Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

2 INFERENSTEORI
(f) Vad är sannolikheten att den första reparationen av 4-milssträckan kommer att inträffa inom
2:a året (Notera att förhållandena vid 2:a året inte är oberoende av det 1:a året.)
38. [∗] Traffic on a one-way street that leads to a toll bridge is to be studied. The volume of the traffic
is found to be 120 vehicles per hour on the average and out of which 2/3 are passenger cars and
1/3 are trucks. The toll at the bridge is $0.50 per car and $2 per truck. Assume that the arrivals of
vehicles constitute a Poisson process.
(a) What is the probability that in a period of 1 minute, more than 3 vehicles will arrive at the
toll bridge
(b) What is the expected total amount of toll collected at the bridge in a period of 3 hours
2 Inferensteori
39. Antag att maximala våghöjden (H) på ett visst ställe ett visst år kan anses vara Rayleighfördelad, dvs
täthetsfunktionen ges av
{ x
f H (x) = a e−x2 /(2a)
för x ≥ 0,
0 för x < 0.
där a är en okänd positiv parameter. Man har under 8 år observerat följande maximala våghöjder (i
meter):
2.5 2.9 1.8 0.9 1.7 2.1 2.2 2.8
(a) Beräkna ML-skattningen av a under förutsättning att de åtta observationerna kan anses vara
oberoende observationer av H.
(b) Beräkna med hjälp av skattningen av a, en skattning av 1000-årsvågen, med vilket menas en
våg som är så hög att den i genomsnitt bara inträffar en gång per 1000 år.
40. (forts. på 11.24) Ange skattningens väntevärde och beräkna dess medelfel.
41. Ett mycket stort parti av enheter har felkvoten p, där p är högst 0.04. Man vill ta ut n enheter
slumpmässigt ur partiet och på grundval härav konstruera en skattning av p med en standardavvikelse
på högst 0.02. Hur stort måste n vara
42. Ett föremål består av två delar A och B som har vägts ett antal gånger varvid man fick resultaten:
A 12.07 12.01 12.04
B 18.34 18.36 18.35 18.32
Vidare har hela föremålet vägts två gånger varvid man fick:
A+B 30.35 30.39
Vägningarna är behäftade med oberoende slumpmässiga fel från samma fördelning. Beräkna med
minsta-kvadrat-metoden en skattning av vikten hos hela föremålet.
43. In the measurement of daily dissolved oxygen (DO) concentrations in a stream, let p denote the
probability that the DO-concentration will fall below the required standard on a single day. DOconcentration
is measured daily until unsatisfactory stream quality is encountered, and the number
of days in this sequence of measurement is recorded. Suppose 10 sequences have been observed and
the length of each sequence is 2, 5, 6, 4, 6, 6, 8, 5, 10, 1 days. Determine the maximum likelihood
estimator for p, and estimate p on the basis of the observed data.
11