Omar Khayyams matematiska arbete

Omar Khayyams matematiska arbete
Fatemeh Parnian
U.U.D.M HPM-Project Report 2006:1
Examensarbete i matematik, 20 poäng
Handledare och examinator: Staffan Rodhe
Juni 2006
Department of Mathematics
Uppsala University

Omar Khayyams matematiska arbete
Fatemeh Parnian
Förord
Målet med detta examensarbete är att få förståelse för Khayyams arbete
inom matematik. För att få en så bra förståelse som möjligt använde jag mig
av hans verk på persiska, vilket är en direkt översättning från hans verk som
skrevs på arabiska. Utöver dessa verk använde jag mig mest av persiska
källor, böcker samt Internet sidor, eftersom det inte finns mycket om
Khayyams liv som matematiker på svenska eller engelska.
Uppsala den 31 maj 2006
Tack
Först och främst vill jag yttra min tacksamhet åt min examinator Staffan
Rodhe för hans goda förslag och för att han trodde på mig.
Jag skulle även tacka Thomas Erlandsson för de goda diskussioner vi haft.
Slutligen vill jag tacka Saeed Hashemi för hans support och för att han
bistod med nödvändigt material.

Sammanfattning
Under 1000-talet föddes en man i Neyshabur, Iran, han kom att bli
matematiker, astronom, filosof och poet under sin livstid.
Boken al-Jabr w’al-muqabala är hans välkända verk i matematik.
En av hans största meriter är hans kalender, som är världens noggrannaste
än idag. Denna man hette Abu al-Fath ibn-e-Ibrahim, Omar Khayyam.
I detta arbete går jag det inte mycket in på Khayyams olika verk och resultat
inom de olika ämnena, utan det har fokuserats på delar av hans bok
Mosaderat-e-hendesah-e-eqlidos. Där har han tagit upp ämnen som t.ex.
parallellpostulatet och har diskuterat om detta postulat verkligen behövs för
att bevisa satser i Euklides Elementa. Han har även kritiserat Euklides
teorier om proportionalitet och förhållanden, m.m.
Summary
In the 11:th century a man was born in Neyshabu, Iran, he became a
mathematician, astronomer, philosopher and a poet throughout his lifetime.
Al-Jabr w’al-muqabala is his most famous epistle in the mathematics.
One of his principal achievements is the solar calendar, one of the most
accurate calendars in the world even today. This man was later to be known
as Abu al-Fath ibn-e-Ibrahim, Omar Khayyam.
The focus of this thesis will not be on Khayyams different work and result
within his subjects, it will instead focus on his book Mosaderat-e-hendesahe-eqlidos.
Within he has brought up subjects like parallelpostulat and
discussed the issue if it should be used to prove theorems within Euklides
Elementa. Khayyam has also criticized Euklides theories within proportions
and ratio, etc.

Innehållsförteckning
1. Inledning............................................................................................... 2
1.1 Bakgrund ...................................................................................................2
1.2 Syfte ..........................................................................................................2
1.3 Material......................................................................................................3
2. Historia.................................................................................................. 4
2.1 Khayyams biografi.....................................................................................4
2.2 Khayyams arbete om astronomi och musik...............................................5
2.2.1 Jalali/Persiska kalendern ....................................................................5
2.2.2 Musikboken.........................................................................................6
2.3 Rubaiyat ....................................................................................................7
3. Khayyams matematiska arbete .......................................................... 7
3.1 Lösning av tredjegradsekvationen.............................................................9
3.1.1 Förbättring av Khayyams metod .......................................................11
3.2 Kommentarer på Euklides Elementa .......................................................12
3.2.1 Några ytterligare kommentatorer av Euklides Elementa...................12
3.2.2 Khayyams uppfattningar om parallellpostulatet ................................13
3.2.3 Alternativa bevis för några av Euklides propositioner .......................15
3.2.3.1 Propositionerna I.29 – I.36 från Euklides Elementa....................15
3.2.3.2 Parallellkonstruerade linjers proposition.....................................18
3.2.3.3 Khayyams bevis och figur till proposition I.29.............................18
3.2.3.4 Khayyams bevis och figur till proposition I.30.............................19
3.2.3.5 Khayyams bevis och figur till proposition I.33.............................20
3.2.3.6 Propositioner som saknas i Elementa ........................................20
3.2.3.6.1 Bevis till före detta proposition I.29 ......................................21
3.2.3.6.2 Bevis till före detta proposition I.31 ......................................21
3.2.3.6.3 Bevis till före detta proposition I.33 ......................................25
3.2.3.6.4 Bevis till före detta proposition I.34 ......................................26
3.2.3.6.5 Bevis till före detta proposition I.36 ......................................27
3.2.4 Förslag om postulaten i Euklides Elementa......................................27
4. Slutsatser............................................................................................ 30
5. Referenser .......................................................................................... 31
6. Bilagor................................................................................................. 32
Bilaga A.........................................................................................................32
Bilaga B.........................................................................................................33
Bilaga C.........................................................................................................34

1. Inledning
1.1 Bakgrund
Enligt logikernas analyser (allmänna logiker) delas varje vetenskap eller
teknik upp i tre principer: [1]
1. Ämne
2. Problem
3. Grund
Ämne: varje problem som skapas i matematik handlar om aritmetik, eller
geometri. Aritmetik handlar om räkning och dess bearbetning medan
geometrin behandlar linjer, areor, volymer mm.
Problem: satser vilka formuleras och bevisas i själva vetenskapen.
Propositionen som säger att tre vinklar i en triangel är lika med två räta är
ett exempel till problem.
Grund: Huvudfrågor som är fastställda i ett vetenskaps område delas upp i
två underrubriker, imaginära– och fastställande grunder. Imaginära grunder
som krävs att man relaterar till dem innan man börja använda satser eller
propositioner. Fastställande grunder delas själv i två delar, första är de
satser vilka är uppenbara och inte behöver bevis medan de andra är de
satser som bör bevisas 1 .
Förr ingick grundbegrepp, mellanliggandenivå och ”the almagest”, den
högsta nivån, i matematiken. Alla problem i geometrin följde grundbegrepp.
Euklides Elementa och aritmetik är en viktig del av denna nivå.
Mellanliggandenivån innehåller en mängd matematiska riktningar av vilka
man kan ange tetraeder, kägelsnitt, rörande klot, vyer, musik mm. Kanske
det behöver förklaras att musik då räknades som en del av matematiken.
Den högsta nivån är förbunden till astronomiska problem som alla tekniker i
grundbegrepp och grundbegrepp används. [1]
1.2 Syfte
Syftet med denna arbetsuppgift är:
− Att undersöka Khayyams verk i matematik samt hans biografi.
Därtill att ge en uppfattning om hans verksamhet i andra ämnen som
astronomi, musik och poesi.
− Att undersöka Khayyams teorier som bidragit till att lösa
tredjegradsekvationer.
1 Problem ingår i grund eftersom problem måste bevisas enligt grund.
2

− Att studera Khayyams teorier och hans uppfattningar om Euklides
Elementa.
Khayyams utredningar handlar om parallellpostulatet i Euklides Elementa
bok I och proportionalitet och förhållanden bok V respektive i bok VI. Denna
arbetsuppgift avgränsas till att fokusera på Khayyams förklarande
anmärkningar till parallellpostulatet som till alternativa bevis ledde på
propositioner i Euklides Elementa, bok I vilka behöver parallellpostulatet
som direkt eller indirekt argument. [1]
Khayyam anser att postulat/axiom bör läggas till Euklides Elementa och i
den här uppgiften presenteras några av de viktigaste av dessa. [1]
1.3 Material
Huvudlitteraturen som har använts är en bok på persiska vilken handlar till
största delen om Khayyams åsikter och kommentarer på Euklides
Elementa. [1] Boken heter Khayyami Nameh vilket kan översättas till
Khayyams brev trots att Khayyam inte har skrivit boken. En del av boken är
dock en översättning av Omar Khayyams populära verk om matematik,
Sharhe-ma ashkal men mosaderate-ketabe-eqlidos 1 , som skrevs på
arabiska. Verket är känt som Mosaderat-e-hendesah-e-eqlidos eller bara
Mosaderat.
Mosaderat består av tre böcker med följande titlar:
1. Kommentarer om parallellpostulaten, Elementa bok I
2. Klargörande av proportionalitet och förhållanden och dess saklighet,
Elementa bok V
Khayyam påpekar att allt om proportionalitet i den femte boken av Euklides
Elementa är korrekt men han anser att denna bok ska utökas med den
verkliga betydelsen av proportionalitet. För att få bort denna brist tycker
Khayyam att hans forskning ska läggas till slutet av Euklides Elementa bok
V. Sidan 261 av Khayyami Nameh, Mosaderat bok två, finns som bilaga A.
3. Utforskningar om proportionalitet och allt omkring detta, Elementa
bok VI 2
Utöver proportionalitet och förhållanden pekar Khayyam i denna bok även
på musikens teori.
I slutet av verket påpekar Khayyam att det är viktiga förklaringar som han
har presenterat i detta verk. Han anser att allt som är med i de tre böckerna
bildar en bas för den geometriska vetenskapen. [1]
Termen ”mosaderat” är pluralform av ordet ”mosaderah” och dess betydelse
varierar i olika ämne. Den Iranske matematikern Tusi, Khadjeh Nasir al-Din
1 Kommentarerna om oklarheterna av Euklides Elementa
2 Bok V enligt Euklides Elementa som Khayyam använde sig av
3

Tusi (1201 – 1274), och hans efterträdare anser att termen ”mosaderat”
handlar om en del av de grundsatser i matematik vilka är uppenbara och
som inte behöver bevis. De tycker att om några postulat/axiom inte är helt
acceptabla alla matematiker. En annan tolkning av ”mosaderat” kan vara
”lysa ljus på oklarheter”. [1]
Mosaderat är skriven på gammaldags arabiska och de moderna
matematikerna kunde inte förstå vissa delar av boken på grund av språket.
Detta har bidragit till ett minskat värde av detta verk och även problem då
boken översattes från arabiska till persiska (år 1935). Dessa problem visade
sig i form av missuppfattningar och feltolkningar. [1]
Jag har mest använt mig av Khayyami Nameh och andra persiska källor.
Jag har även använt mig av kapitel 7 i boken A History of Mathematics [2].
2. Historia
2.1 Khayyams biografi
Abu al-Fath ibn-e-Ibrahim, Omar
Khayyam, föddes i Neyshapur nära
den heliga staden Mashhad belägen i
en av Irans provinser, Khorasan. [3]
Det är inte säkert när han föddes, det
varierar mellan olika källor, majoritet
av källorna anger hans födelsedatum
som 18 maj, 1048. Neyshapur var
lokaliserad längs silkesvägen och är
en av Irans äldsta städer. Staden är
grundad under Sassanidernas era,
innan islam, under Shapurs styre.
Under Khayyams tid var Neyshapur
ett vetenskapigt centrum. Idag heter
staden Neyshabur. [4]
På den tiden var Khorasan under
Seljuqis styre, vilken var
kungafamiljen från nordväst om Iran och var turktalande. Khayyam var
mycket ung då han började behärska de matematiska systemen och
filosofins metoder. Han är känd som matematiker, astronom, filosof och
poet.
Hans verk i astronomi har bidragit till den Persiska kalendern, som kallas för
Jalali kalandern och är baserad på solens rörelse. Denna kalender är
noggrannare än både Julianska och Gregorianska kalendern.
4

Han är mycket känd i västerlandet som författaren till Rubaiyat trots att han
inte ansåg som en poet. Man har även påträffat andra skrifter i hans namn
inom mekanik, hydrostatik, metrologi, musik, etc.
År 1068 flyttade Khayyam till Samarkand, en stad i nuvarande Uzbekistan,
där han började med att skriva sitt välkända verk om algebra, al-Jabr w’almuqabala.
Karta över Uzbekistan återfinnes i bilaga B.
Därifrån flyttade han till Isfahan, där han stadgade sig i 18 år. I Isfahan hade
”Malik Shah”, en av Seljuqis kungar, grundat ett observatorium, det var där
som Khayyam påbörjade sina forskningar inom astronomi och lade
grunderna för sin kommande kalender. Då ”Malik Shah” mördades uppkom
politiska problem, vilka bidrog till att Khayyam drog sig tillbaka till provinsen
Khorasan, där han bodde i flera städer. I Marv, som var ett vetenskapligt
centrum under denna tid, utförde han en del av sina viktiga arbeten.
Därefter flyttade han till Neyshabur och tillbringade resten av sitt liv där [5].
En karta över Iran där bland annat ovanstående två städer finns markerade
är bifogade som bilaga C.
Man är osäker på Khayyams dödsår, det varierar mycket mellan olika källor.
Större delen av källorna anger hans dödsdatum som 4 december, 1131.
Han dog i sin födelseort Neyshabur och begravdes i sin trädgård.
Idag är hans begravningsplats en turistattraktion. Dessutom firas den 18:e
maj, som har namngetts som Khayyams internationella dag, med festivaler
och seminarier i Iran och några andra länder. [5]
2.2 Khayyams arbete om astronomi och musik
2.2.1 Jalali/Persiska kalendern
Khayyam påbörjade sin forskning i astronomi i samarbete med andra
vetenskapsmän då han bosatte sig i Isfahan. På den tiden, ungefär 1079,
frambringade han Jalali/Persiska kalendern som är baserad på solens
rörelse och är den noggrannaste kalendern i världen hittills. [5]
Enligt denna kalender är ett år 365 dagar, 5 timmar, 48 minuter och 45
sekunder. Varje år har 12 månader, det första sex månaderna har 31 dagar,
de kommande fem månaderna har 30 dagar och den sista månaden i året
har 29 dagar. I denna kalender infaller skottår var fjärde eller femte år,
under detta år utökas den sista månaden med en dag, till 30 dagar.
Noggrannheten på Jalali kalandern är en dag på 5000 år däremot är
noggrannheten hos Gregorianska kalandern något mindre, tre dagar på
10 000 år. [5]
Skottåret beräknas på 365 dagar och 6 timmar, detta är cirka 11 minuter
mer än det verkliga året. Dessa 11 minuter läggs ihop efter 33 år och skapar
detta 360 minuter. Dessa 360 minuter, 6 timmar, är nog för att det inte ska
bli skottår det 33:e året istället för de 32:a. Dessa år kan räknas ut genom
5

att man dividerar det aktuella året med 33 och om resten av divisionen blir
1, 5, 9, 13, 17, 22, 26 eller 30 så är det skottår med 33 års villkor. En period
i denna kalender är 2820 år 1 .
Jalali kalendern börjar från och med år 622 som är Mohamads utvandring
från Mekka till Medina. I denna kalender år börjar den 21 mars,
vårdagjämning, vilken heter ”Nowrooz”, den nya dagen [5]. Denna kalender
används i dagsläget i Iran som den officiella årskalendern. Veckan har sju
dagar som börjar med lördag och fredag är den helgdagen.
Khayyam levde ca 427 – ca 510 enligt Persiska kalendern, vilket motsvarar
ca 1048 – ca 1131 i den Gregorianska kalendern vilken används i
västerlandet. [7]
2.2.2 Musikboken
Förr var musik ett av matematikens fyra ämnen, de övriga tre ämnena
bestod av aritmetik, geometri och astronomi. På det sättet ingick Khayyams
musikaliska arbeten hans matematiska verk. Han hade en bok om musikens
värld, viken heter Sharhe-al-moshkel men ketab-e-almusiqi 2 . I denna bok
granskade han ett annat musikaliskt verk. Man vet inte vem som var
författare till detta verk. [1]
1 http://www.iranian.com/Feb97/Features/Calendar/Calendar.shtml, 2006-05-15
2 Förklaringarna till de oklara delarna av musikboken
6

Raqem Sotoor, som var en lingvist inom grekiska och även forskare inom
den grekiska civilisationen, förmodar att det var Euklides verk om musik 1
som Khayyam hade kommenterat. [1]
Khayyams bok om musik är förkommen och bevis till att boken verkligen
hade funnits är en av hans referenser i Mosaderat, tredje boken. [1]
Idag finns det en mindre bok om musik under Khayyams namn, som
förvaras i Teherans universitetsbibliotek, vilket troligtvis är en del av den
stora musikboken. Denna bok finns enbart i arabisk upplaga och det
arabiska originalet skrevs under 1300-talet. [1]
2.3 Rubaiyat
Ordet ”rubaiyat” är arabiskt och betyder ”dikter med fyra rader”, själva boken
är däremot till största del skriven på persiska. Rubaiyat består av dikter som
i högsta grad handlar om att man ska utnyttja livet till fullo. I boken tas även
andra ämnen upp, t.ex. medicin, matematik och filosofi. Till skillnad från vad
många tror var Khayyam en troende muslim och följde de islamiska lagarna.
Han drack aldrig vin eller annan alkoholhaltig dryck under sin livstid [1].
Khayyam nämner vin och berusningar i sina dikter, men han menar aldrig
alkoholhaltiga drycker och kroppsliga berusningar, utan han syftar till ett
andligt vin och andliga berusningar.
Följande är en av Khayyams dikter på persiska taget
från Rubaiyat [6], och en översättning till svenska:
”Denna karusell, som gör oss förbryllade
Även i vår fantasi kan vi bara förstå en smula
Tänk solen som ett lyse och världen som en lykta
Vi är som stjärnbilder vilka sitter i denna karusell”
I denna dikt kan man finna ett samband mellan Khayyams astronomiska
observationer och tankar.
3. Khayyams matematiska arbete
Under medeltiden använde sig muslimska arkitekter av geometri för att
bygga och inreda moskéer och andra byggnader. Därför tog islamiska
matematikerna speciell hänsyn till geometri. Vissa av Khayyams ritningar
som har använts i byggnader finns i dagens Isfahan. [5]
1 Euklides skrev ett verk om musik, detta har nämnts i al - Fehrest av Ben Nadym som är skriven i
början av första årtusendet.
7

Figur 3.1: Isfahan, Naqsh-e-Jahans torg
Khayyam var den första matematikern som lyckades lösa
tredjegradsekvationer genom att studera skärningen mellan en hyperbel och
en parabel [5]. Han grupperade första-, andra- och tredjegradsekvationer på
ett lysande sätt. Han använde både geometriska och numeriska metoder för
att lösa första- och andragradsekvationer, medan för lösning av
tredjegradsekvationer använde han bara geometri. Ett problem som
uppstod vid lösning av tredjegradsekvationer var att de negativa talen inte
var definierade, därför tog han inte hänsyn till de negativa lösningarna.
Vissa anser att Pascals triangel ska kallas för Khayyams triangel. Detta
beror på att en av Khayyams centrala insatser inom algebra handlade om
binomial teoremet [8].
Binomial teoremet är en metod för att uttrycka potenser i form av summor.
Andra potensen av a+b blir (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 och tredje potensen av
den samma blir (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3b 2 a + b 3 etc. Utvecklingen av dessa
summor representeras i Khayyams triangel som i tabellen nedan.
Förutom Mosaderat, skrev Khayyam en del förklaringar och även
kommentarer till andra matematikers kommentarer om Euklides Elementa.
[1]
8

3.1 Lösning av tredjegradsekvationen
När Khayyam påbörjade sitt arbete om matematik fanns det inte någon klar
gräns mellan aritmetik och algebra. Båda var redskap för att finna värden på
okända tal, genom att relatera dem till kända tal. Khayyam avgränsade
officiellt algebran som användning på ekvationer för att finna obekanta tal,
med hjälp av fullständiga polynom.
Oavsett Khayyam löste tredjegradsekvationer bara med hjälp av
geometriska bilder och inte använde algebraiska symboler kan vi med
hänsyn till dagens matematiska teorier och min källa undersöka de teoriskt.
Till skillnad från grekerna tog han även hänsyn till de irrationella talen. Det
exklusiva i hans insats var dock att han delade in ekvationerna i 25 olika
typer, till skillnad från Khwarizmis (780 – 850) sex grupper.
För att lösa tredjegradsekvationer använde Khayyam 14 av dessa 25 typer
vilka inte kunde reduceras till andragrads eller linjära ekvationer. De 14 olika
typerna av ekvationerna är följande:
En ekvation med två termer x 3 = d.
Sex ekvationer med tre termer:
3
x + cx = d , (i)
3
x + d = cx
3
x = cx + d
3 2
x + bx = d
3
x + d =
bx
3 2
x = bx + d
2
Och sju ekvationer med fyra termer:
3 2
x + bx + cx = d
3 2
x + bx + d = cx
3
x + cx + d =
bx
3 2
x = bx + cx + d
3 2
x + bx = cx + d
3
2
x + cx = bx + d
3
2
x + d = bx + cx
2
I dessa metoder ingick nya algoritmer som byggde på de så kallade
kägelsnitten. Dessa kägelsnitt representeras av andragradsekvationer som
9

står för geometriska figurer i form av cirkel, ellips, parabel eller hyperbel.
Khayyam använde sig endast av geometri för att lösa dessa problem.
3
Här ska vi diskutera Khayyams lösning till (i), x + cx = d.
Den obekanta
variabeln i ekvationen är x. Variablerna c och d är allmänna positiva tal. För
3 2 2
att kunna lösa ekvationen skriver vi den först på formen x + A x = A B , där
2
A = c och B = d c.
Därefter ritar vi en cirkel och en parabel som beskrivs
av
x 2 + y
2
2
= Bx respektive x = Ay , se figur 3.2.
I och med det har vi skapat ett ekvationssystem med två obekanta, ’x’ och
’y’, istället för den ursprungliga tredjegradsekvationen. Genom
skärningspunkterna för dessa ekvationers kurvor bestämde Khayyam
lösningarna till det andra ekvationssystemet. Skärningspunkterna ger
lösningarna till den ursprungliga tredjegradsekvationen.
Han noterade att denna parabel och cirkeln alltid skär varandra i en punkt
förutom (0,0), origo.
Således speglade Khayyams anmärkning det moderna påståendet som
3
säger att ekvationen x + cx = d alltid har precis en positiv lösning.
Khayyam resonerade på liknande sätt då han löste alla de 14 olika typer av
ekvationerna. Han tog hänsyn till skärningspunkterna mellan de
geometriska figurerna för att hitta positiva lösningar.
Enligt Khayyam finns det ingen, en eller två positiva lösningar till en
tredjegradsekvation, beroende på om kägelsnitten inte skär eller skär på en
eller två punkter.
En av Khayyams misslyckande ekvationerna i den analytiska delen är
3
2
ekvationen x + cx = bx + d , där han inte upptäckte den tredje möjliga
lösningen trots att han kunde få detta med hjälp av kägelsnittens
kombination.
Dock när han framställer existensen av en eller två positiva lösningar, t ex i
3
2
fallet med ekvationen x + d = bx , är detta begränsat. I denna ekvation
noterade han att om
3 d = b så existerar det ingen positiv lösning.
10

3 3 2
Om x skulle vara en positiv lösning, så skulle ekvationen x + b = bx
2 3
3 2
medföra att bx > b och x > b.
Vilket bidrar till att x < bx , samt att x < b.
Vilket är en motsägelse.
3
På liknande sätt kan det inte existera någon positiv lösning om d > b.
Emellertid garanteras inte
3 d < b att det finns någon positiv lösning.
[Däremot finns negativa lösningar.]
Khayyam noterade igen, precis som förut, att det är möjligt med ingen, en
eller två positiva lösningar, vilka beror på i hur många punkter kägelsnitten, i
detta fall en parabel och en hyperbel, skär varandra. [2]
3.1.1 Förbättring av Khayyams metod
Khayyams metod utvecklades av Tusi. Tusi indelade
tredjegradsekvationerna i några undergrupper. Han grupperade sina
ekvationer på ett annat sätt än Khayyams, för att han var intresserad av att
bestämma villkoren för de koefficienterna som bestämmer antalet lösningar
hos ekvationen.
Hans första undergrupp bestod av de ekvationerna som kunde reduceras till
3
andragradsekvationer plus ekvationen x = d . Andra undergrupp bestod
av åtta kubiska ekvationer som alltid har minst en positiv lösning. Den tredje
undergruppen bestod av de ekvationerna som är möjligt att ha positiva
lösningar beroende på koefficienters särskilda värde.
3
2
Tusi betraktade ekvationen x + d = bx , analytisk, och började med att skriva
2
ekvationen på formen x ( b − x ) = d . Han noterade att ekvationen har
en lösning beroende på om funktionen f ( x)
= x
2 ( b − x)
når värdet d eller
inte.
Det vill säga han var tvungen att betrakta maximala värden för
2
2b
ekvationen x ( b − x ).
Han hävdade att värdet x
0
= gav det maximala
3
värdet till ekvationen f ( x)
= x
2 ( b − x)
, för x mellan noll och b. [Det kan
jämföras med derivata i den moderna matematik]. Därmed blir
2
3
2 ⎛ 2b
⎞ b 4b
x ( b − x) ≤ ⎜ ⎟ = för 0 ≤ x ≤ b.
Han anger dock inte varför han
⎝ 3 ⎠ 3 27
valt just detta x 0 . Möjligtvis gissade han detta från Elementa VI.28, där
b
x = anskaffades det maximala värdet för uttrycket x( b − x) eller från
2
Arkimedes fjärde problem, På sfär och cylinder II, ett problem som innefattar
2
en kubikekvation som liknar följande, f ( x)
= x ( b − x).
Där har också
föreslagits att han har antagit detta maximum genom att ta hänsyn till
f x − f y > för både y < x och
villkoren på parametern x, för vilket ( ) ( ) 0
11

y > x. Detta villkor är att beräkna en nollpunkt för derivatan av f ( x).
Hur
som helst beräknade han detta och han gav även ett fullständigt korrekt
geometriskt bevis för att detta värde verkligen är ett maxima. [2]
3.2 Kommentarer på Euklides Elementa
Euklides Elementa består av 13 böcker eller kapital. Böckerna I – VI,
innehåller plangeometri, VII – IX aritmetik och den tionde boken innehåller
inkommensurabla storheter. De övriga tre, XI – XIII, behandlar
rymdgeometri.
3.2.1 Några ytterligare kommentatorer av Euklides Elementa
Det var många matematiker som tog del av Euklides Elementa och skrev
små och stora böcker för att klargöra denna. Men idag finns bara ett fåtal av
dessa verk kvar, varav de mest kända är Mosaderat av Omar Khayyam, och
al-Resalah al-Shafiah av Tusi. [1]
I dessa verk, Mosaderat och al-Resalah al-Shafiah, finner man hänvisningar
till en del andra verk vars författare också har kommenterat Euklides verk.
Man finner referenser till tolv matematiker innan och en matematiker efter
Khayyams tid. Några av de var före och resten var efter år 622. De är
följande: [1]
1. Simplikios kom från Klikia, Rom. Under 600 talet rymde han till
Persian och fick asyl. Han hade en kommentarbok om Euklides
Elementa som sedan hade den översätts till arabiska. [1]
2. Apollonios kom från Alexandria, Grekland och är berömd med verket
Om koniska sektioner. Khayyam har pekat på denna bok i den tredje
boken av Mosaderat. Apollonios hade också ett verk om Euklides
Elementa som förmodligen handlade om parallellpostulatet. [1]
3. Heron Kom även från Alexandria, Grekland och hade ett verk om
Euklides Elementa. Khayyam nämnde detta verk i Mosaderat som
om han själv hade läst boken. Då kan vi anse att verket hade funnits
under Khayyams tid. [1]
4. Autolykos kom från Grekland och är känd som författare till Det
rörliga klotet. Han hade även en bok om Euklides Elementa. Från
Mosaderat får man att varken Heron eller Autolykos inte hade öppnat
diskussioner om parallellpostulatet i sina verk. Khayyam menar att
lösningar av oklarheterna i parallellpostulatet är så svåra att de inte
vågade ta upp dessa. [1]
5. Johanna al-Qasi var matematiker samt litterär översättare från
grekiska till arabiska efter år 621. Han hade ett verk om
parallellpostulatets oklarheter. Det anses att verket hade existerat
åtminstone till 1300 talet. Anledning till att man känner till detta verk
är de skrifter som hade skickats till Tusi av en matematiker, Alam-
12

oddin Qaysar Hanafi-e-Shami, som nämner att det finns ett verk om
parallellpostulatet under Johanna Al-Qasis namn i Sham, nuvarande
Damaskus, Syrien. [1]
6. Sabet ben Qorrah Harani (837 - 914) var en vetenskapsman och en
litterär översättare. Han hade två verk om parallellpostulatet som vi
känner till från 1300 talet. [1]
7. Abbas ben Saeed Jawhari var matematiker och en av de nio
astronomerna som hade hållit på med forskning i det observatorium
vilket Ma’moon (824 - 844) hade grundat i Baghdad, Irak. Tusi i al-
Resalah al-Shafiah anser att Jawharis verk var en undersökning,
tolkning och avpassning av hela Euklides Elementa. Kortfattat han
skapade en ny betydelse för geometrin med sitt verk. [1]
8. Khazan Khorasani hade ett verk som försökte lösa oklarheterna om
parallellpostulatet i detta verk. Khayyam har pekat på detta i
Mosaderat bok I och inte godkänt hans sätt. [1]
9. Nayrizi var vetenskapsman i matematik och astronomi och bodde
under 900 talet. Han kom från Nayriz, belägen i en av Irans
provinser, Fars. Khayyam har nämnt hans verk om Euklides
Elementa tre gånger i Mosaderat. [1]
10. Abu Mohamad Hasan ben Vahab var matematiker som levde före
Khayyam och hade skrivit en kommentarbok om proportionalitet och
förhållanden i Euklides Elementa bok V. [1]
11. Bashti eller Basti har Khayyam talat om i samma grupp med
Khazan, Nayrizi och de andra matematiker som hade handlingar om
Euklides Elementa. Men man vet inte så mycket om honom. [1]
12. Ibn-e-Hitham var känd under medeltiden i västerlandet som al-
Hazen. Troligtvis har de blandat hans namn med al-Khazan/Khazan
som vi nämnde i nummer åtta. Trots att de inte var samma person.
Han hade sex stora och små verk om Euklides Elementa. Både
Khayyam och Tusi har behandlat och kommenterat hans verk. [1]
13. Hesam al-Din Salar var matematiker och levde under 1200 talet, dvs.
efter Khayyams tid. Han har en bok om parallellpostulatet som
bevaras i det heliga biblioteket, Astanah-e-Rathavi, i Mashhad. [1]
3.2.2 Khayyams uppfattningar om parallellpostulatet
Under Khayyams tid var Euklides Elementa den mest grundläggande
skriften för samtliga matematiska vetenskaper, därför började Khayyam
med detta verk, bok I. Han tycker att definitioner och postulaten/axiomen i
denna bok över punkt, linjer, vinklar, ytor, cirklar etcetera inte behöver något
bevis i geometri men de ska bevisas i filosofi. På det sättet kan de anses
vara korrekta. Men när kommer han fram till parallellpostulatet upptäcker
han att detta inte kan vara ett postulat. Det måste bevisas.
13

Euklides parallellpostulat: [9] Om en rät linje, n, skär de två räta linjerna, l
och m, så att summan av vinklarna a och b blir mindre än två räta, då är
linjerna l och m inte parallella och om de utdrages tillräckligt långt skär de
räta linjerna varandra på den sida vilken a + b < 2R. Där R är 90 graders
vinkel, se Figur 3.3.
Khayyams åsikter om parallellpostulatet:
Det är uppenbart att om a + b ≥ 2R kommer linjerna l och m aldrig att
skära varandra. Antingen är de parallella i enligt proposition I.28 eller så
går de isär. Euklides har nämnt Parallellpostulatet som ett postulat, ett
postulat/axiom är satser vilka är uppenbara och inte behöver bevis eller
så är de en grundregel, som har bevisats i andra ämnen än geometri, till
exempel i filosofi, medan Parallellpostulatet måste bevisas. [1]
Den första propositionen som behöver parallellpostulatet är proposition
I.29 så det skulle ha bevisats före denna proposition. Men det finns bara
propositionerna I.17 och I.28 som har förklarats och bevisats förre, vilka
är de på motsatt sätt. [1]
Euklides Propositionen I.28: [9] Om en rät linje, n, skär två räta linjer, l och
m, så att yttervinkeln, a 1 , och motstående inre vinkel, b 1 , blir lika eller
summan av de två vinklarna a 2 och b 2 blir lika med två räta så är l och m
parallella. Med andra ord: Om a 1 = b 1 eller a 2 +b 2 = 2R så l och m är
parallella. R är en rät vinkel, se figur 3.4.
Khayyam anser att Euklides Elementa inte är kritiklös på grund av att
Euklides har nämnt parallellpostulatet som ett axiom, medan proposition
14

I.17 är en proposition som måste bevisas. Tusi har utvecklat detta i al-
Resalah al-Shafiah. [1]
Vid jämförelse med proposition I.17, som säger att summan av två vinklar
vilka som helst i varje triangel är mindre än 180˚, med parallellpostulatet,
kommer man fram till att slutsatsen för båda är den samma, medan dess
förklaringar är olika. Båda kommer fram till att då summan av två vinklar är
mindre än 180˚ så är dessa vinklar i en triangel. [1]
Enlig Khayyam ansåg Euklides att filosofi och definitionen av en rät linje,
samt vinkeln mellan två räta linjer var tillräckliga för att bevisa
parallellpostulatet. [1]
3.2.3 Alternativa bevis för några av Euklides propositioner
Khayyam har strukit över parallellpostulatet och bevisade de
propositionerna som behöver parallellpostulatet till argument, på ett annat
sätt. Detta kan därför vara ett bidrag till icke-euklidisk geometri. Termen
icke-euklidisk geometri beskriver både hyperbolisk - och elliptisk geometri,
som står i motsats till euklidisk geometri.
Som sagt är proposition I.29 den första propositionen i Euklides Elementa
som behövde parallellpostulatet. För bevis till denna proposition, samt de
kommande propositionerna som är baserad på denna proposition i Euklides
Elementa, behövs grundläggande definitioner av parallella linjer och
parallellpostulatet.
3.2.3.1 Propositionerna I.29 – I.36 från Euklides Elementa
Khayyam föreslår andra bevis och figurer i stället för Euklides bevis till
propositionerna I.29 – I.36 enligt den gamla versionen av Elementa som
han använde sig av. Men alla av dessa stämmer inte med dagens
Elementa.
Nedan påträffas propositionerna I.29 - I.36 från Euklides Elementa för att få
en översikt:
I proposition I.29 framgår det att [9] om en rät linje, n, skär två räta parallella
linjer, l och m, så gäller att alternatvinklarna a 1 och b 1 blir lika och
yttervinkeln a 2 och motstående inre vinkeln b 2 blir lika samt att summan av
de två vinklarna a 3 och b 3 blir lika med två räta. Förenklad kan detta
uttryckas på följande sätt: Om l och m är parallella så blir a 1 = b 1 , a 2 = b 2
samt a 3 + b 3 = 2R. Se Figur 3.5.
15

Proposition I.30: [9] Om två räta linjer, l och n, är parallella med en tredje rät
linje, m, så är linjerna l och n också parallella. Se figur 3.6.
Proposition I.31: [9] Hur kan man konstruera en rät linje, n, genom en given
punkt, P, parallell till en given rät linje, m Se figur 3.7.
Denna sats är faktiskt ett problem, satser vilka formuleras och bevisas i
själva vetenskapen, som vi har förklarad i inledningen.
Proposition I.32: [9] I varje triangel är en yttre vinkel lika med summan av de
båda inre motstående vinklarna samt därtill är triangelns vinklar tillsammans
två räta. Se figur 3.8.
16

Proposition I.33: [9] Två räta linjer, AC och BD, som sammanbinder änderna
på två parallella och lika långa räta linjer, AB och CD, är själva parallella och
lika. Se figur 3. 9.
Proposition I.34: [9] I parallellogrammer är motstående sidor och vinklar lika
och diametern delar ytan itu. Se figur 3.10.
Proposition I.35: [9] Parallellogrammer som står på samma bas och ligger
mellan samma parallella linjer är lika. Se figur 3.11.
Proposition I.36: [9] parallellogrammer som har lika stora baser och ligger
mellan samma parallella linjer är lika. Se figur 3.12.
17

3.2.3.2 Parallellkonstruerade linjers proposition
För beviset till några av följande propositioner använde Khayyam en
proposition från ingenjörer som levde före
honom.
Denna proposition säger att när från
ändpunkterna av en rät linje, BD, ritas två räta
linjer, m och l, så att de bildar två räta vinklar i
punkterna B respektive D och om man väljer
lika långa linjer, AB och CD, på de två vertikala
linjerna, m och l, och avståndet mellan de inte
ändras så kallas de två vertikala linjerna, m
och l, för linjer som konstruerats parallella. [1]
Se figur 3.13.
Vi kallar denna proposition för propositionen om parallellkonstruerade linjer.
3.2.3.3 Khayyams bevis och figur till proposition I.29
För att bevisa proposition I.29 enligt dagens tolkning av Elementa
(proposition I.35 enligt den gamla Elementa) använde Khayyam sig av
figurerna från propositionerna I.29 och I.31 (enligt den gamla Elementa).
Khayyam lät två räta linjer, l och m, vara parallella
och en tredje rät linje, n, skära båda linjerna. Han
vill bevisa att alternativinklarna, a 1 och b, är lika
samt summan av vinklarna b och (a 2 +a 3 ) är lika
med två räta och den yttervinkeln, a 4 , och
motstående inre vinkeln, b, även är lika. Se Figur
3.14.
För beviset ritas en rät linje, BD, från punkten
B, som ligger på linjen m, vinkelrätt med linjen
l. Denna linje är alltså vinkelrätt med linjen m i
punkten B [enligt Khayyams bevis för
proposition I.33 i den gamla Elementa].
18

Det ritas en annan rät linje, AC, från punkten A, som ligger på linjen l,
vinkelrätt med linjen m och den är även vinkelrätt med linjen l i punkten
A [enligt Khayyams bevis för proposition I.33 i den gamla Elementa].
Fyrkanten ACBD har fyra räta vinklar som medför att de linjer som ligger
mot varandra blir lika. Detta medför att trianglarna ADB och ACB blir
kongruenta [sida – vinkel - sida] och vinklarna a 1 och b blir även lika som
är alternativinklar.
Alltså vinklarna a 1 och a 4 blir lika [för att (a 2 +a 3 )+a 1 = (a 2 +a 3 )+a 4 = två
räta] som leder till att vinklarna a 4 och b också blir lika. Och summan av
vinklarna a 1 och (a 2 +a 3 ) blir lika med två räta och därför summan av
vinklarna b och (a 2 +a 3 ) blir även lika med två räta. Vilket skulle visas. [1]
3.2.3.4 Khayyams bevis och figur till proposition I.30
Khayyams andra figur med teori och bevis ger ett bevis utan
parallellpostulatet för Euklides proposition I.30 som följer i det följande.
Denna proposition stämmer med dagens tolkning av Elementa.
Låt två räta linjer, AB och AC, vara vinkelräta mot varandra och dra även
en tredje rät linje, BD, vinkelrät mot AB samt lika med AC. Se figur 3.15.
Enligt proposition I.27 1 i Euklides Elementa är därmed de räta linjerna
AC och BD parallella.
Därefter skapas en rät linje EF vinkelrät i punkten E som ligger mitt på
den räta linjen AB. Och ska bevisas att CF är lika med DF och den räta
linjen EF är vinkelrät mot DC.
För beviset konstrueras de två räta linjerna EC samt ED genom punkten
E. Trianglarna CAE och DBE blir därmed kongruenta eftersom de räta
linjerna AC och BD är lika, vinklarna a och b är räta och AE är lika med
BE, [sida – vinkel – sida].
1 Lika alternatvinklar ger parallella räta linjer
19

Detta medför att hypotenusorna EC och ED samt vinklarna e 2 och e 3 är
lika. Detta medger att vinklarna e 1 och e 4 blir lika och därpå trianglarna
EFC och EFD blir kongruenta eftersom EC är lika med ED, EF är
gemensam i båda trianglar och vinklarna e 1 och e 4 är lika, [sida – vinkel
– sida].
Detta medför att CF är lika med DF och vinklarna f 1 och f 2 är lika och
räta, vilket skulle visas. [1]
3.2.3.5 Khayyams bevis och figur till proposition I.33
För att bevisa proposition I.33 enligt dagens tolkning av Euklides Elementa
(proposition I.32 enligt den gamla Elementa) skissar Khayyam en fyrkantig
figur med fyra räta vinklar och bevisar att de räta linjerna AC och BD
respektive AB och CD är lika. Se figur 3.16.
Khayyam bevisar detta med en motsägelse:
Om AC och BD inte är lika bör en av dem vara längre än den andra. Låt
BD vara längre, låt då BE vara lika med AC och rita den räta linjen CE.
Då är vinklarna e 1 och c 1 lika [enligt Khayyams bevis till proposition I.29 i
den gamla Elementa]. Men vi vet att vinkeln c 1 är mindre än en rät
[eftersom c 1 är en del av en rät vinkel] och vinkeln e 1 är större än en rät,
på grund av att e 1 är yttervinkel för triangeln CDE och den [enligt
proposition I.16 1 ] är större än innervinkeln d som är en rät.
Detta är en motsägelse. Således blir de räta linjerna AC och BD lika.
[Man kan visa för linjerna AB och CD på liknande sätt]. Vilket skulle
visas. [1]
3.2.3.6 Propositioner som saknas i Elementa
Propositionerna I.29, I.31, I.33, I.34 och I.36 som Khayyam har bevisat
(enligt den Euklides Elementa som Khayyam använde sig av) är idag borta
från Elementa.
1 En yttervinkel i en triangel är större än var och en av de motstående innervinklarna.
20

3.2.3.6.1 Bevis till före detta proposition I.29
Nedan följer Khayyams bevis och figur till proposition I.29 enligt den gamla
Elementa.
Låt två räta linjer, AB och AC, vara vinkelräta mot varandra och rita även
en rät linje, BD, vinkelrät mot AB samt lika med AC. Se figur 3.17.
Enligt proposition I.27 i Euklides Elementa är därmed de räta linjerna AC
och BD parallella. [Möjligen menar Khayyam proposition I.28 i
nuvarande Elementa]
Därefter dras den räta linjen DC. Då ska bevisas att vinklarna ACD och
BDC är lika.
För beviset dras de båda diagonalerna AD och BC. Trianglarna ABD och
BAC blir därmed kongruenta eftersom de räta linjerna AC och BD är lika,
vinklarna BAC och ABD är räta och AB är gemensam båda trianglarna,
[enligt första kongruensfallet, sida – vinkel – sida].
Detta medför att de linjerna AD och BC är lika och de övriga vinklarna i
dessa trianglar är också lika. Detta medför att vinklarna a 2 och b 2 samt
de räta linjerna AE och EB är lika, [enligt basvinkelsatsens omvändning].
Även de återstående räta linjerna CE och ED är lika och vinklarna c 2 och
d 2 är därför lika, [enligt basvinkelsatsen]. Eftersom vinklarna c 1 och d 1 är
lika [enligt kongruensen] så är då också vinklarna ACD och BDC lika.
Vilket skulle bevisas.
Detta innebär att om vinklarna BAC och ABD är lika och de räta linjerna
AC och BD också är lika, oavsett storleken på dessa, kommer vinklarna
ACD och BDC också att vara lika. [1]
3.2.3.6.2 Bevis till före detta proposition I.31
Khayyams tredje antagande och bevis med figur är ett alternativt bevis till
Euklides proposition I.31 (enligt den gamla Elementa som Khayyam
använde sig av).
21

Här skissar Khayyam samma fyrhörning ABCD, som tidigare, men denna
gång vill han bevisa att vinklarna ACD och BDC är vinkelräta. Se figur 3.18.
För detta bevis drogs en rät linje EF vinkelrätt genom punkten E,
mittpunkten på den räta linjen AB. Därefter förlängs EF så att den räta
linjen FG skapas. [Genom punkten G ska ritas en rät linje parallell och
lika med linjerna AB och CD].
Låt linjerna EF och FG vara lika långa. Sedan dras en rät linje, HI,
genom punkten G, vinkelrätt med linjen FG. Därpå förlängs de räta och
parallella linjerna, AC och BD, så att de skär den räta linjen, HI, i
punkterna H respektive I.
Om de räta linjerna AC och EG samt GH och DC förlängs, kommer
avståndet mellan dessa aldrig att ändras, eftersom de är parallella.
Om vi förlänger AC och GH, som är parallella med EG respektive DC,
kommer dessa att skära varandra. Därefter ritas de räta linjerna CG och
DG. [Enligt kongruensfallet, sida – vinkel – sida, kommer trianglarna
CFG och DFG att bli kongruenta, eftersom sidorna DF och FC är lika,
och sidan FG är vinkelrät mot sidan DC och gemensam i båda
trianglarna].
Detta medför att de räta linjerna DG och CG, samt vinklarna c 1 och d 1 ,
och vinklarna g 2 och g 3 är lika. [Enligt kongruensfallet, vinkel – sida –
vinkel, blir också trianglarna CHG och DIG kongruenta, därför att vinkeln
c 2 är lika med d 2 , sidan DG är lika med CG och vinklarna g 1 och g 4 är
lika.] De återstående räta linjerna IG och GH, samt DI och CH är också
lika. Även vinklarna CHG och DIG är då lika.
Om vinklarna ACD och BDC är räta är propositionen bevisad. [Eftersom
linjerna AC och BD är parallella och om vinklarna ACD och BDC är räta
kommer linjerna AB och HI vara lika och parallella.] Vid antagandet att
22

dessa vinklar är mindre än 90˚ och att ytorna CHID och ACDB är
sammanfallande, kommer de räta linjerna FG och EF samt HI och AB att
sammanfalla.
Detta bidrar till att den räta linjen HI är kongruent med den räta linjen KJ,
därför att vinkeln HCF är större än vinkeln ACF, detta medför sedan att
den räta linjen HI är större än den räta linjen AB.
Således om linjen AB förlängas på ovanstående vis oändligt många
gånger, kommer avståndet mellan linjerna AC och BD att öka, vilket är
omöjligt [under antagandet om att de räta linjerna AC och BD är
parallella]. Vilket i sin tur medför att de båda linjerna AB och HI
sammanfaller.
Detta innebär att två räta linjer skär en annan rät linje vinkelrätt,
samtidigt som avståndet mellan dem ökar, vilket är en omöjlighet enligt
definitioner av stabilitet och avståndsvillkor [som kommer i slutet av detta
arbete] vilket kan bevisas inom filosofi.
Om vinklarna ACD och BDC däremot skulle vara större än räta, kommer
HI att sammanfalla med LM. Sträckan LM är mindre än AB och systemet
kommer att bete sig likadan då det upprepas flera gånger, som förklarat
ovan. Denna gång kommer avståndet mellan de räta linjerna AC
respektive BD att minska. Vilket även är en motsägelse.
Det har visats att de två linjerna, AB och HI, inte kan vara olika till längd,
vilket bevisar att de är lika. Lika längd kommer att bidra till lika vinklar,
dvs. vinklarna ACD och BDC kommer att vara lika och 90˚. [1]
Khayyam anser att den sista delen [lika längd kommer att bidra till lika
vinklar dvs. vinklarna ACD och BDC kommer att vara lika och räta] inte
behöver bevisas och att man kan förstå logiken bakom denna med lite
funderingar. Han överlämnar beviset till någon som vill bevisa det med
matematiska metoder. Mitt bevis av denna del framgår nedan.
Bevis: Om vi bevisar att C och D är mittpunkterna på de räta linjerna AH
respektive BI, samt CD är vinkelrätt med de både linjerna så med hänsyn till
Khayyams bevis till propositionerna I.29 (enligt den gamla Elementa) och
I.30 är beviset klart. Se Figur 3.19.
De två räta linjerna, AF och FH, ritas. Det har visats att vinklarna h (=h 1 +h 2 )
och i samt sidorna DI och CH är lika därmed enligt Khayyams alternativ till
propositionen I.29 blir vinklarna c 2 och d 2 lika.
Vi hade även att de räta linjerna AC och BD är lika och parallella. Detta
medför att linjerna AH och BI blir lika, och därmed enligt samma proposition
blir vinklarna a (=a 1 +a 2 ) och b även lika. Detta bidrar till att vinklarna c 1 och
d 1 blir lika.
23

Det har även visats att linjerna IG och GH samt AB och HI är lika och
linjerna AE och BE var lika från början. Detta medför att sidorna IG, BE, AE
och GH blir lika.
Då blir trianglarna AEF och FGH kongruenta enligt kongruensfallet, sida –
vinkel – sida, eftersom sidorna EF och FG samt AE och GH är lika och
vinken e 1 och g 1 är räta.
Därefter fås att sidorna AF med FH samt vinklarna a 1 lika med h 1 och f 1 är
lika med f 4 . Därmed är trianglarna ACF och FCH kongruenta enligt
kongruensfallet, sida – vinkel – sida. Därför är sidorna AF och FH lika och
sidan FC är gemensam i båda trianglarna och vinklarna f 3 och f 2 är lika.
Slutligen får vi att vinklarna c 1 och c 2 blir lika och räta samt sidorna AC och
CH blir kongruenta. Det har visats förut att vinklarna c 1 och d 1 och sidorna
BD och DI är lika. Alltså är antaganden bevisade.
3.2.3.6.3 Bevis till före detta proposition I.33
Khayyam bevisar proposition I.33 (enligt den gamla Euklides Elementa som
han använde sig av) genom att använda propositionen om
parallellkonstruerade linjer, som vi har nämnt förut.
Han låter två räta linjer, AB och CD, vara
parallellkonstruerade därför fås att vinklarna b
och d blir räta.
Därefter vill han bevisa att varje rät linje som
ritas vinkelrätt med en av de räta linjerna AB
eller CD blir även vinkelrät med den andra. Se
figur 3.21.
Khayyams bevis:
Från punkt E ritas den räta linjen EF
vinkelrätt med CD. Vi antar att vinkeln e blir
en rät. På grund av att de två räta parallella
25

linjerna AB och CD skapades med hjälp av den räta linjen, BD, [enligt
propositionen om parallellkonstruerade linjer].
Om BE och DF blir lika medför det att vinkeln e blir en rät med hänsyn till
Khayyams bevis till propositionerna I.29 (enligt den gamla Elementa).
Om en av de räta linjerna BE eller DF är större än den andra [låt BE vara
större än DF] tas en punkt, G, på BE så att de räta linjerna BG och DF
blir lika och den räta linjen FG ritas. Följaktligen blir den räta vinkeln g
lika med vinkeln f 1 som är mindre än en rät vilket är en motsägelse.
Därifrån får vi att räta linjerna BE och DF blir lika och vinkeln e blir en rät.
Vilket skulle visas. [1]
3.2.3.6.4 Bevis till före detta proposition I.34
För bevis till denna proposition utan parallellpostulatet påminner Khayyam
om definitionen av parallella linjer, Euklides Elementa bok I, definition 23.
Denna definition säger att parallella räta linjer är räta linjer i samma plan så
att om de utdras i bägge riktningarna så möts de aldrig.
Khayyam förklarar att om två räta linjer enligt Euklides definition är parallella
utan något annat villkor är de även parallellkonstruerade.
Han bevisar proposition I.34 (enligt den gamla Elementa som Khayyam
använde sig av) med ett exempel:
Låt de två räta linjerna, AB och CD, vara parallella och bevisa att de är
också parallellkonstruerade. Se figur 3.22.
Välj punkten E på den räta linjen, AB, och
rita EF vinkelrätt med CD.
Om vinkeln BEF är en rät och i så fall att de
räta linjerna AB och CD blir väl
parallellkonstruerade. Annars kan den räta
linjen EG ritas vinkelrätt med EF och då blir
räta linjerna GH och CD
parallellkonstruerade och de räta linjerna
AB och GH skär varandra i punkten E.
Avståndet mellan de räta linjerna, EG och
EA, ökas därmed hela tiden medan
avståndet mellan EH och CF inte ändras.
Detta medför en motsägelse.
Det är omöjligt att avståndet mellan EA och EG blir större än EF som är
avståndet mellan två parallellkonstruerade linjer. Alltså skär linjen EA
linjen CF trots att de hade antagits vara parallella. Detta är en
motsägelse.
Detta leder till att vinkeln AEF är en rät och därmed att linjerna AB och
CD är parallellkonstruerade. Vilket skulle bevisas. [1]
26

3.2.3.6.5 Bevis till före detta proposition I.36
För att bevisa proposition I.36 (enligt den gamla Elementa som Khayyam
använde sig av) utan parallellpostulatet drar Khayyam två räta linjer, EA och
FC, från en rät linje, EF, så att summan av två vinklar, e 2 och f 1 blir mindre
än två räta. Sedan vill Khayyam bevisa att linjerna EA och FC ska skära
varandra på samma sida som punkten A ligger. Se figur 3.23.
För detta bevis förlängs de två räta linjerna, AE och CF, från punkterna
E respektive F åt det hållet där dessa linjer inte skär varandra, så att räta
linjerna AB och CD erhålls.
Detta medför att vinkeln e 2 är mindre än
vinkeln f 2 . Därefter väljs vinkeln e 1 , så att
summan av e 1 och e 2 blir lika med f 2 och den
räta linjen GH som passerar punkten E och har
vinkeln e 2 till AB ritas.
Således blir linjerna CD och GH parallella,
enligt proposition I.27. Detta argument och
faktum att E är en gemensam punkt till de
båda linjerna AB och GH, bidrar till att linjen
AB kommer att skära linjen CD på samma sida
som punkten A ligger. Vilket skulle visas. [1]
Khayyam säger att de åtta bevisen, i anslutning med figurerna 3.14, 3.15,
3.16, 3.17, 3.18, 3.21, 3.22 och 3.23 bör finnas med i Euklides Elementa,
istället för respektive bevis till propositionerna I.29 till och med I.36 som har
parallellpostulatet som argument.
Påminnelse: Dess ordning går efter Euklides Elementa som Khayyam
tillhörde och använde sig av.
3.2.4 Förslag om postulaten i Euklides Elementa
Khayyam anser att Euklides har bevisat propositioner som är
grundläggande och inte behöver bevisas. De skulle istället formuleras som
ett postulat/axiom. Två av dessa propositioner är följande: [1]
• III.26 [en del av propositionen]: Om mittpunktsvinklarna i två lika
stora cirklar är lika kommer bågarna som avskiljs, på cirklarnas
periferier, vara lika stora. Enligt Khayyams åsikt behöver inte detta
något bevis och detta skulle uttryckas som ett postulat/axiom. Därför
att då man har lika stora cirklar och lika stora vinklar är det uppenbart
att man får lika stora bågar. [1]
• V.7: Om två storheter, A och B, är givna och har samma förhållande
till en och samma tredje storhet, C, kommer C att ha samma
förhållande till A och B. Vilket även är uppenbart och inte kräver
något bevis, enligt Khayyam. [1]
27

Khayyam tycker även att oändligheten [enligt Euklides] bör definieras. Inom
geometri är alla storheter fastställda, därmed bör Euklides definiera vad han
menar med oändligheten då han talar om ”oändliga linjer”. [1]
Dessutom föreslog Khayyam att Euklides borde lägga till Elementa en hel
del nya postulat. Khayyam har inte tagit upp dessa i Mosaderat, han har
bara pekat på några, som är följande: [1]
1. Varje storhet kan delas upp i oändligt antal mindre delar och alla
dessa delar kan aldrig vara odelbara.
Khayyam tycker att detta kan bevisas med filosofi, men eftersom denna
regel behövs i geometri, bör detta uttryckas som ett postulat. Han tillägger
att många matematiker ville bevisa detta i geometrin men de var omedvetna
att det är omöjligt att kunna bevisa detta i geometrin. Han anser att detta
kan bevisas genom dess uppkomst. [1]
2. Då man på kanterna avlägsnar sig från skärningspunkten mellan två
linjer, ökar avståndet mellan linjerna.
Låt de räta linjerna, AB och AC, skära
varandra i punkten, A. Vi påstår då att
avståndet mellan linjerna AB och AC ökar, då
linjerna dras ut från punkten A.
Rita cirkeln, ABC, med centrum i A och radian
lika med AB. Avståndet mellan de räta linjerna,
AB och AC, är sträckan BC.
Sedan förlängs AB mot punkten D och cirkeln
ADE ritas, då den räta linjen AC förlängs och
skär den stora cirkeln i punkten E.
Slutligen ritas den räta linjen DE och det är
klart att den räta linjen DE är större än den räta linjen BC.
Khayyam tycker att det är uppenbart med fundering på definitionerna om
räta linjer, cirkeln och vinklar etcetera och det behöver inget bevis [1]. Se
figur 3.24.
3. Om avståndet mellan två linjer minskar, innebär det att de kommer
skära varandra längre fram och avståndet mellan dessa kan aldrig
öka, innan de har mötts. Det samma gäller då avståndet mellan två
linjer ökar, dvs. avståndet mellan dem kan aldrig minskas. [1]
Avståndet mellan två räta linjer utgörs av den räta linje som sammanknyter
dessa linjer så att de två inre vinklarna blir lika. [1]
Khayyam anser att något geometriskt bevis inte behövs eftersom det är
uppenbart med filosofiskt resonerande tankar. Men konstruktionen av den
räta linje som beskriver avståndet, dvs. ger lika inre vinklar, kan ske
geometriskt. [1]
28

Jag har som del av mitt examensarbete försökt konstruera detta geometriskt
vilken kommer nedan*.
Till exempel kan antas att de två räta linjerna, n och m, ligger i ett plan och
punkten A befinner sig på den räta linjen
m. Således är avståndet mellan punkten
A och den räta linjen n den räta linjen
AB och vinklarna a och b blir lika [1]. Se
Figur 3.25.
Med hjälp av geometri ska visas hur
man kan dra en rät linje från punkten A
till linjen n så att de två inre vinklarna, a
och b, blir lika. [1]
Linjen AB är avståndet eftersom det
finns oändligt många olika räta linjer som kan dras från punkten A till linjen n
vilken framkallar oändligt antal vinklar med olika storlekar och det är även
möjligt att de linjerna och/eller vinklarna blir lika med varandra. [1]
På linjen m väljs den räta linjen AC lika med den räta linjen BD på linjen n
och den räta linjen CD ritas. Därför blir vinklarna c och d lika [enligt
Khayyams bevis för proposition I.29] och linjen CD blir avståndet mellan
linjerna n och m. [1]
Om den räta linjen CD blir större än den räta linjen AB medför det att de räta
linjerna n och m går isär. [1]
På liknande sätt som ovan tar vi den räta linjen CE på den räta linjen m lika
med den räta linjen DF på den räta linjen n och den räta linjen EF ritas.
Därför blir vinklarna e och f blir lika [enligt Khayyams bevis för proposition
I.29] och linjen EF avståndet mellan linjerna n och m. [1]
Om EF blir mindre än CD medför det att n och m närmar sig samtidigt som
de går isär och det är en motsägelse. På liknande sätt är det en motsägelse
om CD och EF är lika. [1]
Om linjen CD är mindre än AB medför det att n och m närmar sig och då bör
linjen EF vara mindre än CD annars det blir en motsägelse. [1]
Det har fåtts att då två räta linjer som ligger i samma plan och närmar
varandra kan de aldrig gå isär och på liknande sätt gäller att om de går från
varandra kan de aldrig närmas. [1]
*Konstruktion: Vi drar de räta linjerna, n
och m, på det håll som de skär varandra i
punkten Q därefter väljs AQ lika med BQ
och ritas den räta linjen AB. Därefter ritas
den räta linjen, PQ, från punkten P som
ligger i mitten på AB. Då får vi två
trianglar, APQ och BPQ som blir
29

kongruenta med kongruentfallet sida – sida - sida. Detta medför att de inre
vinklarna a och b blir lika och följaktligen AB blir avståndet mellan de räta
linjerna n och m. Figur 3.26.
4. En ändlig storhet/volym kan utökas så pass mycket att den blir större
än en annan ändlig storhet/volym, oberoende av dess storlek. [1]
Som redan sagt tycker Khayyam att detta inte behöver något matematiskt
bevis och det kan bevisas filosofiskt. [1]
4. Slutsatser
Ett litet fel från början för en matematisk, geometrisk eller fysisk vetenskap
kan komma att resultera i enorma fel i slutsatserna. Euklides Elementa som
är en grund för matematik och geometri har brister och oklarheter som
måste kompletteras. Detta verk kan agera som grunden för ett annat större
referensverk, som är felfritt och lättfattat, för kommande, mer avancerade
och komplexa, geometriska och trigonometriska uttryck, formler och figurer.
Detta referensverk kan utformas efter kommentarer, propositioner och
postulat som finns i andra matematikers verk, t.ex. Khayyams Mosaderat
och Tusis al-Resalah al-Shafiah, m.fl., och även i verk som beskriver
dagens matematikers åsikter och tankar. För att uppnå detta mål, med ett
universellt referensverk, krävs det av dagens ledande matematiker att de
har en gemensam ståndpunkt och front, och även en god vilja att förbättra
det som finns. Ett annat viktigt krav som finns är att matematikerna idag
måste acceptera de gamla matematikernas åsikter och respektera deras
tankar, oberoende av deras bakgrund och dagens politiska ståndpunkter.
Alla de åtta propositioner som Khayyam har bevisat utan parallellpostulatet
är inte kvar i Euklides Elementa. Några av dessa är förkomna och de andra
har missplacerats. Bara propositionen I.30 stämmer överens med den
aktuella Elementa. Något för framtida studier är att återfinna de försvunna
propositionerna och placera dessa på deras ursprungliga plats, i Elementa.
Detta arbete kan komma att bli en start på ett matematiskt samarbete utan
gränser.
30

5. Referenser
• [1] Jalal-addin Homaioni, Khayyami Nameh, Tehran 1963
• [2] Victor Katz, A History of Mathematics, Addison-Wesley, 1998
• [3] http://www.britannica.com/eb/article-9057079, januari 2006
• [4] http://www.answers.com/topic/nishapur, januari 2006
• [5] http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/, januari 2006
• [6] http://www.okonlife.com/poems/index.htm, februari 2006
• [7] http://www.payvand.com/calendar/, januari 2006
• [8] John McLeish (översättare: Jan Wahlén), Matematikens
kulturhistoria, Forum AB, Borås 1992
• [9] http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html, februari
2006, som följer Heath version av Euklides Elementa
31

6. Bilagor
Bilaga A
32

Bilaga B
33

Bilaga C
34