Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

4
FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER
(c) Om X i är normalfördelade kan ett konfidensintervall beräknas ur
IÑAB = ¯x ± t 0.01(4)·s/ √ 5 = 100±3.75·0.19494 = (99.26958, 100.73042)
Om vi ej vet något om X utan utnyttjar CGS för att normalapproximera ¯X , så kan vi använda
IÑAB = ¯x ±Ð0.01 · s/ √ 5 = 100±2.33·0.19494 = (99.5, 100.5)
som är ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad 0.98.
(d) LåtÑBC beteckna avståndet mellan B och C. En mätning Y i =ÑBC +i störs av ett mätfeli,
där E(i) = 0, V(i) =×2 Y
. AvståndetÑAB +ÑBC uppskattas med¯x + ȳ. Då gäller att
V(¯X + Ȳ ) = V(¯X )+V(Ȳ ) = V(X i )/5+V(Y i )/3 =×2 X /5+×2 Y /3
Denna kan uppskattas med sx/5+s 2 y/3 2 = 0.43589 2 /5+0.20 2 /3 = 0.0513333. Således har
√
vi d(¯X + Ȳ ) = sx 2/5+s2 y /3 = √ 0.0513333 = 0.227.
(e) Ett konfidensintervall ges av
IÑAC = (¯x + ȳ±Ð0.01√ 0.051333) = (149.47, 150.53)
Detta intervall har en approximativ konfidensgrad av 98 %.
57.
∑
xi = 21, ∑ x 2 i = 91, ∑ y i = 213, ∑ y 2 i = 9619, ∑ x i y i = 935.
(a)
S xx = ∑ (x i −¯x) 2 = ∑ x 2 i − ( ∑ x i ) 2 /n = 91− 21 2 /6 = 17.5
S yy = ∑ (y i − ȳ) 2 = ∑ y 2 i − ( ∑ y i ) 2 /n = 9619− 213 2 /6 = 2057.5
S xy = ∑ (x i −¯x)(y i − ȳ) = ∑ x i y i − ( ∑ x i )( ∑ y i )/n = 935−21·213/6 = 189.5
∗
= S xy /S xx = 189.5/17.5 = 10.82
(b) En regressionsmodell utan intercept står inte (direkt) i formelsamlingen men en härledning av
minstakvadrat-skattningen är enkel. Minimera
n∑
Q() = (y i −x i ) 2
i=1
dQ
d= −2
∗
=
n∑
x i (y i −x i ) = −2
i=1
∑
xi y i
∑ x
2
i
= 935
91 = 10.27
n∑
x i y i − 2n∑
xi 2 = 0 =⇒
i=1
Man kan även använda matrisformuleringen som används vid multipel regression. X -matrisen
innehåller då den enda dataserien och inte någon kolumn med ettor dvs den reduceras till en
kolonn-vektor vilket ger enkla beräkningar och naturligtvis samma resultat.
71. (a) Eftersom X i = ”mängd soppa för åkare i” medÑ∗ = ¯x där n är stort så kan vi, enligt Centrala
20
gränsvärdessatsen, normalapproximera och ¯X ∈ ∼
N(Ñ, √ ). Då ges ett test av H 0 :Ñ=55
n
mot H 1 :Ñ>55 på signifikansnivån=0.05 av
Alt 1. Konfidensintervall: ”Förkasta H 0 om 55 ∉ IÑ= (¯x −Ð0.05 · 20 √ n
, ∞)”
Alt 2. Teststorhet: ”Förkasta H 0 om
¯x − 55
20/ √ n >Ð0.05”
33
i=1