Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

4
FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER
(a) Låt T 1 , T 2 ... beteckna lasttiden för lastare 1, 2,... i kön. +P(T 1 + T 2 < 5) = P(T 1 =
2, T 2 = 2) = P(T 1 = 2)P(T 2 = 2) = 0.5·0.5 = 0.25.
(b) Låt N beteckna antalet lastare i kön. Sannolikheten att N = 0, 1, 2 osv beskrivs av tabellen 2 .
Vi söker P(T 1 + T 2 + ··· + T N < 5). Genom att betinga på antalet lastare i kö får vi med
satsen om total sannolikhet
N∑
P( T i < 5) =
i=1
=
∞∑ N∑
P( T i < 5|N = k)P(N = k) =
k=0
i=1
∞∑ k∑
P( T i < 5)P(N = k)
= 1·P(N = 0)+P(T 1 < 5)P(N = 1)+P(T 1 + T 2 < 5)P(N = 2)
+ P(T 1 + T 2 + T 3 < 5)P(N = 3)+P(T 1 + T 2 + T 3 + T 4 < 5)P(N = 4)+...
= 1·0.2+ 1·0.1+0.25·0.3+ 0·0.3+0·0.1+··· = 0.375
11. Låt A resp B beteckna händelserna att kabel A resp B håller för belastningen och med A ∗ resp B ∗
betecknar vi komplementen till dessa händelser. Ur uppgiften kan vi då identifiera sannolikheterna
P(A ∗ ) = 0.02, P(A) = 0.98 och P(B ∗ |A ∗ ) = 0.30.
(a) P(A ∗ B ∗ ) = P(B ∗ |A ∗ )P(A ∗ ) = 0.30·0.02 = 0.006.
(b) Om lasten hänger kvar kan kabel A vara hel eller trasig, men B måste vara hel. Vi söker P(A|B)
dvs sannolikheten att A är hel givet att lasten hänger kvar.
P(A|B) = 1−P(A ∗ |B) = 1− P(A∗ B)
= 1− P(B|A∗ )P(A ∗ )
= [Total slh i nämnaren]
P(B) P(B)
P(B|A ∗ )P(A ∗ )
= 1−
P(B|A ∗ )P(A ∗ )+P(B|A)P(A) = 1− (1−0.30)0.02
0.70·0.02+1·0.98 = 0.9859
Ännu enklare blir räkningarna om man inser (rita ett Venn-diagram) att AB = A: P(A|B) =
P(AB)/P(B) = P(A)/P(B) = 0.98/0.994 = 0.9859
12. (a) Pos: Positivt utslag, S: Sjuk, S ∗ : Frisk.
P(Pos|S)P(S)
Sökt: P(S|Pos) =
P(Pos|S)P(S)+P(Pos|S ∗ )P(S ∗ ) = 0.99·0.01
0.99·0.01+0.05·0.99 = 1 6
(b) Om man lyckas ändra 0.05 till 0 fås den sökta sannolikheten till 1. En ändring av 0.99 (obs.
inte den som har med 99% av patienterna att göra) till 1 ger att den sökta sannolikheten
ökar från ca 0.167 till ca 0.168. Dessvärre går det nog inte i verkligheten att minska antalet
falsklarm utan att minska chansen till önskade larm.
18. (a)
(c) Den sökta sannolikheten blir då (samma resonemang som i (a) fast andra värden)
0.99·0.50
0.99·0.50+0.05·0.50 ≈ 0.952.
f T (t) = dF T (t)
dt
⎧
⎨
=
⎩
2t − 2, 1 ≤ t ≤ 2
0, t < 1
0, t > 2
(b) P(T > 1.5) = 1−P(T ≤ 1.5) = 1−F T (1.5) = 1−(1.5 2 − 2·1.5+1) = 0.75
19. (a) 0.2·0.2 = 0.04
2 Det relativt lilla antalet observationer (30 st) gör att denna observerade fördelning av antalet lastare i kö, är relativt osäker
och kanske inte fullt återspeglar fördelningen för antalet lastare i kö i det långa loppet.
k=0
i=1
25