Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

2 INFERENSTEORI
44. [∗] The distribution of wave height has been suggested to follow a Rayleigh density function
(täthetsfunktion),
⎧
⎪⎨
h2 f H (h) =
e− 1 2 (h/) 2 , h ≥ 0,
⎪⎩
0, h < 0.
with parameter. Suppose the following measurements on wave heights were recorded: 1.5, 2.8, 2.5,
3.2, 1.9, 4.1, 3.6, 2.6, 2.9, 2.3 m. Estimate the parameterby the method of maximum likelihood.
45. [∗] De oberoende stokastiska variablerna X i och Y j har väntevärden E(X i ) = 2a respektive E(Y j ) = a
och känd varians V(X i ) = V(Y j ) = 1. Man vill skatta a med hjälp av n x mätningar av X i och n y
mätningar av Y j .
(a) Visa att (den oviktade) minsta-kvadrat-skattningen, a ∗ av a ges av a ∗ = 2∑ n x
i=1 x i + ∑ n y
j=1 y j
4n x + n y
.
(b) Beräkna väntevärde och varians för a ∗ och ange en approximativ fördelning för a ∗ , under
förutsättning att man gör många mätningar av X i och Y j .
(c) Man har gjort 150 mätningar av X i och fått¯x = 14.5. Man har också gjort 100 mätningar av
Y j och fått ȳ = 6.4. Beräkna ett värde på a ∗ tillsammans med ett approximativt 95 % tvåsidigt
konfidensintervall för a.
46. Data på nederbördens intensitet (i tum) är samlat mellan åren 1918 och 1946 i ett flodområde,
enligt följande:
År intensitet År intensitet År intensitet År intensitet
1918 43.30 1925 43.90 1932 50.37 1939 42.96
1919 53.02 1926 46.77 1933 54.91 1940 55.77
1920 63.52 1927 59.12 1934 51.20 1941 41.31
1921 45.93 1928 54.49 1935 39.91 1942 58.83
1922 48.26 1929 47.38 1936 53.29 1943 48.21
1923 50.51 1930 40.78 1937 67.59 1944 44.67
1924 49.57 1931 45.05 1938 58.71 1945 67.72
1946 43.11
(a) Beräkna punktskattningar för väntevärdetÑoch variansen×2 .
(b) Beräkna ett 95 % konfidensintervall för väntevärdetÑ. Antag att årsnederbördens intensitet är
normalfördelad, och×=8.
47. The daily dissolved oxygen concentration (DO) for a location A downstream from an industrial
plant has been recorded for 10 consecutive days.
Day DO (mg/l)
1 1.8
2 2.0
3 2.1
4 1.7
5 1.2
6 2.3
7 2.5
8 2.9
9 1.6
10 2.2
12