Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

4
FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER
(b) 5 % percentilen x 0.05 fås ur
)
ln x0.05 −Ñlnx
0.05 = P(X < x 0.05 ) =(
×lnx
⇐⇒
ln x 0.05 −Ñlnx
×lnx
= −1.6449 =⇒
x 0.05 = 1.37932
(c) Sätt Y = antal vägsträckor som kommer att behöva repareras∈ Bin(4, p a ) så att P(Y = 0) =
(1−p a ) 4 = 0.989899 4 = 0.960202
(d) P(Y = 2) = ( 4
2)
p
2
a (1−p a ) 2 = 6·0.0001 = 0.0006
(e) 1−P(X > 3) 4 = 1−(1−((ln 3−Ñlnx)/×lnx)) 4 = 1−(1−(0)) 4 = 1−0.5 4 = 0.9375.
(f) Låt T vara livslängden hos vägbeläggning av längden 4 mil. Då gäller enligt (c) att P(T >
1) = 0.96. Vi söker P(1 < T < 2). Det gäller att T = min(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) där X i representera
livslängden hos vägbeläggning av längden 1 mil och alla X i har samma fördelning som X och
är oberoende. Det gäller således att
P(T > x) = P(X i > x) 4 och
P(1 < T < 2) = P(T > 1)−P(T > 2) = P(X i > 1) 4 − P(X i > 2) 4 .
På samma sätt som i (a) får vi
P(X i > 2) =((Ñlnx − ln 2)/×lnx) =(0.8583433) = 0.8046464 och således
P(1 < T < 2) = 0.960202 − 0.4191991 = 0.5410028.
38. X (t) ∈ Po(120t) med E(X (t)) = 120t.
(a) X ( 1
60
) ∈ Po(120/60) = Po(2)
P(X ( 1 60 ) > 3) =
= 1−P(X ( 1
60 ) = 0)−P(X ( 1
60 ) = 1)−P(X ( 1
60 ) = 2)−P(X ( 1
60 ) = 3) =
= 1−e −2 − e −2 2 1 /1!−e −2 2 2 /2!−e −2 2 3 /3! = 0.142873
(b) E(X (3)) = 120 · 3 = 360. Det förväntade antalet personbilar är då 2 3 · 360 vilka var och en
betalar $0.50, och det förväntade antalet lastbilar blir 1 3 · 360 vilka var och en betalar $2. Den
förväntade tullavgiften blir då 2 3 · 360·$0.50+ 1 360·$2 = $360.
3
30