Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum
Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum
Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2 INFERENSTEORI<br />
(f) Vad är sannolikheten att den första reparationen av 4-milssträckan kommer att inträffa inom<br />
2:a året (Notera att förhållandena vid 2:a året inte är oberoende av det 1:a året.)<br />
38. [∗] Traffic on a one-way street that leads to a toll bridge is to be studied. The volume of the traffic<br />
is found to be 120 vehicles per hour on the average and out of which 2/3 are passenger cars and<br />
1/3 are trucks. The toll at the bridge is $0.50 per car and $2 per truck. Assume that the arrivals of<br />
vehicles constitute a Poisson process.<br />
(a) What is the probability that in a period of 1 minute, more than 3 vehicles will arrive at the<br />
toll bridge<br />
(b) What is the expected total amount of toll collected at the bridge in a period of 3 hours<br />
2 Inferensteori<br />
39. Antag att maximala våghöjden (H) på ett visst ställe ett visst år kan anses vara Rayleighfördelad, dvs<br />
täthetsfunktionen ges av<br />
{ x<br />
f H (x) = a e−x2 /(2a)<br />
för x ≥ 0,<br />
0 för x < 0.<br />
där a är en okänd positiv parameter. Man har under 8 år observerat följande maximala våghöjder (i<br />
meter):<br />
2.5 2.9 1.8 0.9 1.7 2.1 2.2 2.8<br />
(a) Beräkna ML-skattningen av a under förutsättning att de åtta observationerna kan anses vara<br />
oberoende observationer av H.<br />
(b) Beräkna med hjälp av skattningen av a, en skattning av 1000-årsvågen, med vilket menas en<br />
våg som är så hög att den i genomsnitt bara inträffar en gång per 1000 år.<br />
40. (forts. på 11.24) Ange skattningens väntevärde och beräkna dess medelfel.<br />
41. Ett mycket stort parti av enheter har felkvoten p, där p är högst 0.04. Man vill ta ut n enheter<br />
slumpmässigt ur partiet och på grundval härav konstruera en skattning av p med en standardavvikelse<br />
på högst 0.02. Hur stort måste n vara<br />
42. Ett föremål består av två delar A och B som har vägts ett antal gånger varvid man fick resultaten:<br />
A 12.07 12.01 12.04<br />
B 18.34 18.36 18.35 18.32<br />
Vidare har hela föremålet vägts två gånger varvid man fick:<br />
A+B 30.35 30.39<br />
Vägningarna är behäftade med oberoende slumpmässiga fel från samma fördelning. Beräkna med<br />
minsta-kvadrat-metoden en skattning av vikten hos hela föremålet.<br />
43. In the measurement of daily dissolved oxygen (DO) concentrations in a stream, let p denote the<br />
probability that the DO-concentration will fall below the required standard on a single day. DOconcentration<br />
is measured daily until unsatisfactory stream quality is encountered, and the number<br />
of days in this sequence of measurement is recorded. Suppose 10 sequences have been observed and<br />
the length of each sequence is 2, 5, 6, 4, 6, 6, 8, 5, 10, 1 days. Determine the maximum likelihood<br />
estimator for p, and estimate p on the basis of the observed data.<br />
11