Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum
Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum
Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4<br />
FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER<br />
(a) Låt T 1 , T 2 ... beteckna lasttiden för lastare 1, 2,... i kön. +P(T 1 + T 2 < 5) = P(T 1 =<br />
2, T 2 = 2) = P(T 1 = 2)P(T 2 = 2) = 0.5·0.5 = 0.25.<br />
(b) Låt N beteckna antalet lastare i kön. Sannolikheten att N = 0, 1, 2 osv beskrivs av tabellen 2 .<br />
Vi söker P(T 1 + T 2 + ··· + T N < 5). Genom att betinga på antalet lastare i kö får vi med<br />
satsen om total sannolikhet<br />
N∑<br />
P( T i < 5) =<br />
i=1<br />
=<br />
∞∑ N∑<br />
P( T i < 5|N = k)P(N = k) =<br />
k=0<br />
i=1<br />
∞∑ k∑<br />
P( T i < 5)P(N = k)<br />
= 1·P(N = 0)+P(T 1 < 5)P(N = 1)+P(T 1 + T 2 < 5)P(N = 2)<br />
+ P(T 1 + T 2 + T 3 < 5)P(N = 3)+P(T 1 + T 2 + T 3 + T 4 < 5)P(N = 4)+...<br />
= 1·0.2+ 1·0.1+0.25·0.3+ 0·0.3+0·0.1+··· = 0.375<br />
11. Låt A resp B beteckna händelserna att kabel A resp B håller för belastningen och med A ∗ resp B ∗<br />
betecknar vi komplementen till dessa händelser. Ur uppgiften kan vi då identifiera sannolikheterna<br />
P(A ∗ ) = 0.02, P(A) = 0.98 och P(B ∗ |A ∗ ) = 0.30.<br />
(a) P(A ∗ B ∗ ) = P(B ∗ |A ∗ )P(A ∗ ) = 0.30·0.02 = 0.006.<br />
(b) Om lasten hänger kvar kan kabel A vara hel eller trasig, men B måste vara hel. Vi söker P(A|B)<br />
dvs sannolikheten att A är hel givet att lasten hänger kvar.<br />
P(A|B) = 1−P(A ∗ |B) = 1− P(A∗ B)<br />
= 1− P(B|A∗ )P(A ∗ )<br />
= [Total slh i nämnaren]<br />
P(B) P(B)<br />
P(B|A ∗ )P(A ∗ )<br />
= 1−<br />
P(B|A ∗ )P(A ∗ )+P(B|A)P(A) = 1− (1−0.30)0.02<br />
0.70·0.02+1·0.98 = 0.9859<br />
Ännu enklare blir räkningarna om man inser (rita ett Venn-diagram) att AB = A: P(A|B) =<br />
P(AB)/P(B) = P(A)/P(B) = 0.98/0.994 = 0.9859<br />
12. (a) Pos: Positivt utslag, S: Sjuk, S ∗ : Frisk.<br />
P(Pos|S)P(S)<br />
Sökt: P(S|Pos) =<br />
P(Pos|S)P(S)+P(Pos|S ∗ )P(S ∗ ) = 0.99·0.01<br />
0.99·0.01+0.05·0.99 = 1 6<br />
(b) Om man lyckas ändra 0.05 till 0 fås den sökta sannolikheten till 1. En ändring av 0.99 (obs.<br />
inte den som har med 99% av patienterna att göra) till 1 ger att den sökta sannolikheten<br />
ökar från ca 0.167 till ca 0.168. Dessvärre går det nog inte i verkligheten att minska antalet<br />
falsklarm utan att minska chansen till önskade larm.<br />
18. (a)<br />
(c) Den sökta sannolikheten blir då (samma resonemang som i (a) fast andra värden)<br />
0.99·0.50<br />
0.99·0.50+0.05·0.50 ≈ 0.952.<br />
f T (t) = dF T (t)<br />
dt<br />
⎧<br />
⎨<br />
=<br />
⎩<br />
2t − 2, 1 ≤ t ≤ 2<br />
0, t < 1<br />
0, t > 2<br />
(b) P(T > 1.5) = 1−P(T ≤ 1.5) = 1−F T (1.5) = 1−(1.5 2 − 2·1.5+1) = 0.75<br />
19. (a) 0.2·0.2 = 0.04<br />
2 Det relativt lilla antalet observationer (30 st) gör att denna observerade fördelning av antalet lastare i kö, är relativt osäker<br />
och kanske inte fullt återspeglar fördelningen för antalet lastare i kö i det långa loppet.<br />
k=0<br />
i=1<br />
25