Khayyams matematiska arbete

3 3 2
Om x skulle vara en positiv lösning, så skulle ekvationen x + b = bx
2 3
3 2
medföra att bx > b och x > b.
Vilket bidrar till att x < bx , samt att x < b.
Vilket är en motsägelse.
3
På liknande sätt kan det inte existera någon positiv lösning om d > b.
Emellertid garanteras inte
3 d < b att det finns någon positiv lösning.
[Däremot finns negativa lösningar.]
Khayyam noterade igen, precis som förut, att det är möjligt med ingen, en
eller två positiva lösningar, vilka beror på i hur många punkter kägelsnitten, i
detta fall en parabel och en hyperbel, skär varandra. [2]
3.1.1 Förbättring av Khayyams metod
Khayyams metod utvecklades av Tusi. Tusi indelade
tredjegradsekvationerna i några undergrupper. Han grupperade sina
ekvationer på ett annat sätt än Khayyams, för att han var intresserad av att
bestämma villkoren för de koefficienterna som bestämmer antalet lösningar
hos ekvationen.
Hans första undergrupp bestod av de ekvationerna som kunde reduceras till
3
andragradsekvationer plus ekvationen x = d . Andra undergrupp bestod
av åtta kubiska ekvationer som alltid har minst en positiv lösning. Den tredje
undergruppen bestod av de ekvationerna som är möjligt att ha positiva
lösningar beroende på koefficienters särskilda värde.
3
2
Tusi betraktade ekvationen x + d = bx , analytisk, och började med att skriva
2
ekvationen på formen x ( b − x ) = d . Han noterade att ekvationen har
en lösning beroende på om funktionen f ( x)
= x
2 ( b − x)
når värdet d eller
inte.
Det vill säga han var tvungen att betrakta maximala värden för
2
2b
ekvationen x ( b − x ).
Han hävdade att värdet x
0
= gav det maximala
3
värdet till ekvationen f ( x)
= x
2 ( b − x)
, för x mellan noll och b. [Det kan
jämföras med derivata i den moderna matematik]. Därmed blir
2
3
2 ⎛ 2b
⎞ b 4b
x ( b − x) ≤ ⎜ ⎟ = för 0 ≤ x ≤ b.
Han anger dock inte varför han
⎝ 3 ⎠ 3 27
valt just detta x 0 . Möjligtvis gissade han detta från Elementa VI.28, där
b
x = anskaffades det maximala värdet för uttrycket x( b − x) eller från
2
Arkimedes fjärde problem, På sfär och cylinder II, ett problem som innefattar
2
en kubikekvation som liknar följande, f ( x)
= x ( b − x).
Där har också
föreslagits att han har antagit detta maximum genom att ta hänsyn till
f x − f y > för både y < x och
villkoren på parametern x, för vilket ( ) ( ) 0
11