Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

4
FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER
I a = (a ∗ 1
1
±Ð/2 · √ ) = (7.13±Ð0.025·
√ ) = (7.05, 7.20).
4nx + n y 4·150+100
50. (a) n = 9,¯x = 85.00, s = 6.7639
}{{}
1.96
(b)×=6,=0.02, EftersomÑ∗ = ¯X ∈ N(Ñ,×/ √ n) med×=6känd:
IÑ=¯x ±Ð/2 ·×√ n
= [Ð0.01 = 2.3263] =
= 85.00±2.3263·
6
√
9
= [80.3474, 89.6526]
(c) EftersomÑ∗ = ¯X ∈ N(Ñ,×/ √ n) där×är okänd och skattas med
s = √ ∑ (xi −¯x) 2 /(n−1):
·×
s
IÑ=¯x ± t/2(n−1)· √ = [t/2(n−1) = t 0.01 (8) = 2.90] =
n
= 85.00±2.90· 6.7639 = [78.4616, 91.5384]
3
51. Ett 90 % konfidensintervall förÑmed känt×, n 1 = 5 ges, eftersomÑ∗ = ¯X ∈ N(Ñ,×/ √ n 1 ), av
IÑ= ¯x ±Ð/2 √ = 7.08±1.6449· 0.0816 √ = [7.02, 7.14]
n1 5
Man ser att bredden på intervallet bestäms avÐ/2 ·×√ n
.
(a) Med bibehållen konfidensgrad (Ð/2) kan man få ett smalare intervall genom att öka n.
·×
Ð/2
·×
Ð2/2
·×
√ = 1
n2 2Ð/2
·×
√ ≈Ð1/2 n2
1
√
n2
=
1
√
n1
2 √ n 1
n 2 = 4n 1 = 4·5 = 20
dvs 20−5 = 15 fler mätningar.
(b) Ett 95 % konfidensintervall med ungefär samma bredd.
√
n1
Ð2/2
√
n2
≈Ð1/2
√
n1
n 2 ≈Ð2 0.025
Ð2
0.05
n 1 = 1.962
1.6449 2 · 5 ≈ 7.0991
Nu är frågan om man ska avrunda uppåt eller nedåt. Om vi tittar på intervallen:
n = 7 ¯x ± 1.96·×√
7
= [7.0196, 7.1404]
n = 8 ¯x ± 1.96·×√
8
= [7.0235, 7.1365]
Vi ser att för n = 7 blir intervallet något för brett och för n = 8 ganska mycket smalare.
52. (a) LåtÑAB beteckna avståndet mellan A och B. En mätning X i =ÑAB +i störs av ett mätfeli,
där E(i) = 0, V(i) =×2 X . De n (n = 5), mätningarna x 1 , x 2 ,...,x n ger ∑ n
∑ 1 x i = 500.0,
n
1 x2 i = 50000.76, ¯x = 100.0, s = 0.43589, s 2 = 0.19.
(b) Det gäller att V(¯X ) = V( ∑ X i )/n 2 = nV(X i )/n 2 = V(X i )/n =×2 X
/n och D(¯X ) =×X/ √ n.
×X skattas med s och vi får därför en skattning på D(¯X ) som d(¯X ) = s/ √ 5 = 0.19494
32