Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

4
FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER
(c)
P(L | A ∗ ) = P(L∩A∗ )
P(A ∗ )
= (1−0.999) ·
P(M | A ∗ ) = P(M∩A∗ )
P(A ∗ )
= (1−0.998) ·
= P(A∗ | L)P(L)
P(A ∗ )
8/9
1−0.998889 = 0.8
= P(A∗ | M)P(M)
P(A ∗ )
1/9
1−0.998889 = 0.2
= P(A∗ | L)P(L)
1−P(A)
=
= P(A∗ | M)P(M)
1−P(A)
=
8. (a) Låt G i representera händelsen att det sker brott i tvärbalk i. Brott i någon (minst en) av
tvärbalkarna representeras då av händelsen G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 .
P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ) =
= 1−P((G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ) ∗ )
= 1−P(G ∗ 1 ∩ G∗ 2 ∩ G∗ 3 ∩ G∗ 4 ) = [Oberoende]
= 1−P(G ∗ 1 )P(G∗ 2 )P(G∗ 3 )P(G∗ 4 )
= 1−(1−P(G 1 ))(1−P(G 2 ))(1−P(G 3 ))(1−P(G 4 ))
= 1−(1−10 −5 ) 4 ≈ 3.99994 · 10 −5
(b) Låt P i representera händelsen att det sker brott i pelare i. Brott i någon (minst en) av pelarna
representeras då av händelsen P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 .
P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) = 1−P((P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) ∗ ) = 1−P(P ∗ 1 ∩ P ∗ 2 ∩ P ∗ 3 )
= 1−P(P ∗ 1 )P(P∗ 2 )P(P∗ 3 ) = 1−(1−P(P 1))(1−P(P 2 ))(1−P(P 3 ))
= 1−(1−10 −6 ) 3 ≈ 3·10 −6
(c) Fel i bron uppstår om brott uppstår i någon pelare eller tvärbalk.
P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ∪ P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) =
= P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )+P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 )
− P((G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )∩(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ))
= P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )+P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 )
− P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )·P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 )
= 3.99994·10 −5 + 3·10 −6 − 3.99994· 10 −5 · 3·10 −6 = 4.299928·10 −5
9. Sannolikheten att man väljer att bygga en järnvägsförbindelse dvs P(R) = 1/(1+2+3) = 1/6.
Sannolikheten att man väljer att bygga en motorvägsförbindelse dvs P(H) = 2/(1+2+ 3) = 1/3.
Sannolikheten att man väljer att bygga en flygförbindelse dvs P(A) = 3/(1+2+3) = 1/2.
Låt K = händelsen att förbindelsen är klar inom ett år.
P(K|R) = 0.50, P(K|H) = 0.75, P(K|A) = 0.90
(a) Satsen om total sannolikhet ger
P(K ) = P(K|R)P(R)+P(K|H)P(H)+P(K|A)P(A) =
= 0.50(1/6) + 0.75(1/3) + 0.90(1/2) = 4.7/6 = 0.78333
(b) P(A|K ) = P(K|A)P(A)/P(K ) = 0.90·(1/2)/0.78333 = 0.57447
(c) P(H|H ∪ R) = P(H ∩ (H ∪ R))/P(H ∪ R) = P(H)/P(H ∪ R) = (1/3)/(1/6+ 1/3) = 2/3
10. Låt T beteckna den tid det tar att fylla en lastare. P(T = 2) = 0.5, P(T = 3) = 0.5.
24