Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK 

ÖVNINGSUPPGIFTER 

MATEMATISK STATISTIK AK FÖR M, FMS 035, VT-11 

Innehåll 

1 Sannolikhetsteori 1 

2 Inferensteori 11 

3 Svar 20 

4 Fullständiga lösningar till ∗-märkta uppgifter 23 

1 Sannolikhetsteori 

1. De möjliga sättningarna för de tre brostöden till en bro, som visas i figuren, är enligt följande 

brostöd A: 0 tum, 1 tum, 2 tum 

brostöd B: 0 tum, 2 tum 

brostöd C: 0 tum, 1 tum, 2 tum 

(a) Beskriv utfallsrummet som representerar alla möjliga sättningar hos de tre brostöden, t.ex. 

(1, 0, 2) betyder att A sätter sig 1 tum, B sätter sig 0 tum och C sätter sig 2 tum. 

(b) Låt E vara händelsen att man på minst ett ställe får 2 tum i sättningsskillnad mellan intilliggande 

stöd. Bestäm utfallen hos händelse E. 

2. A cylindrical tank is used to store water for a town (see figure). 

The available supply is not completely predictable. In 

any one day, the inflow is equally likely to fill 6, 7, or 8 feet 

of the tank. The demand for water is also variable, and may 

(with equal probabilities) require an amount equivalent to 

5, 6, or 7 feet of water in the tank. 

(a) What are the possible combinations of inflow and outflow in a day 

(b) Assuming that the water level in the tank is 7 feet at the start of a day, what are the possible 

water levels in the tank at the end of the day What is the probability that there will be at least 

9 feet of water remaining in the tank at the end of the day 

3. En ubåt avfyrar två torpeder mot ett mål. Varje torped för sig träffar med sannolikheten 0.7 och 

sannolikheten att båda gör det är 0.64. 

(a) Träffar torpederna oberoende av varandra 

(b) Beräkna sannolikheten för att en men inte två torpeder träffar. 

(c) Beräkna sannolikheten att minst en träffar. 

4. (a) En villaägare köpte en stor påse blandade lökar i höstas. Enligt förpackningen är en tredjedel 

påskliljor och resten tulpaner. Alla påskliljorna och en fjärdedel av tulpanerna är gula, resten 

är röda. Villaägaren grävde ner en slumpmässigt vald lök utanför köksfönstret. Hur stor är 

sannolikheten att blomman är gul

1 SANNOLIKHETSTEORI 

(b) För händelserna A och B gäller att P(A) = 1/3, P(B | A) = 1 och P(B | A ∗ ) = 1/4. Beräkna 

P(B). 

(c) Övertyga dig själv om att (a) och (b) egentligen är exakt samma uppgift. [Båda gavs samtidigt 

på samma tentamen för V och L (och M) 2002-03-08. Det var inte alla skrivande som hade 

samma svar på båda.] 

(d) (Forts. på (a)) Hur stor är den betingade sannolikheten att blomman är en påsklilja, givet att 

den är gul 

5. [∗] Vid en bestämd plats kommer kraftiga vindar från någon riktning mellan rakt östligt (=0 ◦ ) 

och rakt nordligt (=90 ◦ ). Alla icke-negativa värden på vindhastigheten V är möjliga. 

(a) Beskriv utfallsrummet för vindhastigheten och vindriktningen, t.ex. genom att rita en figur. 

(b) Låt 

A 

B 

= {V > 20 km/h} 

= {12 km/h < V ≤ 30 km/h} 

C = {≤30 ◦ } 

Identifiera händelserna A, B, C och A ∗ i utfallsrummet beskrivet i (a). 

(c) Identifiera följande händelser 

D 

E 

F 

= A∩C 

= A∪B 

= A∩B∩C 

(d) 

Är händelserna D och E oförenliga Hur är det med händelserna A och C 

6. [∗] En låda innehåller två mynt, ett vanligt med krona på ena sidan och klave på den andra samt 

ett med krona på båda sidorna. Ett mynt väljs slumpvis och kastas varvid krona kommer upp. Med 

vilken sannolikhet är den andra sidan på myntet också krona 

7. [∗] Before the design of a tunnel through a rocky 

region, geological exploration was conducted to investigate 

the joints and the potential slip surface that 

exists in the rock strata (see figure). For economic reasons, 

only portions of the strata are explored. In addition 

the measurement recorded by the instruments 

are not perfectly reliable. Thus the geologist can only 

conclude that the condition of the rock may be either 

highly fissured (H), medium fissured (M), or slightly 

fissured (L) with relative likelihoods of 1:1:8. 

Based on this information, the engineer designs the tunnel and estimate that if the rock condition is 

L, the reliability of the proposed design is 99.9 %. However, if it turns out that the rock condition 

is M, the probability of failure will be doubled; similarly, if the rock condition is H, the probability 

of failure will be 10 times that for condition L. 

(a) What is the reliability of the proposed tunnel design 

(b) A more reliable device is subsequently used to improve the prediction of rock condition. Its 

results indicate that a highly fissured condition for the rock around the tunnel is practically 

impossible, but it cannot give better information on the relative likelihood between rock conditions 

M and L. In light of this new information, what would be the revised reliability of the 

proposed tunnel design 

2


(c) If the tunnel collapsed, what should be the updated probabilities of M and L 

8. [∗] The preliminary design of a bridge spanning a river 

consists of four girders and three piers as shown 

in the figure. From consideration of the loading and 

resisting capacities of each structural element the failure 

probability for each girder is 10 −5 and for each 

pier 10 −6 . 

Assume that failures of the girders and piers are statistically independent. Determine: 

(a) The probability of failure in the girder(s). 

(b) The probability of failure in the pier(s). 

(c) The probability of failure of the bridge system. It seems as if the answers are the sum of the 

probabilities. Why does it seem so Recalculate with other much higher probabilities. 

9. [∗] Transportmöjligheter skall upprättas mellan 

två städer som ligger 200 mil ifrån varandra. Alternativen 

är motorväg (H), järnväg (R), eller 

flyg (A); det sista betyder anläggandet av flygplatser 

i de bägge städerna, se figur. På grund 

av de relativa förtjänsterna och kostnaderna, är 

chansen att planeringskommitén kommer att 

besluta sig for R, H, eller A är 1 till 2 till 3. 

Bara ett av dessa tre alternativ kan byggas. 

Emellertid, om kommittén beslutar att bygga en järnväg R, så är sannolikheten 50 % för att denna 

kommer att vara klar inom ett år; om de beslutar sig för en motorväg H, är motsvarande sannolikhet 

75 %; och om de beslutar sig för flyg, är sannolikheten 90 % att flygplatserna kommer att vara klara 

inom ett år. 

(a) Vad är sannolikheten att de två städerna kommer att ha någon förbindelse inom ett år 

(b) Om en förbindelse är upprättad inom ett år mellan de två städerna, vad är då sannolikheten 

att denna är en flygkommunikation A 

(c) Om kommittén beslutar till fördel för landkommunikation, vad är sannolikheten att det slutliga 

beslutet kommer att vara en motorväg H 

10. [∗] At a quarry, the time required to load crushed rocks onto a truck is equally likely to be either 

2 or 3 minutes (see figure). Also the number of trucks in a queue waiting to be loaded at any time 

varies considerably, as reflected in the following set of 30 observations taken at random. The time 

No of trucks No of Relative 

in queue observations frequency 

0 6 0.2 

1 3 0.1 

2 9 0.3 

3 9 0.3 

4 3 0.1 

5 0 0.0 

Total: 30 

required to load a truck is statistically independent of the queue size. Use the relative frequencies as 

estimates of the corresponding probabilities. 

3


(a) If there are two trucks in the queue when a truck arrives at the quarry, what is the probability 

that its “waiting time” will be less than 5 minutes 

(b) Before arriving at the quarry (and thus not knowing the size of the queue), what is the probability 

that the waiting time of a particular truck will be less than 5 minutes 

11. [∗] Two cables are used to lift a load W (see figure). However, 

normally only cable A will be carrying the load; cable B is slightly 

longer than A, so normally it does not participate in carrying the 

load. But if cable A breaks, then B will have to carry the full load, 

until A is replaced. The probability that A will break is 0.02. The 

probability that B will fail if it has to carry the load by itself is 

0.30, but is 0 as long as A carries the load. 

(a) What is the probability that both cables will fail 

(b) If the load remains lifted, what is the probability that none of the cables have failed 

12. [∗] Ett nytt test för att avslöja en allvarlig sjukdom har tagits fram. Det ger positivt utslag med 

sannolikheten 0.99 om personen har sjukdomen fast med sannolikheten 0.05 även om personen 

inte har den. Det anses vara känt att 1 % av patientmaterialet har sjukdomen. 

(a) Beräkna den intressanta sannolikheten att en patient har sjukdomen om testet är positivt. 

(b) Vilken egenskap hos testet ska man försöka ändra för att få en högre sannolikhet i (a) Ska 

man försöka få 0.05 att bli 0 eller 0.99 att bli 1 

(c) Antag att testet istället används i ett land där 50 % har sjukdomen. Vilket svar ger då frågan i 

(a) 

13. A contractor is submitting bids to 3 jobs, A, B and C. The probabilities that he will win the jobs 

are P(A) = 0.5, P(B) = 0.8 and P(C) = 0.2, respectively. Assume events A, B, C are statistically 

independent. Let X be the total number of jobs the contractor will win. 

(a) What are the possible values of X Compute and plot the probability mass function (sannolikhetsfunktionen) 

of the random variable X . 

(b) Determine P(X ≤ 2). 

(c) Determine P(0 < X ≤ 2). 

14. Ett lokaltåg skall ankomma till en station kl 13.03 men brukar vara något försenat. Förseningen 

(enhet: minut) varierar så att den kan betraktas som en s.v. X , som har täthetsfunktionen f X (x) = 

1/5 om 0 ≤ x ≤ 5. Hur stor är sannolikheten att tåget kommer senare än 13.06 Hur stor är 

sannolikheten att det kommer mellan 13.04 och 13.05 

15. The settlement of a structure has the probability density 

function (täthetsfunktion) shown in the figure. 

(a) What is the probability that the settlement is less 

than 2 cm 

(b) What is the probability that the settlement is 

between 2 and 4 cm 

(c) If the settlement is observed to be more than 

2 cm, what is the probability that it will be less 

than 4 cm 

f (x) X 

h 

0 2 4 6 

x, settlement in cm 

4


16. Antalet förbipasserande bilar under tidsintervallet [0, t] är poissonfördelat med väntevärdeÐt. 

(a) Beräkna sannolikheten att inga bilar passerar under tidsintervallet [0, t]. 

(b) Beräkna sannolikheten att minst en bil passerar under tidsintervallet [0, t]. 

(c) Låt T vara den slumpmässiga tid det tar tills första bilen dyker upp. Bestäm täthetsfunktionen 

f T (t) för T . 

(d) Vilken slags fördelning har T 

17. Karakteristisk bärförmåga definieras som 5 %-kvantilen av bärförmågan, dvs sannolikheten att den 

verkliga bärförmågan understiger den karakteristiska är 0.95. Bestäm den karakteristiska bärförmågan 

om bärförmågan är Weibullfördelad med fördelningsfunktionen 

F X (x) = P(X ≤ x) = 

{ 0 för x ≤ 0, 

1−e −(x/10)5 för x > 0. 

18. [∗] Suppose the duration (in months) of a construction job can be modeled as a continuous random 

variable T whose cumulative distribution function (fördelningsfunktion) is given by 

⎧ 

⎨ t 2 − 2t + 1, 1 ≤ t ≤ 2 

F T (t) = P(T ≤ t) = 0, t < 1 

⎩ 

1, t > 2 

(a) Determine the corresponding density function (täthetsfunktion) f T (t). 

(b) Compute P(T > 1.5). 

19. [∗] In order to repair the cracks that may exist in a 10-feet weld, a nondestructive testing device 

(NDT) is first used to detect the location of cracks. Because cracks may exist in various shapes and 

sizes, the probability that a crack will be detected by the NDT device is only 0.8. Assume that the 

events of each crack being detected are statistically independent and that the NDT does not give 

false alarms. 

(a) If there are two cracks in the weld, what is the 

probability that they would not be detected 

(b) The actual number of cracks N in the weld 

is not known. However, its PMF (sannolikhetsfunktion) 

is given as in the figure. What is the 

probability that the NDT device will detect 0 

cracks in this weld 

(c) If the device detects 0 cracks in the weld, what is 

the probability that the weld is flawless (that is, 

no crack at all) 

p N 

(n) 

0.3 

0.6 

0.1 

0 1 2 

n, number of cracks 

20. [∗] Two reservoirs are located upstream of a town; the water is held back by two dams A and B. 

Dam B is 40 m high. (See figure) During a strong-motion earthquake, dam A will suffer damage 

and water will flow downstream into the lower reservoir. Depending on the amount of water in the 

upper reservoir when such an earthquake occurs, the lower reservoir water may or may not overflow 

dam B. Suppose that the water level at reservoir B, during an earthquake, is either 25 m or 35 m, 

as shown in the bottom left figure; and the increase in the elevation of water level in B caused by 

the additional water from reservoir A is a continuous random variable with the probability density 

function (täthetsfunktion) given in the bottom right figure. 

5


p Y 

(y) 

f X 

(x) 

0.7 

a 

0.3 

0 25 35 

y (m) 

0 5 10 15 20 

x, Increase in Water Level in Reservoir B 

(a) Determine the value of a in the bottom right figure. 

(b) What is the probability of overflow at B during a strong-motion earthquake 

(c) If there were no overflow at B during an earthquake, what is the probability that the original 

water level in reservoir B is 25 m 

21. [∗] The bearing capacity of the soil under a column-footing foundation is known to vary between 6 

and 15 kN/m 2 . Its probability density (täthetsfunktion) within this range is given as 

{ 1 

f X (x) = 2.7 (1− x ), 6 ≤ x ≤ 15 

15 

0, elsewhere 

If the column is designed to carry a load of 7.5 kN/m 2 , what is the probability of failure of the 

foundation 

22. Den tid som en kraft belastar en viss konstruktion varierar 

på ett sätt som beskrivs av täthetsfunktionen i 

figuren. 

(a) Bestäm konstanterna a och b. 

f T 

(t) 

b 

a t 2 

(b) Beräkna väntevärde och median för belastningstiden 

T . 

(c) Beräkna sannolikheten att T är minst 6 sek, dvs 

P(T ≥ 6). 

0 12 16 

t, sec. 

23. The delay time of a construction project is described with a random variable X . Suppose that X is 

a discrete variate with probability mass function (sannolikhetsfunktionfunktion) given in the table. 

The penalty for late completion of the project depends on the number of day of delay; that is, 

penalty = g(x i ). The penalty function is also given in the table, in unit of $100, 000. 

PMF of X Penalty funktion 

x i p X (x i ) g(x i ) 

(in days) ($100, 000) 

1 0.5 5 

2 0.3 6 

3 0.1 7 

4 0.1 7 

6


(a) Calculate the mean penalty for this project. 

(b) Calculate the standard deviation of the penalty. 

24. Låt X ha sannolikhetsfunktionen 

k 0 1 3 5 

p X (k) 0.1 0.2 0.3 0.4 

(a) Beräkna P(2 ≤ X ≤ 7). 

(b) Beräkna väntevärdet E(X ). 

(c) Beräkna variansen V(X ). 

(d) Beräkna standardavvikelsen D(X ). 

(e) Beräkna E(e X ). 

25. Låt X vara en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X (x) = 2x för 0 ≤ x ≤ 1, och 0 för övrigt, 

och beräkna väntevärde, varians och täthetsfunktion för Y = (1−X ) 2 . 

26. Vid vätskekontrollen i Mångsbodarna dricker var och en av Vasaloppsåkare 0, 1 eller 2 muggar 

blåbärssoppa med sannolikheterna 0.3, 0.1 respektive 0.6, oberoende av de andra åkarna. 

27. [∗] 

(a) Beräkna väntevärde och varians för antalet muggar en slumpmässigt vald åkare dricker. 

(b) Beräkna sannolikheten att skidåkare A dricker färre muggar blåbärssoppa än skidåkare B. 

(c) Beräkna sannolikheten att skidåkare A och skidåkare B dricker precis lika många muggar 

blåbärssoppa. 

(d) Beräkna sannolikheten att skidåkare A och skidåkare B tillsammans dricker minst 2 muggar 

blåbärssoppa. 

(a) Surhetsgraden i ett vattendrag bestäms varje måndag med hjälp av en pH-meter. Därvid uppstår 

ett fel Y med väntevärdetoch standardavvikelsen×=0.05. Här börvara 0 men på 

grund av att kalibrering ej gjorts är detta systematiska fel 0.4. Beräkna väntevärde och standardavvikelse 

för mätresultatet om det rätta pH-värdet är 5.8. 

(b) Antag att vattnets sanna surhetsgrad varierar från måndag till måndag som en s.v. X med 

väntevärdet 5.8 och standardavvikelsen 0.5. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för 

mätresultatet, Z, en godtycklig måndag. 

(c) Antag att man varje måndag tar ett vattenprov ur ån. På detta vattenprov gör man sedan 

tre mätningar Z 1 , Z 2 och Z 3 och bildar medelvärdet. Beräkna standardavvikelsen för detta 

medelvärde om de slumpmässiga felen vid de tre mätningarna är oberoende och X varierar 

från måndag till måndag som i (b). 

(d) Det finns tre källor till avvikelser från 5.8 hos värdet Z i (b). Vilka Vilken/vilka av dessa går 

att påverka genom den medelvärdesbildning som sker i (c) 

28. [∗] Antalet avåkningar under en snöstorm kan beskrivas av en Poissonprocess med intensitetÐ 

avåkningar per kilometer vägsträcka. Det innebär bland annat att antalet avåkningar, X t , på en t km 

lång sträcka är Po(Ðt)-fördelat. Man räknar antalet olyckor på tre olika vägsträckor som är 2, 3 resp. 

5 km långa och får alltså oberoende observationer av X 2 ∈ Po(2Ð), X 3 ∈ Po(3Ð) och X 5 ∈ Po(5Ð). 

Man vill uppskatta intensitetenÐoch väljer mellan två varianter. Antingen uppskattar man förstÐ 

på var och en av vägsträckorna och bildar sedan medelvärdet av de tre uppskattningarna (Y ). Eller 

så betraktar man de tre sträckorna som en lång sträcka och gör en gemensam uppskattning (Z). 

Uttryckt i formler blir det alltså 

Y = 1 3 

( 

X2 

2 + X 3 

3 + X 5 

5 

) 

och Z = X 2 + X 3 + X 5 

2+3+5 . 

7


(a) Beräkna väntevärdet av Y och av Z. 

(b) Beräkna variansen av Y och av Z. Vilken av de två varianterna verkar lämpligast 

(c) Under den senaste snöstormen fck man observationerna x 2 = 8, x 3 = 5 och x 5 = 14. Använd 

Ð∗ = Z för att konstruera ett approximativt 95 % konfidensintervall förÐ. 

29. Om årsnederbörden X i en stad är en normalfördelad variabel med ett väntevärde på 50 tum och en 

variationskoefficient på 0.2, beräkna följande: 

(a) standardavvikelsen för X , 

(b) P(X < 30), 

(c) P(X > 60), 

(d) P(40 < X ≤ 55), 

(e) sannolikheten att X är inom 5 tum från medelårsnederbörden, 

(f) värdet x 0 sådant att sannolikheten av årsnederbörden överskrider x 0 är bara 1/4 av den att inte 

överskrida x 0 . 

30. The force in the cable of the truss shown in the figure, 

when subjected to a load W given by 

F ac = 

√ 

h 2 + l 2 

W 

h 

(a) If the load W is a normal variate N(ÑW,×W ), determine the distribution of the force F ac . 

(b) IfÑW = 20 metric tons,×W = 5 metric tons, and h = 1 2l, what is the probability that the 

force F ac will exceed 30 tons 

31. [∗] A simple structure consisting of a cantilever beam 

AB and a cable BC is used to carry a load S (see figure). 

The magnitude of the load varies daily, and its 

monthly maximum has been observed to be Gaussian 

with a mean of 25 000 kg, and a coefficient of variation 

of 30 %. 

(a) If the cable BC and beam AB are designed to 

withstand a 10-month maximum load (that is, a 

maximum load with a return period of 10 months) 

with factors of safety of 1.25 and 1.40, respectively, 

what are the probabilities of failure of 

the cable and of the beam 

(c) Assuming statistical independence between the failures of the beam and cable, what is the 

probability of failure of the structure (that is, that it will be unable to carry the load) 

(d) If (instead of part (a)) the strength of the cable were random N(50 000 kg, 10 000 kg), what 

would be its failure probability under the load S 

8


32. [ ∗ ] The cantilever beam shown in the figure is subjected to a random concentrated load P and a 

random distributed load W . Assume 

P is N(5, 1), in kN 

W is N(1, 0.2), in kN/m 

(a) Determine the mean and variance of the applied bending moment M a = 50W+10P. Assume 

thatÖW,P = 0.5 (that is, the loads are correlated). 

(b) The resisting moment of the beam M r which is statistically independent of the applied moment 

M a , is also Gaussian N(200, 50) in kNm. Determine the probability of failure of the 

beam, P(M r < M a ) assuming that M a is Gaussian. 

33. [∗] The figure shows a schematic procedure of the treatment system for the waste from a factory before 

it is dumped into a nearby river. Here X denotes the concentration of a pollutant feeding into 

the treatment system, and Y denotes the concentration of the same pollutant leaving the system. 

Suppose that for a normal day, X has a log-normal distribution with median 4 mg/l and the coefficient 

of variation (COV, variationskoefficient) is 20 %. Because of the erratic nature of biological 

and chemical reactions, the efficiency of the treatment system is unpredictable. Hence the fraction 

of the influent pollutant remaining untreated, denoted by F, is also a random variable. Assume F is 

also a log-normal variate with a median of 0.15 and COV of 10 %. Assume X and F are statistically 

independent. 

(a) Determine the distribution of Y and the values of its parameters. Note that Y = F · X . 

(b) Suppose that the maximum concentration of the pollutant permitted to be dumped into the 

river is specified to be 1 mg/l. What is the probability that this specified standard will be 

exceeded on a normal day 

(c) On some working days, owing to heavy production in the factory, the influent X will have 

a median of 5 mg/l instead. Assume that the distribution of X is still log-normal with the 

same coefficient of variation and that the efficiency of the treatment system does not change 

statistically. Suppose that such a heavy work day happens only 10 % of the time. Then, on a 

given day selected at random, what is the probability that the specified standard of 1 mg/l for 

Y will be exceeded 

34. The maximum annual flood level of a river is denoted 

by H (in meters). Assume that the probability density 

of H is described by the triangular distribution shown 

in the figure. 

f H 

(h) 

(a) Determine the flood height h 20 which has a mean 

recurrence interval (return period) of 20 years. 

(P(H > h 20 ) = 1/20) 

5 6 7 

h, m 

(c) What is the probability that during the next 20 years the river height H will exceed h 20 at least 

once 

(d) What is the probability that during the next 5 years the value of h 20 will be exceeded exactly 

once 

(e) What is the probability that h 20 will be exceeded at most twice during the next 5 years 

9


35. (a) Översvämningar modelleras av en Poissonprocess. Om medelintensiteten för översvämningar 

för en region A är en gång per åtta år, bestäm sannolikheten för att det inte blir några 

översvämmningar under en tioårsperiod; en översvämmning under tioårsperioden; mer än 

tre översvämmningar under tioårsperioden. 

(b) En byggnad är placerad i området A. Sannolikheten att den kommer att vattenskadas, när en 

översvämning inträffar, är 0.05. Beräkna sannolikheten att byggnaden kommer att klara sig 

om översvämning ej inträffar; om en översvämning inträffar; om n översvämningar inträffar. 

Antag statistiskt oberoende mellan översvämningarna. 

(c) Beräkna sannolikheten att byggnaden kommer att klara sig från vattenskador över en 10- 

årsperiod. 

36. [∗] The following is a 20-year record of the annual maximum wind velocity V in town A (in 

kilometers per hour, kph). 

Year V (kph) Year V (kph) 

1950 78.2 1960 78.4 

1951 75.8 1961 76.4 

1952 81.8 1962 72.9 

1953 85.2 1963 76.0 

1954 75.9 1964 79.3 

1955 78.2 1965 77.4 

1956 72.3 1966 77.1 

1957 69.3 1967 80.8 

1958 76.1 1968 70.6 

1959 74.8 1969 73.5 

(a) Based on this record, estimate the probability that V will exceed 80 kph in any given year. 

(b) What is the probability that in the next 10 years there will be exactly 3 years with annual 

maximum wind velocity exceeding 80 kph 

(c) A temporary structure is designed to resist a maximum wind velocity of 80 kph. What is the 

probability that this wind velocity will be exceeded during the 3 year lifetime of the structure 

(d) How would the answer in part (c) change, if the design wind velocity is increased to 85 kph 

37. [∗] Den genomsnittliga livslängden per mil vägbeläggning, 

se figuen, beskrivs som en lognormalvariabel med 

en median på 3 år och variationskoefficient på 50 %. 

Livslängden anger den användbara tiden till dess reparationer 

fordras. Antag att livslängderna hos två olika 

vägavsnitt på vardera en mil är statistiskt oberoende. 

Density 

Lognormal 

µ=3 

δ=50% 

0 2 4 6 8 

Life per mil, years 

(a) Vad är sannolikheten att en vägsträcka på en mil kommer att behöva repareras inom ett år 

(b) Antag att dimensioneringstiden utgörs av 5 %-percentilslivslängden x 0.05 (dvs, vägens livslängd 

kommer att vara mindre än dimensioneringstiden med sannolikheten 5 %). Beräkna dimensioneringstiden. 

(c) Vad är sannolikheten att det inte kommer att behövas några reparationer inom det första året 

av en 4-mils sträcka av vägen 

(d) Vad är sannolikheten att 2 av de 4 milen kommer att behöva repareras inom det första året 

(e) Vad är sannolikheten för att reparation behövs av 4-milssträckan inom de första 3 åren 

10

2 INFERENSTEORI 

(f) Vad är sannolikheten att den första reparationen av 4-milssträckan kommer att inträffa inom 

2:a året (Notera att förhållandena vid 2:a året inte är oberoende av det 1:a året.) 

38. [∗] Traffic on a one-way street that leads to a toll bridge is to be studied. The volume of the traffic 

is found to be 120 vehicles per hour on the average and out of which 2/3 are passenger cars and 

1/3 are trucks. The toll at the bridge is $0.50 per car and $2 per truck. Assume that the arrivals of 

vehicles constitute a Poisson process. 

(a) What is the probability that in a period of 1 minute, more than 3 vehicles will arrive at the 

toll bridge 

(b) What is the expected total amount of toll collected at the bridge in a period of 3 hours 

2 Inferensteori 

39. Antag att maximala våghöjden (H) på ett visst ställe ett visst år kan anses vara Rayleighfördelad, dvs 

täthetsfunktionen ges av 

{ x 

f H (x) = a e−x2 /(2a) 

för x ≥ 0, 

0 för x < 0. 

där a är en okänd positiv parameter. Man har under 8 år observerat följande maximala våghöjder (i 

meter): 

2.5 2.9 1.8 0.9 1.7 2.1 2.2 2.8 

(a) Beräkna ML-skattningen av a under förutsättning att de åtta observationerna kan anses vara 

oberoende observationer av H. 

(b) Beräkna med hjälp av skattningen av a, en skattning av 1000-årsvågen, med vilket menas en 

våg som är så hög att den i genomsnitt bara inträffar en gång per 1000 år. 

40. (forts. på 11.24) Ange skattningens väntevärde och beräkna dess medelfel. 

41. Ett mycket stort parti av enheter har felkvoten p, där p är högst 0.04. Man vill ta ut n enheter 

slumpmässigt ur partiet och på grundval härav konstruera en skattning av p med en standardavvikelse 

på högst 0.02. Hur stort måste n vara 

42. Ett föremål består av två delar A och B som har vägts ett antal gånger varvid man fick resultaten: 

A 12.07 12.01 12.04 

B 18.34 18.36 18.35 18.32 

Vidare har hela föremålet vägts två gånger varvid man fick: 

A+B 30.35 30.39 

Vägningarna är behäftade med oberoende slumpmässiga fel från samma fördelning. Beräkna med 

minsta-kvadrat-metoden en skattning av vikten hos hela föremålet. 

43. In the measurement of daily dissolved oxygen (DO) concentrations in a stream, let p denote the 

probability that the DO-concentration will fall below the required standard on a single day. DOconcentration 

is measured daily until unsatisfactory stream quality is encountered, and the number 

of days in this sequence of measurement is recorded. Suppose 10 sequences have been observed and 

the length of each sequence is 2, 5, 6, 4, 6, 6, 8, 5, 10, 1 days. Determine the maximum likelihood 

estimator for p, and estimate p on the basis of the observed data. 

11


44. [∗] The distribution of wave height has been suggested to follow a Rayleigh density function 

(täthetsfunktion), 

⎧ 

⎪⎨ 

h2 f H (h) = 

e− 1 2 (h/) 2 , h ≥ 0, 

⎪⎩ 

0, h < 0. 

with parameter. Suppose the following measurements on wave heights were recorded: 1.5, 2.8, 2.5, 

3.2, 1.9, 4.1, 3.6, 2.6, 2.9, 2.3 m. Estimate the parameterby the method of maximum likelihood. 

45. [∗] De oberoende stokastiska variablerna X i och Y j har väntevärden E(X i ) = 2a respektive E(Y j ) = a 

och känd varians V(X i ) = V(Y j ) = 1. Man vill skatta a med hjälp av n x mätningar av X i och n y 

mätningar av Y j . 

(a) Visa att (den oviktade) minsta-kvadrat-skattningen, a ∗ av a ges av a ∗ = 2∑ n x 

i=1 x i + ∑ n y 

j=1 y j 

4n x + n y 

. 

(b) Beräkna väntevärde och varians för a ∗ och ange en approximativ fördelning för a ∗ , under 

förutsättning att man gör många mätningar av X i och Y j . 

(c) Man har gjort 150 mätningar av X i och fått¯x = 14.5. Man har också gjort 100 mätningar av 

Y j och fått ȳ = 6.4. Beräkna ett värde på a ∗ tillsammans med ett approximativt 95 % tvåsidigt 

konfidensintervall för a. 

46. Data på nederbördens intensitet (i tum) är samlat mellan åren 1918 och 1946 i ett flodområde, 

enligt följande: 

År intensitet År intensitet År intensitet År intensitet 

1918 43.30 1925 43.90 1932 50.37 1939 42.96 

1919 53.02 1926 46.77 1933 54.91 1940 55.77 

1920 63.52 1927 59.12 1934 51.20 1941 41.31 

1921 45.93 1928 54.49 1935 39.91 1942 58.83 

1922 48.26 1929 47.38 1936 53.29 1943 48.21 

1923 50.51 1930 40.78 1937 67.59 1944 44.67 

1924 49.57 1931 45.05 1938 58.71 1945 67.72 

1946 43.11 

(a) Beräkna punktskattningar för väntevärdetÑoch variansen×2 . 

(b) Beräkna ett 95 % konfidensintervall för väntevärdetÑ. Antag att årsnederbördens intensitet är 

normalfördelad, och×=8. 

47. The daily dissolved oxygen concentration (DO) for a location A downstream from an industrial 

plant has been recorded for 10 consecutive days. 

Day DO (mg/l) 

1 1.8 

2 2.0 

3 2.1 

4 1.7 

5 1.2 

6 2.3 

7 2.5 

8 2.9 

9 1.6 

10 2.2 

12


(a) Assume that the daily DO-concentration has a normal distribution N(Ñ,×); estimate the 

values ofÑand×. 

(b) Determine the 95 % confidence interval for the true meanÑ. 

(c) Determine the 95 % lower confidence limit ofÑ. 

48. Consider the annual maximum wind velocity (V ) data are given in the following table. 

Year V (kph) Year V (kph) 

1950 78.2 1960 78.4 

1951 75.8 1961 76.4 

1952 81.8 1962 72.9 

1953 85.2 1963 76.0 

1954 75.9 1964 79.3 

1955 78.2 1965 77.4 

1956 72.3 1966 77.1 

1957 69.3 1967 80.8 

1958 76.1 1968 70.6 

1959 74.8 1969 73.5 

(a) Calculate the sample mean and sample variance of V . 

(b) Determine an approximate 99 % confidence interval for the mean velocity. 

49. Två maskiner A och B levererar under en viss dag enheter som har dimensionerna N(m 1 ,×) resp 

N(m 2 ,×), okända parametrar. Man vill jämföra medeldimensionerna m 1 och m 2 och samlar därför 

in följande material: 

A 12.37 12.32 12.41 12.34 12.23 12.36 

B 12.41 12.39 12.46 12.35 12.39 12.33 

Bestäm ett 95 % konfidensintervall för differensen m 2 − m 1 . 

50. [∗] En konstruktion är dimensionerad att vila på 100 stolpar. Nio provstolpar drevs ner vid slumpvis 

valda platser i marken till de knäcktes. Resultatet finns i följande tabell. 

Provstolpar Stolpkapacitet (ton) 

1 82 

2 75 

3 95 

4 90 

5 88 

6 92 

7 78 

8 85 

9 80 

(a) Beräkna medelvärdet och standardavvikelsen för de individuella stolparnas kapacitet. 

(b) Bestäm ett 98 % konfidensintervall för medelstolpskapaciteten. Antag×=6 är känd och att 

variationen i stolpkapaciteten är normalfördelad. 

(c) Beräkna ett 98 % konfidensintervall för medelstolpskapaciteten på grundval av okänd varians 

men med normalfördelad stolpkapacitet. 

13


51. [∗] En fysiker har gjort fem mätningar för att bestämma en fysikalisk konstant m. Mätningarna 

kan anses vara observationer av en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde m och känd 

standardavvikelse. Hon fick ett 90 % konfidensintervall (7.02, 7.14), vilket hon tyckte var för brett 

och hade för låg konfidensgrad. Hur många fler mätningar behövs för att få ett konfidensintervall 

som har konfidensgrad 

(a) 90 % och som är hälften så brett 

(b) 95 % och som har ungefär samma bredd 

52. [∗] The distance between A and C is measured in 2 stages: namely, AB and BC as shown in the 

figure. Measurements on AB and BC are recorded as follows: 

AB: 100.5, 99.6, 100.1, 100.3, 99.5 m 

BC: 50.2, 49.8, 50.0 m 

A B C 

(a) Compute the sample mean and sample variance of the measured distances for AB. 

(b) Compute the standard error of the estimated distance of AB. 

(c) Establish an approximate 98 % confidence interval for the actual distance AB. 

(d) If the distance AC is given by the sum of the estimated distances AB and BC, that is AC = AB 

+ BC, what is the standard error of the estimated total distance between A and C 

(e) Establish an approximate 98 % confidence interval on the actual length AC. 

53. Assume hypothetically that the concentration of dissolved solids and the turbidity of a stream are 

measured simultaneously for five separate days, selected at random throughout a year. The data are 

as follows. 

Day Dissolved solids Turbidity 

(mg/l) (JTU) 

1 400 5 

2 550 30 

3 700 32 

4 800 58 

5 500 20 

Because turbidity is easier to measure, a regression equation may be used to predict the concentration 

of dissolved solids on the basis of known turbidity. Assume that the variance of dissolved solid 

concentration is constant with turbidity. 

(a) What are the values of the intercept and slope parameters (and) of the regression line 

(b) Estimate the standard deviation of dissolved solid concentration about the regression line. 

54. Antag att data på vattenkonsumtion per dag och per capita har insamlats för fyra städer och sammanställts 

i tabell enligt följande (se också figur) 

14


x 

y 

Stad Befolkning Vattenkonsumtion 

(i 10 4 ) per capita 

(i 100 liter/dag) 

1 1.0 1.0 

2 4.0 1.3 

3 6.0 1.3 

4 9.0 1.4 

Vattenkonsumtion per capita 

y 

1.4 

1.3 

1.2 

1.1 

1 

0 5 10 

Befolkning / 10 4 

x 

(a) Om befolkningsstorleken ignoreras, vad blir då stickprovsvariansen s 2 y 

(b) Från observerade data tycks finnas en generell trend att vattenkonsumptionen per capita ökar 

med befolkningen i staden. Använd regressionsmodellen 

Y (x i ) =+x i +i 

däri ∈ N(0,×) och antas vara oberoende av varandra. 

i. Beräkna minsta-kvadrat-skattningarna avoch. 

ii. Uppskatta×. 

55. Sträckgränsen för betong kan mätas i ett splittertest i vilken en betongcylinder placeras i en testanordning 

där den utsätts för diametral kompression (ASTM C496-66). Kompression och sträckstyrka 

hos lättbetong och ordinär betong som funktion av ålder för en speciell blandning rapporteras av J. 

A. Hanson 1 : 

Lättbetong 

Betong 

Ålder Kompressions- Sträck- Kompressions- Sträck- 

(dagar) styrka gräns styrka gräns 

3 2620 276 2050 232 

7 3300 343 3250 282 

14 4320 407 3830 373 

28 5120 420 4560 336 

90 5850 458 5240 448 

180 6620 494 5390 454 

365 6840 513 5530 524 

2år 6760 492 5570 506 

(a) Gör en regressionsanalys av tillväxten av kompressionsstyrka med tiden. Använd en modell av 

formen: Styrka = a·tid b ·därär en lognormalfördelad stokastisk variabel. 

(b) Skatta standardavvikelsen hos kompressionsstyrkan som funktion av tiden. 

56. I en tillverkningsprocess vill man undersöka hur utbytet (y) påverkas av den tid (x) processen pågår. 

Resultat: 

1968 

x (tid (min)) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

y (utbyte) 58.1 59.7 61.9 61.0 60.5 60.3 59.0 54.7 49.0 44.9 37.3 29.3 

Man har ansatt en linjär regressionsmodell: y i =0 +1x i +i däri ∈ N(0,×). Parameterskattningarna 

har beräknats med hjälp av ett statistikprogram (STATA). Resultat: 

1 J. A. Hanson: Effects of Curing and Drying Environments on Splitting Tenside Strength of Concrete, ACI J., Table 3, July 

15


-------------------------------------------------------------- 

y | Coef. Std.Err. P>|t| [95% Conf. Interval] 

---------+---------------------------------------------------- 

beta_0 | 69.25 3.67 0.000 61.07 77.43 

beta_1 | -2.50 XXXX 0.001 XXXX XXXX 

-------------------------------------------------------------- 

Dessutom får vi att×∗ = 5.97 och kovariansmatrisen för parameterskattningarna 

) ( 

Var((∗ 0 13.48 −1.62 

) = ∗ 

1 −1.62 0.25 

) 

(a) Tyvärr var delar av utskriften oläslig (XXXX). Beräkna det saknade medelfelet (Std.Err.) för 

∗ 

1 samt tillhörande 95 %-iga konfidensintervall för parametern1. 

(b) Gör ett 95 % konfidensintervall för medelutbytet då x = 4. 

57. [∗] Ett belastningstest har utförts på ett aluminiumprov. Den applicerade belastningen och motsvarande 

förlängning av prov vid olika etapper av testen är registrerat enligt följande. 

Belastning Förlängning 

(kN) (10 −3 tum) 

x 

y 

1 9 

2 20 

3 28 

4 41 

5 52 

6 63 

(a) Antag att belastningsförlängningsrelationen hos aluminium över den här räckan av last är 

linjär. Beräkna minstakvadratskattningarna av Youngmodulen för det här aluminiumprovet. 

Tvärsektionsytan hos provet är 0.1 tum 2 och längden är 10 tum. Youngmodulen ges av lutningen 

hos belastningsförlängningskurvan. (tum/kN). 

(b) Antag förutom en linjär relation mellan styrka och förlängning att ingen belastning skulle 

motsvarande ingen förlängning; dvs regressionslinjen som antas vara 

E(Y (x)) =x 

Vad blir minsta-kvadrat-uppskattningen av Youngmodulen i det här fallet 

58. Under perioden 1988–1997 hände det att det var minusgrader i Målilla under 187 av de 310 marsdagarna 

och 64 av de 310 majdagarna. Antag, lite orealistiskt, att det blir minusgrader olika dagar 

oberoende av varandra. 

(a) Beräkna ett tvåsidigt, approximativt 95 % konfidensintervall för skillnaden mellan sannolikheten 

att det blir minusgrader en slumpmässigt vald dag i mars jämfört med en dag i maj. 

(b) Beräkna ett tvåsidigt, approximativt 95 % konfidensintervall för den förväntade skillnaden i 

totala antalet dagar med minusgrader i mars och maj ett visst år. 

59. Vi vill uppskatta hur vanligt det är att det snöar i april i Målilla och konstaterar att under de 300 

aprildagarna under perioden 1988–1997 så snöade det under 71 dagar. Antag att olika dagar är 

oberoende av varandra. 

16


(a) Beräkna ett approximativt 95 % konfidensintervall för sannolikheten att det snöar en slumpmässigt 

vald aprildag i Målilla. 

(b) Skatta sannolikheten att det inte snöar alls i april ett visst år och utnyttja intervallet i (a) till 

att göra ett 95 % tvåsidigt konfidensintervall för denna sannolikhet. 

60. För att undersöka om man kan modifiera tekniken att tillverka mineralull så att den blir behagligare 

att hanskas med (inte ”sticks”) låter man 16 försökspersoner i en blindprovning känna på två typer 

av ull, den ena tillverkad enligt gammal beprövad metod, den andra enligt en ny metod. Det visade 

sig att 12 personer föredrar den nya typen medan 4 föredrar den gamla. Sätt upp en lämplig statistisk 

modell och testa en hypotes som betyder att metoderna är likvärdiga, mot hypotesen att den nya 

metoden är bättre. 

61. Stickprov av mycket rent järn berett med två olika metoder A och B hade följande smältpunkter: 

A ( ◦ C) 1493 1519 1518 1517 1512 1514 1489 1508 1494 

B ( ◦ C) 1509 1494 1512 1483 1507 1491 

Formulera en statistisk modell baserad på normalfördelning och lika varians. 

(a) Testa hypotesen att de två metoderna ger samma medelsmältpunkter. 

(b) Konstruera ett konfidensintervall för skillnaden mellan de två medelsmältpunkterna. Konfidensgrad: 

95 %. 

62. Med avsikten att undersöka om gasskuren resp. maskinbearbetad fog påverkade slagseghetsegenskaperna 

i den värmepåverkande zonen hos svetsförband, tog man ut 10 par provplåtar av olika 

tjocklekar. För varje plåttjocklek tillverkades en gasskuren och en maskinbearbetad svetsfog. 

Slagseghetsprovstavar togs ur varje färdigsvetsat svetsprov. Följande värden erhölls för de 10 olika 

plåttjocklekarna. 

Plåttjocklek (kategori) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Brottgräns: 

Gasskuren (MPa) 387 545 390 610 530 358 605 546 510 230 

Maskinbearbetad (MPa) 402 547 385 615 528 367 611 551 508 245 

Testa huruvida det föreligger någon skillnad mellan gasskuren och maskinbearbetad fog avseende 

slagseghet samt gör ett 95 % konfidensintervall för denna skillnad om sådan föreligger. Vilken typ 

av fog skulle du rekommendera Ange de antaganden som du gjort. 

63. (forts. på uppg. 62) I en tidigare analys av samma datamaterial glömde man bort (struntade i) att 

plåtarna hade olika tjocklek och betraktande alltså slagseghetsmätningarna på gasskuren respektive 

maskinbearbetade fogar som två helt oberoende stickprov med samma varians×2 men väntevärdena 

ÑGas respektiveÑMaskin. 

Testa, med denna mindre välbetänkta modell, huruvida det föreligger någon skillnad mellan gasskuren 

och maskinbearbetad fog avseende slagseghet. Vad är det som blir annorlunda nu 

64. Det stryker omkring mårror i Ensliga bergen. Mårror är kalla och ju ensammare en mårra känner sig 

desto snabbare sprider sig kölden ut från henne. Hemulen (som har tröttnat på att samla frimärken 

och nu samlar på mårror istället) misstänker att det finns ett samband mellan en mårras storlek (mätt 

i hennes bottenyta x m 2 ) och hur ensam hon känner sig (mätt i köldutbredningshastighet i marken 

y m 2 /h). Hemulen har samlat in följande material från några slumpmässigt valda mårror vid olika 

tillfällen: 

mårra (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

bottenyta (x i ) 2.7 2.0 2.7 2.4 2.3 1.7 1.6 1.9 2.0 2.5 

köldutbredningshastighet (y i ) 5.1 6.1 5.3 3.6 4.7 6.1 5.4 5.2 4.6 5.1 

17


kldutbredningshastighet, y (m 2 /h) 

7 

6 

5 

4 

3 

1 1.5 2 2.5 3 

bottenyta, x (m 2 ) 

Han har dessutom räknat ut 

∑ 10 

∑ 10 

∑ 10 

i=1 (x i −¯x) 2 = 1.416, 

i=1 (x i −¯x)(y i − ȳ) = −1.046, 

i=1 (y i − ȳ) 2 = 4.796. 

Testa, på något lämpligt sätt, om det finns ett signifikant linjärt 

samband mellan köldutbredning och storlek hos mårror. Ange 

tydligt modell, hypoteser och vald signifikansnivå. 

65. Vi vill undersöka om fluorhalten i vattenprov från en gårdbrunn understiger gränsvärdet 0.2 (ppm). 

Om flourhalten är för låg bör man nämligen, av tandhälsoskäl, tillsätta fluor till vattnet. LåtÑ(ppm) 

vara den verkliga fluorhalten i vattnet. Ange om följande påståenden är sanna eller falska. (Du får 

1 poäng för ett korrekt svar, 0 poäng om du inte ger något svar och −1 om du anger ett felaktigt 

svar. Totalt kan du dock få lägst 0 poäng på uppgiften.) 

(a) Nollhypotesen H 0 :Ñ=0.2 respektive mothypotesen H 1 :Ñ


(b) Suppose further that good workmanship is defined as no more than 3 % of the welds contain 

flaws. If the risk of rejecting welds with good workmanship is limited to 10 % devise a sampling 

plan that will satisfy the producer’s and consumer’s risk requirements. Use any pertinent data 

of part (a) as necessary. 

(c) Consider a sampling plan that requires inspection of 25 welds and at least 24 welds must be 

flawless for acceptance. Those welds that are rejected are required to be repaired. Determine 

the AOQ curve and AOQL corresponding to this sampling plan. 

70. I en industri tillverkar man enheter som vid kontroll klassificeras som antingen korrekta eller defekta. 

Processen anses vara under kontroll om antalet defekta enheter är högst 20 %. Ett kontrolldiagram 

konstrueras nu genom att varje gång man kontrollerat 100 nya enheter ritar man in antalet defekta 

av dessa i diagrammet. Gör detta om antalet defekta enheter är 

12 25 10 32 30 15 14 20 

(a) Hur skall kontrollgränserna se ut om man förutsätter att enheter blir defekta oberoende av 

varandra med sannolikheten p 

(b) Förutsättningarna att enheterna blir defekta oberoende av varandra är inte alltid realistiska. 

Hur bör man göra istället 

71. [∗] En viss blåbärssoppstillverkare vill undersöka om vasaloppsåkare dricker mer soppa i år än 

normalt, på grund av det soliga vädret, genom att välja ut ett antal skidåkare slumpmässigt och 

mäta medelvärdet av deras soppkonsumtion. Antag att varje åkare dricker en slumpmässig, inte 

nödvändigtvis normalfördelad, mängd soppa med okänt väntevärdeÑdl och känd standardavvikelse 

×=20 dl. Normalt ärÑ=55 dl. 

(a) Sätt upp lämpliga hypoteser och konstruera ett test för att testa om medelkonsumtionen soppa 

är signifikant större i år än normalt, med approximativ signifikansnivå=0.05. Du får 

förutsätta att man kommer att behöva undersöka många åkare. 

(b) Hur många åkare måste man undersöka för att sannolikheten att upptäcka att medelkonsumtionen 

är större än normalt ska vara minst 80 % om medelkonsumtionen i verkligheten är 1 dl 

större än normalt 

(c) Medelkonsumtionen för dina undersökta skidåkare blev 60 dl. Kan man, med ditt test, påstå 

att medelkonsumtionen är större än normalt (Om du inte lyckats lösa uppgift (b) kan du själv 

välja något lämpligt antal åkare och räkna med det.) 

72. [∗] Filifjonkan oroar sig bl.a. för att mängden hallonsylt i hennes rulltårta skall vara för liten. För att 

vara helt perfekt skall mängden vara minst 1 tsk per skiva. Om den är mindre blir skivorna för torra 

och Filifjonkan får skämmas ögonen ur sig (anser hon). 

(a) Filifjonkan har skrapat ut hallonsylten ur tre oberoende rulltårtsskivor och fått att de innehöll 

0.96, 0.84 respektive 0.80 tsk hallonsylt. Vilka slutsatser ska hon dra om hon vill uttala sig 

med en signifikansnivå på 0.05 Använd ett lämpligt test och ange hypoteser och slutsatser. 

Man kan anta att mängden hallonsylt i en rulltårtsskiva är normalfördelad. 

(b) Gafsan påpekar det slösaktiga med att undersöka tre skivor och tycker det räcker med två. 

Filifjonkan oroar sig då för hur det kommer att påverka testets styrka. Hon antar, efter att noga 

ha studerat gamla mätningar, att standardavvikelsen för mängden hallonsylt i en rulltårtsskiva 

kan anses vara 0.04 tsk. 

Antag att Filifjonkan har som mål att med minst sannolikheten 0.90 upptäcka att hallonsyltmängden 

understiger 1 tsk då hon gör ett test på signifikansnivån 0.05. För vilka värden på 

den verkliga hallonsyltmängdenÑtsk är detta uppfyllt då man endast får undersöka två skivor 

19

3 SVAR 

3 Svar 

1. (a) (0,0,0), (0,0,1), (0,0,2), (0,2,0), 

(0,2,1), (0,2,2), (1,0,0), (1,0,1), 

(1,0,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,2,2), 

(2,0,0), (2,0,1), (2,0,2), (2,2,0), 

(2,2,1), (2,2,2) 

(b) (0,0,2), (0,2,0), (0,2,1), (0,2,2), 

(1,0,2), (1,2,0), (2,0,0), (2,0,1), 

(2,0,2), (2,2,0) 

2. (a) (6,5), (6,6), (6,7), (7,5), (7,6), (7,7); 

(8,5), (8,6), (8,7). 

(b) 1/3 

3. (a) Nej 

(b) 0.12 

(c) 0.76 

4. (a) P(Gul) = 1/2 

(b) P(B) = 1/2 

(c) Sätt A = Påsklilja och B = Gul. 

(d) P(Påsklilja | Gul) = 2/3 

5. (a) – 

(b) – 

(c) – 

(d) D och E är ej oförenliga, A och C är ej 

oförenliga. 

6. 2/3. Ledning: det kan vara lämpligt att införa 

händelserna A: ”det valda myntet har krona 

på båda sidorna” samt B: ”krona kommer 

upp”. 

7. (a) 0.998 

(b) 0.9989 

(c) 0.2; 0.8 

8. (a) 4·10 −5 

(b) 3·10 −6 

(c) 4.30·10 −5 

9. (a) 0.783 

(b) 0.574 

(c) 2/3 

10. (a) 0.25 

(b) 0.375 

11. (a) 0.006 

(b) 0.986 

12. (a) 1/6 

(b) Det första alternativet 

(c) 0.952 

⎧ 

0.08 för k = 0, 

⎪⎨ 

0.42 för k = 1, 

13. (a) 0, 1, 2, 3; p X (k) = 

0.42 för k = 2, ⎪⎩ 

0.08 för k = 3. 

(b) 0.92 

(c) 0.84 

14. 2/5 resp. 1/5 

15. (a) 1/4 

(b) 1/2 

(c) 2/3 

16. (a) e −Ðt 

(b) 1−e −Ðt 

(c) f T (t) =Ðe −Ðt . Ledning: P(T ≤ t) = 

P(minst en bil dyker upp i intervallet [0, t]) 

(d) T är exponentialfördelad. 

17. x 0.05 = 10·(− ln 0.05) 1/5 ≈ 12.45 

18. (a) – 

(b) 0.75 

19. (a) 0.04 

(b) 0.424 

(c) 0.708 

20. (a) 0.08 

21. 0.306 

(b) 0.227 

(c) 0.845 

22. (a) a = 1/1152 resp. b = 1/8 

(b) E(T ) = 11.5 resp. ˜ÑT = 12 

(c) 0.9375 

23. (a) $570,000 

(b) $78,102 

24. (a) 0.7 

(b) 3.1 

(c) 12.9−3.1 2 = 3.29 

20

3 SVAR 

(d) √ 3.29 ≈ 1.814 

(e) 66.03 

25. E(Y ) = 1/6, V(Y ) = 7/180, 

f Y (y) = 1/ √ y− 1 för 0 ≤ y ≤ 1 

26. (a) E(X ) = 1.3; V(X ) = 0.81 

(b) P(X < Y ) = 

= 0.3·(0.1+ 0.6)+0.1·0.6 = 0.27 

(c) P(X = Y ) = 0.3 2 +0.1 2 +0.6 2 = 0.46 

(d) P(X + Y ≥ 2) = 

= 0.3·0.6+0.1·(0.1+0.6)+ 

+ 0.6 = 0.85 

27. (a) 6.2, 0.05 

(b) 6.2, 0.5025 

(c) 0.501 

=Ð 

(d) Kalibreringsfelet, slumpmässiga variationen 

i surhet och det slumpmässiga 

mätfelet. Endast inverkan av det slumpmässiga 

mätfelet minskas i (c) 

28. (a) E(Y ) = E(Z) 

(b) V(Y ) = 31Ð/270; V(Z) =Ð/10. 

Varianten Z är bäst eftersom den varierar 

mindre. 

(c) (1.68, 3.72) 

29. (a) 10 

(b) 0.023 

(c) 0.159 

(d) 0.533 

(e) 0.383 

(f) 58.4 

30. (a) – 

(b) 0.906 

31. (a) 7.28·10 −3 , 8.88·10 −4 

(b) 8.16·10 −3 

(c) 2.275· 10 −2 

32. (a) 100, 300 

(b) 0.029 

33. (a) – 

(b) 0.011 

(c) 0.019 

34. (a) 6.68 m 

(b) 0.642 

(c) 0.204 

(d) 0.9988 

35. (a) 0.287, 0.358, 0.038 

(b) 1, 0.95, 0.95 n 

(c) 0.939 

36. (a) 0.15 

(b) 0.130 

(c) 0.386 

(d) 0.143 

37. (a) 0.010 

(b) 1.379 år 

(c) 0.960 

(d) 0.0006 

(e) 0.938 

(f) 0.541 

38. (a) 0.1429 

(b) $360 

39. (a) 2.418 

(b) 5.78 m 

40. E(p ∗ ) = p; 

d(p ∗ ) = 

41. 96 st 

42. 30.38 

√ 

0.067(1−0.067) 

1000+2000 

43. 0.189. Ledning: detta är en ffg-fördelning. 

44. 2.01 

45. (a) – 

(b) E(a ∗ ) = a; V(a ∗ ) = 1/(4n x + n y ) 

Enligt CGS: 

a ∗ ∈ ∼ 

N(a, 1/ √ 4n x + n y ) 

(c) (7.05, 7.20) 

46. (a) 50.70 tum, 59.40 tum 2 

(b) (47.787, 53.611) 

47. (a) 2.03 mg/l resp. 0.485 mg/l 

(b) (1.68, 2.38) mg/l 

(c) 1.74 mg/l 

48. (a) 76.5 resp. 14.27 

(b) (74.08, 78.92) 

21

3 SVAR 

49. (−0.019, 0.12) 

50. (a) 85.0 resp. 6.76 

(b) (80.34, 89.66) 

(c) (78.47, 91.53) 

51. (a) 15 st 

(b) 3 st 

52. (a) 100.0 m resp. 0.19 m 2 

(b) 0.195 m 

(c) (99.5, 100.5) m 

(d) 0.227 m 

(e) (149.4, 150.6) m 

53. (a) 364.0 mg/l resp. 7.79 mg/l/JTU 

(b) 59.0 mg/l 

54. (a) 0.03·10 4 liter 2 

(b) i.∗ = 1.01;∗ = 0.047 

ii.×∗ = 0.00735 (100 lit/dag) 

·× 

2 

55. (a) Lättbetong: Styrka ≈ 2487tid 0.175 , 

Betong: Styrka ≈ 2250tid 0.162 

√ 

(b) D(a·tid b ·) √= 

(a·tid b ) 2 · V() = 

= a·tid b · e×2 (e×2 − 1) ≈ 

≈ [Gaussapprox.] ≈ a·tid b 

Lättbetong: 295tid 0.175 . 

Betong: 366tid 0.162 

56. (a) d(∗ 1 ) = √ 0.25 = 0.5; 

= (−3.62, −1.39) 

I1 

(b) IÑ0 

= (54.50, 63.97) 

57. (a) 10.82· 10 −3 

(b) 10.27·10 −3 tum/kN. Ledning: gör en 

MK-skattning avgenom att utnyttja 

att E(Y i ) =x i . 

58. (a) I pmars−p maj 

= (0.326, 0.468) 

(b) I 31(pmars−p maj ) = (10.1, 14.5) 

59. (a) I p = (0.19, 0.28) 

(b) I (1−p) 30 = (0.00, 0.0019) 

60. Förkasta H 0 på nivån 0.05 

61. (a) Ingen signifikant skillnad 

(b) (−5.6, 21.2) ◦ C 

62. Ingen signifikant skillnad 

63. Resultatet blir ännu mera osignifikant eftersom 

s nu också innehåller skillnaderna 

mellan plåtar av olika tjocklek. 

64. Det finns inget signifikant linjärt samband. 

Ledning: ansätt en enkel linjär regression och 

testa om= 0. 

65. (a) Sant 

(b) Falskt 

(c) Falskt 

(d) Falskt 

66. (a) 0.168 

(b) 0.410 

67. n = 35, r = 3 

68. n = 2, L = 0.85 

69. (a) nej 

(b) r = 5, n = 100 

70. (a) k = 27 

(b) 

71. (a) – 

(b) 270 st 

(c) Medelkonsumtionen är signifikant 

större än normalt 

72. (a) Mängden hallonsylt är inte signifikant 

för liten. 

(b)Ñ

4 FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER 

x 2 

θ x 1 = V cos 

x 2 = V sin 

4 Fullständiga lösningar till ∗-märkta uppgifter 

5. (a) 

x 1 

(b) 

A 

B 

C 

A* 

20 

12 30 

20 

(c) 

A ∩ C 

A ∪ B 

A ∩ B ∩ C 

20 

12 

20 30 

(d) D och E är ej oförenliga eftersom D∩E ≠ ∅, A och C är ej oförenliga. 

6. A: Det kastade myntet har krona på båda sidorna. B: Det kastade myntet har krona uppåt. 

Det är lätt att tro att svaret är en halv. 

Sökt: P(A | B) = P(AB) 

P(B) 

= [A är en delmängd av B] = P(A) 

P(B) = 1/2 

3/4 = 2 3 . 

Man kan även resonera med hjälp av möjliga och gynnsamma: Det finns tre möjliga kronor som 

kan hamna uppåt. Två av dessa kronor, nämligen de som finns på det tvåkronade myntet, ger de två 

gynnsamma fallen med krona även på andra sidan. 

7. (a) P(H) = 1/10, P(M) = 1/10, P(L) = 8/10. Inför händelsen A = ”Tunneln håller”. Vi här då 

följande kända sannolikheter 

P(A | L) = 0.999 

P(A | M) = 0.998 

P(A | H) = 0.99 

Vi använder satsen om total sannolikhet och får 

P(A) = P(A | L)P(L)+P(A | M)P(M)++P(A | H)P(H) = 

= 0.999·0.8+0.998·0.1+0.99·0.1 = 0.998 

(b) P(M) = 1/9, P(L) = 8/9. 

P(A) = P(A | L)P(L)+P(A | M)P(M) = 

= 0.999·(8/9)+0.998·(1/9) ≈ 0.998889 

23

4 

FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER 

(c) 

P(L | A ∗ ) = P(L∩A∗ ) 

P(A ∗ ) 

= (1−0.999) · 

P(M | A ∗ ) = P(M∩A∗ ) 

P(A ∗ ) 

= (1−0.998) · 

= P(A∗ | L)P(L) 

P(A ∗ ) 

8/9 

1−0.998889 = 0.8 

= P(A∗ | M)P(M) 

P(A ∗ ) 

1/9 

1−0.998889 = 0.2 

= P(A∗ | L)P(L) 

1−P(A) 

= 

= P(A∗ | M)P(M) 

1−P(A) 

= 

8. (a) Låt G i representera händelsen att det sker brott i tvärbalk i. Brott i någon (minst en) av 

tvärbalkarna representeras då av händelsen G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 . 

P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ) = 

= 1−P((G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ) ∗ ) 

= 1−P(G ∗ 1 ∩ G∗ 2 ∩ G∗ 3 ∩ G∗ 4 ) = [Oberoende] 

= 1−P(G ∗ 1 )P(G∗ 2 )P(G∗ 3 )P(G∗ 4 ) 

= 1−(1−P(G 1 ))(1−P(G 2 ))(1−P(G 3 ))(1−P(G 4 )) 

= 1−(1−10 −5 ) 4 ≈ 3.99994 · 10 −5 

(b) Låt P i representera händelsen att det sker brott i pelare i. Brott i någon (minst en) av pelarna 

representeras då av händelsen P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 . 

P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) = 1−P((P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) ∗ ) = 1−P(P ∗ 1 ∩ P ∗ 2 ∩ P ∗ 3 ) 

= 1−P(P ∗ 1 )P(P∗ 2 )P(P∗ 3 ) = 1−(1−P(P 1))(1−P(P 2 ))(1−P(P 3 )) 

= 1−(1−10 −6 ) 3 ≈ 3·10 −6 

(c) Fel i bron uppstår om brott uppstår i någon pelare eller tvärbalk. 

P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 ∪ P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) = 

= P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )+P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) 

− P((G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )∩(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 )) 

= P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )+P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) 

− P(G 1 ∪ G 2 ∪ G 3 ∪ G 4 )·P(P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ) 

= 3.99994·10 −5 + 3·10 −6 − 3.99994· 10 −5 · 3·10 −6 = 4.299928·10 −5 

9. Sannolikheten att man väljer att bygga en järnvägsförbindelse dvs P(R) = 1/(1+2+3) = 1/6. 

Sannolikheten att man väljer att bygga en motorvägsförbindelse dvs P(H) = 2/(1+2+ 3) = 1/3. 

Sannolikheten att man väljer att bygga en flygförbindelse dvs P(A) = 3/(1+2+3) = 1/2. 

Låt K = händelsen att förbindelsen är klar inom ett år. 

P(K|R) = 0.50, P(K|H) = 0.75, P(K|A) = 0.90 

(a) Satsen om total sannolikhet ger 

P(K ) = P(K|R)P(R)+P(K|H)P(H)+P(K|A)P(A) = 

= 0.50(1/6) + 0.75(1/3) + 0.90(1/2) = 4.7/6 = 0.78333 

(b) P(A|K ) = P(K|A)P(A)/P(K ) = 0.90·(1/2)/0.78333 = 0.57447 

(c) P(H|H ∪ R) = P(H ∩ (H ∪ R))/P(H ∪ R) = P(H)/P(H ∪ R) = (1/3)/(1/6+ 1/3) = 2/3 

10. Låt T beteckna den tid det tar att fylla en lastare. P(T = 2) = 0.5, P(T = 3) = 0.5. 

24

4 


(a) Låt T 1 , T 2 ... beteckna lasttiden för lastare 1, 2,... i kön. +P(T 1 + T 2 < 5) = P(T 1 = 

2, T 2 = 2) = P(T 1 = 2)P(T 2 = 2) = 0.5·0.5 = 0.25. 

(b) Låt N beteckna antalet lastare i kön. Sannolikheten att N = 0, 1, 2 osv beskrivs av tabellen 2 . 

Vi söker P(T 1 + T 2 + ··· + T N < 5). Genom att betinga på antalet lastare i kö får vi med 

satsen om total sannolikhet 

N∑ 

P( T i < 5) = 

i=1 

= 

∞∑ N∑ 

P( T i < 5|N = k)P(N = k) = 

k=0 

i=1 

∞∑ k∑ 

P( T i < 5)P(N = k) 

= 1·P(N = 0)+P(T 1 < 5)P(N = 1)+P(T 1 + T 2 < 5)P(N = 2) 

+ P(T 1 + T 2 + T 3 < 5)P(N = 3)+P(T 1 + T 2 + T 3 + T 4 < 5)P(N = 4)+... 

= 1·0.2+ 1·0.1+0.25·0.3+ 0·0.3+0·0.1+··· = 0.375 

11. Låt A resp B beteckna händelserna att kabel A resp B håller för belastningen och med A ∗ resp B ∗ 

betecknar vi komplementen till dessa händelser. Ur uppgiften kan vi då identifiera sannolikheterna 

P(A ∗ ) = 0.02, P(A) = 0.98 och P(B ∗ |A ∗ ) = 0.30. 

(a) P(A ∗ B ∗ ) = P(B ∗ |A ∗ )P(A ∗ ) = 0.30·0.02 = 0.006. 

(b) Om lasten hänger kvar kan kabel A vara hel eller trasig, men B måste vara hel. Vi söker P(A|B) 

dvs sannolikheten att A är hel givet att lasten hänger kvar. 

P(A|B) = 1−P(A ∗ |B) = 1− P(A∗ B) 

= 1− P(B|A∗ )P(A ∗ ) 

= [Total slh i nämnaren] 

P(B) P(B) 

P(B|A ∗ )P(A ∗ ) 

= 1− 

P(B|A ∗ )P(A ∗ )+P(B|A)P(A) = 1− (1−0.30)0.02 

0.70·0.02+1·0.98 = 0.9859 

Ännu enklare blir räkningarna om man inser (rita ett Venn-diagram) att AB = A: P(A|B) = 

P(AB)/P(B) = P(A)/P(B) = 0.98/0.994 = 0.9859 

12. (a) Pos: Positivt utslag, S: Sjuk, S ∗ : Frisk. 

P(Pos|S)P(S) 

Sökt: P(S|Pos) = 

P(Pos|S)P(S)+P(Pos|S ∗ )P(S ∗ ) = 0.99·0.01 

0.99·0.01+0.05·0.99 = 1 6 

(b) Om man lyckas ändra 0.05 till 0 fås den sökta sannolikheten till 1. En ändring av 0.99 (obs. 

inte den som har med 99% av patienterna att göra) till 1 ger att den sökta sannolikheten 

ökar från ca 0.167 till ca 0.168. Dessvärre går det nog inte i verkligheten att minska antalet 

falsklarm utan att minska chansen till önskade larm. 

18. (a) 

(c) Den sökta sannolikheten blir då (samma resonemang som i (a) fast andra värden) 

0.99·0.50 

0.99·0.50+0.05·0.50 ≈ 0.952. 

f T (t) = dF T (t) 

dt 

⎧ 

⎨ 

= 

⎩ 

2t − 2, 1 ≤ t ≤ 2 

0, t < 1 

0, t > 2 

(b) P(T > 1.5) = 1−P(T ≤ 1.5) = 1−F T (1.5) = 1−(1.5 2 − 2·1.5+1) = 0.75 

19. (a) 0.2·0.2 = 0.04 

2 Det relativt lilla antalet observationer (30 st) gör att denna observerade fördelning av antalet lastare i kö, är relativt osäker 

och kanske inte fullt återspeglar fördelningen för antalet lastare i kö i det långa loppet. 

k=0 

i=1 

25

4 


(b) Låt X beteckna antalet sprickor som registreras. Satsen om total sannolikhet ger 

P(X = 0) = P(X = 0|N = 0)P(N = 0)+P(X = 0|N = 1)P(N = 1)+··· = 

2∑ 

= P(X = 0|N = k)P(N = k) = 

k=0 

= 1·0.3+0.2·0.6+0.2 2 · 0.1 = 0.424 

(c) Med hjälp av Bayes sats fås 

P(N = 0|X = 0) = 

P(X = 0|N = 0)P(N = 0) 

P(X = 0) 

= 1·0.3 

0.424 ≈ 0.7075. 

20. (a) Eftersom ytan under täthetsfunktionen är 1 gäller att 5a+(20−5)a/2 = 1 dvs a = 1/12.5 = 

0.08. Tätheten kan således skrivas 

⎧ 

⎨ 0.08, 0 < x < 5 

f X (x) = 0.08(20−x)/15, 5 < x < 20 

⎩ 

0, för övrigt 

(b) Y anger vattennivån i damm B vid jordbävningstillfället. X anger höjningen av nivån i damm 

B orsakat av att vatten tillkommer från damm A. Vi söker P(Y + X > 40). Genom att betinga 

på de möjliga värden som Y kan anta får vi enligt satsen om total sannolikhet 

P(X + Y > 40) = 

= P(X + Y > 40|Y = 25)P(Y = 25)+P(X + Y > 40|Y = 35)P(Y = 35) = 

= P(X > 15|Y = 25)P(Y = 25)+P(X > 5|Y = 35)P(Y = 35) = 

= P(X > 15)P(Y = 25)+P(X > 5)P(Y = 35) = 0.0666· 0.7+0.6·0.3 = 0.2266 

Där P(X > 15 och P(X > 5) kan räknas ut genom triangelareor (se figuren): 

P(X > 15) = 

∫ ∞ 

15 

f X (x) dx = (20−15)·(0.08(20−15)/15)/2 ≈ 0.066666 

P(X > 5) = (20−5)·(0.08(20−5)/15)/2 = 0.6 

(c) 

5 15 20 5 20 

P(Y = 25|X + Y < 40) = 

= 

P(Y = 25, X + Y < 40) 

= 

P(X + Y < 40) 

P(Y = 25)P(X < 15) 

P(X + Y < 40) 

P(Y = 25, X < 15) 

P(X + Y < 40) 

= 0.7·0.93333 

0.773333 

= 0.8448 

= 

21. P(X ≤ 7.5) = ∫ 7.5 

−∞ f X (x) dx = ∫ [ ] 

7.5 

7.5 

1 

6 2.7 (1 − x 

15 ) dx = 1 x2 

2.7 

(x − 

30 ) 6 

0.3056. 

27. (a) Z: mätvärdet, Y : mätfelet. 

E(Z) = E(5.8+Y ) = 5.8+E(Y ) = 5.8+=6.2 

D(Z) = D(5.8+Y ) = D(Y ) = 0.05, ty allm. gäller V(aX + b) = a 2 V(X ). 

(b) E(Z) = E(X + Y ) = E(X )+E(Y ) = 5.8+0.4 = 6.2 

D(Z) = D(X + Y ) = √ D(X ) 2 + D(Y ) 2 = √ 0.5 2 + 0.05 2 ≈ 0.502. 

26 

= 2.0833 − 1.7778 =

4 


(c) D(¯Z) = D(Z 1 /3+Z 2 /3+Z 3 /3) = (alla tre proverna tas samma dag) = D(X/3+Y 1 /3+ 

X/3 + Y 2 /3 + X/3 + Y 3 /3) = D(X + Y 1 /3 + Y 2 /3 + Y 3 /3) = √ 0.5 2 + 3·0.05 2 /9 = 

√ 

0.5 2 + 0.05 2 /3 ≈ 0.501. 

(d) De tre källorna är den slumpmässiga variationen i surhet, det slumpmässiga mätfelet och det 

systematiska kalibreringsfelet. Av dessa är det endast inverkan från det slumpmässiga mätfelet 

som minskas i (c). Vill man bekämpa den stora källan till variation, variationen ivattnets surhet, 

måste 

2Ðman istället mäta över ett antal olika dagar. 

28. (a) E(Y ) = E( 1 ( 

X2 

3 2 + X 3 

3 + X ) 

5 

) = 1 ( E(X2 2Ð+3Ð+5Ð 

) 

+ E(X 3) 

+ E(X ) 

5) 

= 

5 3 2 3 5 

= 1 ( ) 

+ + =Ð. 

3 2 

3Ð3 

5Ð5 

E(Y ) = E( 

2Ð 3Ð 

X 2 + X 3 5Ð 

+ X 5 

2+3+5 ) = E(X 2)+E(X 3 )+E(X 5 ) 

= =Ð. 

2+3+5 2+3+5 

(b) V(Y ) = V( 1 ( 

X2 

3 2 + X 3 

3 + X ) 

5 

) = 1 ( V(X2 2Ð+3Ð+5Ð 

) 

5 3 2 2 2 + V(X 3) 

3 2 + V(X ) 

5) 

5 2 = 

= 1 ( ) 

3 2 2 2 + 3 2 + 5 2 = 

270Ð. 

31 

V(Z) = V( X 2 + X 3 + X 5 

2+3+5 ) = V(X 2)+V(X 3 )+V(X 5 ) 

(2+3+5) 2 = 

(2+3+5) 2 = 10Ð. 

1 

√Ð 

10 ) med 

Eftersom 1 10 < 31 så är Z bättre än Y eftersom den har mindre varians. 

270 

(c) EftersomÐ∗ = 8+5+14 

2+3+5 = 2.7 och X 2 + X 3 + X 5 ∈ Po(2Ð+3Ð+5Ð) = Po(10Ð) med 

10Ð≈10· 2.7 = 27 > 15 så kan vi normalapproximera X 2 + X 3 + X 5 ∈ ∼ 

N(10Ð, √ 10Ð) och 

Ð∗ = X 2 + X 3 + X 5 

∈ 

10 ∼ 

N(Ð, 

√ 

2.7 

IÐ= (Ð∗ ±Ð/2 · d(Ð∗ )) = (2.7±Ð0.025· 

) = (1.68, 3.72). 

10 

}{{} 

1.96 

31. Den månatliga maximala belastningen L är normalfördelad med väntevärde E(L) = 25 000 och 

standardavvikelse D(L) =×L = 0.30 · E(L) = 7 500, dvs L ∈ N(25 000, 7 500). 10-månaders 

maximala belastningen är en last så stor att sannolikheten för att få en så stor maximal last är 1/10, 

dvs om denna last betecknas l 10 så gäller att P(L > l 10 ) = 0.10. Eftersom L ∈ N(25 000, 7 500) 

gäller att 

) 

l10 − 25 000 

P(L > l 10 ) = 1−( =⇒ 

7 500 

l 10 − 25 000 

= 1.28 dvs l 10 = 34 600 

7 500 

(a) Dimensioneringen har skett med säkerhetsfaktorer 1.25 respektive 1.40 dvs kabeln klarar 1.25· 

34 600 kg = 43 250 kg och balken klarar 1.40 · 34 600 kg = 48 440 kg. Sannolikheten att 

kabel resp. balk ej klarar den pålagda belastningen ges av 

) 

43 250−25 000 

P(L > 43 250) = 1−( = 1−(2.4333) 

7 500 

= 1−0.992724 = 0.007276 

resp. 

) 

48 440−25 000 

P(L > 48 440) = 1−( = 1−(3.12533) 

7 500 

= 1−0.999112 = 0.000888 

27

4 


(b) ”Konstruktionen” fungerar ej om minst en av balk eller kabel brister. Sannolikheten för detta 

är 1−(1−0.007276)(1 − 0.000888) = 0.008157. 

(c) Låt C beteckna kabelns hållfasthet. C ∈ N(50 000, 10 000). Vi söker sannolikheten för att 

lasten överstiger kabelns kapacitet, dvs P(L > C) = P(L−C > 0). Det gäller att 

L−C ∈ N(25 000−50 000, √ 7 500 2 + 10 000 2 ) = N(−25 000, 12 500) 

och således 

) 

0−(−25 000) 

P(L−C > 0) = 1−( = 1−(2) = 0.02275. 

12 500 

32. (a) E(M a ) = E(50W + 10P) = 50E(W )+10E(P) = 50·1+10·5 = 100 och 

V(M a ) = V(50W + 10P) = 50 2 V(W )+10 2 V(P)+2·50·10C(W, P). 

Eftersom C(W, P) =ÖW,PD(W )D(P) = 0.5·0.2·1 = 0.1 gäller att 

V(M a ) = 50 2 · 0.2 2 + 10 2 · 1 2 + 2·50·10·0.1 = 300. 

(b) Om W och P hade varit oberoende så hade också M a varit normalfördelad eftersom M a är en 

linjär kombination av W och P. Om W och P följer en bivariat normalfördelning (förutom 

att de var och en är normalfördelade) så gäller att M a är normalfördelad även om W och P är 

beroende. 

M a ∈ N(100, √ 300) 

M r ∈ N(200, 50) 

Eftersom M r − M a ∈ N(200−100, √ 50 2 + ( √ 300) 2 ) så gäller att 

P(M r < M a ) 

= P(M r − M a < 0) =( 0−100 

√ 

2 800 

) 

=(−1.889822) = 

= 1−(1.889822) = 1−0.9706090 = 0.02939099 

33. Y = X·F ger ln Y = ln X+ln F. Eftersom X är lognormalfördelad gäller att ln X är normalfördelad 

och p.s.s. för ln F. Eftersom X och F är oberoende blir därför ln Y , summan av de två oberoende 

normalfördelade variabler, också normalfördelad och således blir Y lognormalfördelad. 

(a) Parametrarna i lognormalfördelningen för X (då ln X ∈ N(Ñlnx,×lnx)) kan relateras till dessa 

genom×lnx = 

√ 

ln(1+2 x ) = √ ln(1+0.20 2 ) = 0.198 

Ñlnx = ln x 0.50 = ln 4 = 1.386 

Parametrarna i lognormalfördelningen för F kan relateras till dessa genom 

√ 

×lnf = ln(1+2 F 

) = √ ln(1+0.10 2 ) = 0.09975 

Ñlnf = ln f 0.50 = ln 0.15 = −1.8971 

ParametrarnaÑlny och 

sigma lny i fördelningen för Y ges, eftersom F och X är oberoende, av 

Ñlny = E(ln Y ) = E(ln F)+E(ln X ) =Ñlnf +Ñlnx = −0.5108 

×2 

lny = V(ln Y ) = V(ln F)+V(ln X ) =×2 lnf +×2 lnx = 0.2217 2 

(b) Vi söker P(Y > 1). 

) 

0−(−0.5108) 

P(Y < 1) = P(ln Y < ln 1) = P(ln Y < 0) =( =(2.3040) = 

0.2217 

= 0.989276 

P(Y > 1) = 0.010724 

28

4 


(c) Låt H beteckna händelsen att den slumpvis valda dagen är en heavy work day. Då gäller enligt 

satsen om total sannolikhet att 

P(Y ≤ 1) = P(Y ≤ 1 | H)P(H)+P(Y ≤ 1 | H ∗ )P(H ∗ ). 

Eftersom P(H) = 0.10 = 1−P(H ∗ ) och P(Y ≤ 1 | H ∗ ) = 0.989276 enligt (b) så återstår 

enbart att beräkna P(Y ≤ 1 | H). 

Under en dag med hög produktion gäller attÑlnx = ln 5 = 1.609437 och således 

Ñlny = −0.287682 medan parametern×lnx och därmed×lny är oförändrad. 

) 

0−(−0.287682) 

Vi få således P(Y ≤ 1 | H) = P(ln Y < 0 | H) =( = 

0.2217 

=(1.297618) = 0.9027883 och 

P(Y ≤ 1) = P(Y ≤ 1 | H)P(H)+P(Y ≤ 1 | H ∗ )P(H ∗ ) = 

= 0.1·0.9027883 + 0.9·0.989276 = 0.9806271 

P(Y > 1) = 0.0193729 

36. Med hjälp av resultat uppmätta under 20 år vill vi uppskatta sannolikheten för olika händelser. 

Naturligtvis kan denna relativt korta tid inte bjuda på hela spektrat av möjliga vindhastigheter, men 

vi kan dock ändå få en uppfattning om storleksordningen på vissa sannolikheter även om de kommer 

att bli relativt osäkra. 

(a) Under 3 år av de 20 överskrider vindhastigheten 80 km/h. Vi uppskattar sannolikheten för att 

vindhastigheten överstiger 80 km/h till p ∗ = 3/20 = 0.15. 

(b) Eftersom vi antar att vindhastigheten olika år är lika stor och oberoende av varandra blir, X , 

antalet år av 10 som vindhastigheten överskrider 80 km/h Bin(20, p), där p ∗ = 3/20 enligt 

(a). 

Sannolikheten att det under de kommande 10 åren blir exakt 3 år med vindhastigheter över 

80 km/h = P(X = 3) = 

0.12983. 

( 10 

3 

) 

p 3 (1 − p) 10−3 som skattas med 

( 10 

3 

) 

0.15 3 0.85 7 = 

(c) Sannolikheten att det under en period på 3 år, det åtminstone ett år blir en 

( 

vindhastighet på 

3 

mer än 80 km/h = P(Y ≥ 1) = 1−P(Y < 1) = 1−P(Y = 0) = 1− p 

0) 

0 (1−p) 3−0 

som uppskattas till 1−(1−0.15) 3 = 0.38588 där Y ∈ Bin(3, p) enligt samma resonemang 

som i (a) 

(d) Under 1 år av de 20 överskrider vindhastigheten 85 km/h. Vi uppskattar sannolikheten för att 

vindhastigheten överstiger 85 km/h till p ∗ z = 1/20 = 0.05. Sannolikheten att det under en 

period på 3 år, det åtminstone ett år blir en vindhastighet på mer än 85 km/h = P(Z ≥ 1) = 

1−P(Z = 0) = (1−p z ) 3 som uppskattas till 1−(1−0.05) 3 = 0.14263 där Z ∈ Bin(3, p z ) 

enligt samma resonemang som i (a). 

37. X är livslängden hos vägbeläggning av längden 1 mil. X är lognormalfördelad med median x 0.50 = 3 

år och variationskoefficientx = 0.5. ParametrarnaÑlnx och×lnx i lognormalfördelningen kan 

relateras till dessa genom 

Ñlnx = ln x 0.50 = ln 3 ≈ 1.09861 

√ 

×lnx = ln(1+2 x ) = √ ln(1+0.5 2 ) ≈ 0.472381 

(a) Sannolikheten att en vägsträcka har en livslängd kortare än ett år 

) ln 1−Ñlnx 

P(X < 1) = P(ln X < ln 1) =( 

×lnx 

= 1−(2.322568) = 1−0.989899 = 0.010101 = p a 

=(−Ñlnx/×lnx) =(−2.322568)) 

29

4 


(b) 5 % percentilen x 0.05 fås ur 

) 

ln x0.05 −Ñlnx 

0.05 = P(X < x 0.05 ) =( 

×lnx 

⇐⇒ 

ln x 0.05 −Ñlnx 

×lnx 

= −1.6449 =⇒ 

x 0.05 = 1.37932 

(c) Sätt Y = antal vägsträckor som kommer att behöva repareras∈ Bin(4, p a ) så att P(Y = 0) = 

(1−p a ) 4 = 0.989899 4 = 0.960202 

(d) P(Y = 2) = ( 4 

2) 

p 

2 

a (1−p a ) 2 = 6·0.0001 = 0.0006 

(e) 1−P(X > 3) 4 = 1−(1−((ln 3−Ñlnx)/×lnx)) 4 = 1−(1−(0)) 4 = 1−0.5 4 = 0.9375. 

(f) Låt T vara livslängden hos vägbeläggning av längden 4 mil. Då gäller enligt (c) att P(T > 

1) = 0.96. Vi söker P(1 < T < 2). Det gäller att T = min(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) där X i representera 

livslängden hos vägbeläggning av längden 1 mil och alla X i har samma fördelning som X och 

är oberoende. Det gäller således att 

P(T > x) = P(X i > x) 4 och 

P(1 < T < 2) = P(T > 1)−P(T > 2) = P(X i > 1) 4 − P(X i > 2) 4 . 

På samma sätt som i (a) får vi 

P(X i > 2) =((Ñlnx − ln 2)/×lnx) =(0.8583433) = 0.8046464 och således 

P(1 < T < 2) = 0.960202 − 0.4191991 = 0.5410028. 

38. X (t) ∈ Po(120t) med E(X (t)) = 120t. 

(a) X ( 1 

60 

) ∈ Po(120/60) = Po(2) 

P(X ( 1 60 ) > 3) = 

= 1−P(X ( 1 

60 ) = 0)−P(X ( 1 

60 ) = 1)−P(X ( 1 

60 ) = 2)−P(X ( 1 

60 ) = 3) = 

= 1−e −2 − e −2 2 1 /1!−e −2 2 2 /2!−e −2 2 3 /3! = 0.142873 

(b) E(X (3)) = 120 · 3 = 360. Det förväntade antalet personbilar är då 2 3 · 360 vilka var och en 

betalar $0.50, och det förväntade antalet lastbilar blir 1 3 · 360 vilka var och en betalar $2. Den 

förväntade tullavgiften blir då 2 3 · 360·$0.50+ 1 360·$2 = $360. 

3 

30

4 


44. Rayleigh-fördelning med täthetsfunktionen 

f H (h) = h2 e− 1 2 (h/) 2 , h ≥ 0 

Observationer: 1.5, 2.8, 2.5, 3.2, 1.9, 4.1, 3.6, 2.6, 2.9, 2.3. 

ML-skattning avgenom maximering av Likelihood-funktionen 

L() = 

n∏ 

i=1 

f H (x i ) = x 1 

2 e− 12 (x 1/) 2 x n 

·...· 

2 e− 12 (xn/) 2 = 

= 1 

1 ∑ 

− · x 

2n 1 ·...·x n · e x 2 

22 i 

l() = ln L() = −2n ln+ ∑ ln x i − 1 

∂l ∑ 

− 

2n+ ∂= 13 x 

2 

i = 0 ⇒ 

2 

= 1 n∑ 

xi 2 ⇒∗ = √ 1 

2n 

2n 

i=n 

22 

∑ 

x 

2 

i 

n∑ 

xi 2 ≈ 2.0052 

i=n 

∑n x 

∑ 

45 (a) Eftersom Q(a) = (x i − 2a) 2 + (y j − a) 2 där 

(b) 

dQ(a) 

da 

i=1 

n x 

∑ 

= −2·2 (x i − 2a)−2 

i=1 

a ∗ = 2∑ n x 

i=1 x i + ∑ n y 

j=1 y j 

4n x + n y 

. 

n y 

j=1 

∑ 

n y 

j=1 

∑n x 

(y j − a) = 2 x i − 4n x a+ 

i=1 

∑ 

n y 

j=1 

y j − n y a = 0 så får vi 

E(a ∗ ) 

V(a ∗ ) 

= E( 2∑ n x 

i=1 X i + ∑ n y 

4n x + n y 

j=1 Y j 

) = 2∑ n x 

i=1 E(X i)+ ∑ n y 

j=1 E(Y j) 

4n x + n y 

= 2∑ n x 

i=1 2a+∑ n y 

j=1 a 

= 4n xa+n y a 

= a, 

4n x + n y 4n x + n y 

= V( 2∑ n x 

i=1 X i + ∑ n y 

j 

4n x + n y 

Y j 

) = 22∑ n x 

i=1 V(X i)+ ∑ n y 

j=1 V(Y j) 

(4n x + n y ) 2 

= 22∑ n x 

i=1 1+∑ n y 

j=1 1 

(4n x + n y ) 2 = 4n x + n y 

(4n x + n y ) 2 = 1 

4n x + n y 

∑n x 

Eftersom n x och n y är stora så gäller, enligt CGS, att X i ∈ ∼ 

N(n x E(X i ), √ n x V(X i )) = 

N(n x 2a, √ n x ) och 

∑n x 

linjärkombination av X i och 

∑ 

n y √ 

Y j ∈ ∼ 

N(n y E(Y j ), n y V(Y j )) = N(n y a, √ n y ) så att, eftersom a ∗ är en 

j=1 

i=1 

a ∗ ∈ ∼ 

N(E(a ∗ ), √ V(a ∗ )) = N(a, 

∑ 

n y 

Y j , det gäller att 

j=1 

1 

√ 4nx + n y 

). 

i=1 

(c) a ∗ = 

2·150·¯x + 100·ȳ 

4·150+100 

≈ 7.13. 

31

4 


I a = (a ∗ 1 

1 

±Ð/2 · √ ) = (7.13±Ð0.025· 

√ ) = (7.05, 7.20). 

4nx + n y 4·150+100 

50. (a) n = 9,¯x = 85.00, s = 6.7639 

}{{} 

1.96 

(b)×=6,=0.02, EftersomÑ∗ = ¯X ∈ N(Ñ,×/ √ n) med×=6känd: 

IÑ=¯x ±Ð/2 ·×√ n 

= [Ð0.01 = 2.3263] = 

= 85.00±2.3263· 

6 

√ 

9 

= [80.3474, 89.6526] 

(c) EftersomÑ∗ = ¯X ∈ N(Ñ,×/ √ n) där×är okänd och skattas med 

s = √ ∑ (xi −¯x) 2 /(n−1): 

·× 

s 

IÑ=¯x ± t/2(n−1)· √ = [t/2(n−1) = t 0.01 (8) = 2.90] = 

n 

= 85.00±2.90· 6.7639 = [78.4616, 91.5384] 

3 

51. Ett 90 % konfidensintervall förÑmed känt×, n 1 = 5 ges, eftersomÑ∗ = ¯X ∈ N(Ñ,×/ √ n 1 ), av 

IÑ= ¯x ±Ð/2 √ = 7.08±1.6449· 0.0816 √ = [7.02, 7.14] 

n1 5 

Man ser att bredden på intervallet bestäms avÐ/2 ·×√ n 

. 

(a) Med bibehållen konfidensgrad (Ð/2) kan man få ett smalare intervall genom att öka n. 

·× 

Ð/2 

·× 

Ð2/2 

·× 

√ = 1 

n2 2Ð/2 

·× 

√ ≈Ð1/2 n2 

1 

√ 

n2 

= 

1 

√ 

n1 

2 √ n 1 

n 2 = 4n 1 = 4·5 = 20 

dvs 20−5 = 15 fler mätningar. 

(b) Ett 95 % konfidensintervall med ungefär samma bredd. 

√ 

n1 

Ð2/2 

√ 

n2 

≈Ð1/2 

√ 

n1 

n 2 ≈Ð2 0.025 

Ð2 

0.05 

n 1 = 1.962 

1.6449 2 · 5 ≈ 7.0991 

Nu är frågan om man ska avrunda uppåt eller nedåt. Om vi tittar på intervallen: 

n = 7 ¯x ± 1.96·×√ 

7 

= [7.0196, 7.1404] 

n = 8 ¯x ± 1.96·×√ 

8 

= [7.0235, 7.1365] 

Vi ser att för n = 7 blir intervallet något för brett och för n = 8 ganska mycket smalare. 

52. (a) LåtÑAB beteckna avståndet mellan A och B. En mätning X i =ÑAB +i störs av ett mätfeli, 

där E(i) = 0, V(i) =×2 X . De n (n = 5), mätningarna x 1 , x 2 ,...,x n ger ∑ n 

∑ 1 x i = 500.0, 

n 

1 x2 i = 50000.76, ¯x = 100.0, s = 0.43589, s 2 = 0.19. 

(b) Det gäller att V(¯X ) = V( ∑ X i )/n 2 = nV(X i )/n 2 = V(X i )/n =×2 X 

/n och D(¯X ) =×X/ √ n. 

×X skattas med s och vi får därför en skattning på D(¯X ) som d(¯X ) = s/ √ 5 = 0.19494 

32

4 


(c) Om X i är normalfördelade kan ett konfidensintervall beräknas ur 

IÑAB = ¯x ± t 0.01(4)·s/ √ 5 = 100±3.75·0.19494 = (99.26958, 100.73042) 

Om vi ej vet något om X utan utnyttjar CGS för att normalapproximera ¯X , så kan vi använda 

IÑAB = ¯x ±Ð0.01 · s/ √ 5 = 100±2.33·0.19494 = (99.5, 100.5) 

som är ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad 0.98. 

(d) LåtÑBC beteckna avståndet mellan B och C. En mätning Y i =ÑBC +i störs av ett mätfeli, 

där E(i) = 0, V(i) =×2 Y 

. AvståndetÑAB +ÑBC uppskattas med¯x + ȳ. Då gäller att 

V(¯X + Ȳ ) = V(¯X )+V(Ȳ ) = V(X i )/5+V(Y i )/3 =×2 X /5+×2 Y /3 

Denna kan uppskattas med sx/5+s 2 y/3 2 = 0.43589 2 /5+0.20 2 /3 = 0.0513333. Således har 

√ 

vi d(¯X + Ȳ ) = sx 2/5+s2 y /3 = √ 0.0513333 = 0.227. 

(e) Ett konfidensintervall ges av 

IÑAC = (¯x + ȳ±Ð0.01√ 0.051333) = (149.47, 150.53) 

Detta intervall har en approximativ konfidensgrad av 98 %. 

57. 

∑ 

xi = 21, ∑ x 2 i = 91, ∑ y i = 213, ∑ y 2 i = 9619, ∑ x i y i = 935. 

(a) 

S xx = ∑ (x i −¯x) 2 = ∑ x 2 i − ( ∑ x i ) 2 /n = 91− 21 2 /6 = 17.5 

S yy = ∑ (y i − ȳ) 2 = ∑ y 2 i − ( ∑ y i ) 2 /n = 9619− 213 2 /6 = 2057.5 

S xy = ∑ (x i −¯x)(y i − ȳ) = ∑ x i y i − ( ∑ x i )( ∑ y i )/n = 935−21·213/6 = 189.5 

∗ 

= S xy /S xx = 189.5/17.5 = 10.82 

(b) En regressionsmodell utan intercept står inte (direkt) i formelsamlingen men en härledning av 

minstakvadrat-skattningen är enkel. Minimera 

n∑ 

Q() = (y i −x i ) 2 

i=1 

dQ 

d= −2 

∗ 

= 

n∑ 

x i (y i −x i ) = −2 

i=1 

∑ 

xi y i 

∑ x 

2 

i 

= 935 

91 = 10.27 

n∑ 

x i y i − 2n∑ 

xi 2 = 0 =⇒ 

i=1 

Man kan även använda matrisformuleringen som används vid multipel regression. X -matrisen 

innehåller då den enda dataserien och inte någon kolumn med ettor dvs den reduceras till en 

kolonn-vektor vilket ger enkla beräkningar och naturligtvis samma resultat. 

71. (a) Eftersom X i = ”mängd soppa för åkare i” medÑ∗ = ¯x där n är stort så kan vi, enligt Centrala 

20 

gränsvärdessatsen, normalapproximera och ¯X ∈ ∼ 

N(Ñ, √ ). Då ges ett test av H 0 :Ñ=55 

n 

mot H 1 :Ñ>55 på signifikansnivån=0.05 av 

Alt 1. Konfidensintervall: ”Förkasta H 0 om 55 ∉ IÑ= (¯x −Ð0.05 · 20 √ n 

, ∞)” 

Alt 2. Teststorhet: ”Förkasta H 0 om 

¯x − 55 

20/ √ n >Ð0.05” 

33 

i=1

4 


Alt 3. Direktmetoden: ”Förkasta H 0 om P(¯X ≥ ¯x omÑ=55) = 

Alt 4. Kritiskt område: ”Förkasta H 0 om¯x > 55+Ð0.05 · 20 √ n 

”. 

(b) Vi har att 

P(förkasta H 0 omÑ=55+1) = P(¯X > 55+Ð0.05 · 20 √ n 

om ¯X ∈ ∼ 

N(56, 

≈( 55+Ð0.05 · √ 20 

n 

− 56 

20/ √ −1 

) =( 

n 

20/ √ n +Ð0.05) ≥ 0.80 ⇒ 

−1 

20/ √ n +Ð0.05 ≥Ð0.20 ⇒ n ≥ 20 2 (Ð0.20−Ð0.05) }{{} 

2 = 268.07 dvs n ≈ 270. 

(c) Eftersom ¯x = 60 > 55 +Ð0.05 · 

signifikant större än normalt i år. 

0.84 

}{{} 

1.64 

1−(¯x − 55 

20/ √ n ) < 0.05” 

20 

√ n 

)) ≈ 

20 

√ 270 

= 57.0 kan H 0 förkastas. Medelkonsumtionen är 

72 (a) Låt X i vara hallonsyltmängd i för i = 1, 2, 3 där X i ∈ N(Ñ,×) är oberoende. 

Eftersom vi vill kunna påvisa om mängden hallonsylt är för liten vill vi testa H 0 :Ñ=1 mot 

H 1 :Ñ

−Ñ 

4 FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR TILL∗-MÄRKTA UPPGIFTER 

−Ñ 

−Ñ 

¯X − 1 

Eftersom P( 

0.04/ √ 2 < −Ð0.05) = P(¯X < 1−Ð0.05 · 0.04 √ ) = 2 

¯X 

= P( 

0.04/ √ 2 < 1−Ð0.05 · 0.04 [ 

0.04/ √ ) = eftersom 

¯X ] 

2 

0.04/ √ 2 ∈ N(0, 1) = 

=( 1−Ð0.05 · 0.04 √ 

2 1−Ñ 

0.04/ √ ) =( 

2 0.04/ √ 2 −Ð0.05) ≥ 0.90 får vi, med hjälp av 1−(Ð) =, 

1−Ñ 

att 

0.04/ √ 2 −Ð0.05 ≥Ð1−0.90 =Ð0.1 och därmed att 

Ñ≤1−(Ð0.1 +Ð0.05)· 

√ 

2 

−Ñ 

0.04 

√ 

2 

= 1−(1.28+1.64)· 0.04 √ 

2 

= 0.9172. 

Villkoret är alltså uppfyllt för allaÑ≤0.9172 (tsk). 

35

Innehåll 1 Sannolikhetsteori - Matematikcentrum

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?